partie

534. 2® Cas. Dans tout système de logarithmes dont la base est plus petite que l'unité: 1 ** les logarithmes des nombres plus grands que Vunité sont négatifs et d'autant plus grands, abstraction faite des signes, que ces nombres sont plus grands^ en sorte que le logarithme de l'infini est égal à l'infini négatif; 2^ les logarithmes des nombres plus petits que l'unité sont positifs et d'autant plus grands que ces nombres sont plus petits, en sorte que le logarithme de zéro est égal à l'infini positif.

d'algèbre. 247

En effet, si l'on pose

4«>a:==o, a?== — i, x = — 2, a?= — 3, a?= — oo,

3i^x=0yX=iy a?=2, > a?=3,. a? = oo,

dans réquation y=^a', on trouve (90)

d'où l'on déduit, par la définition des logarithmes,

<• logi=o, log^=-i,log^=-i, log -Jî=— 3„. %« = -« ,

3i^ logi=^o,loga=i, /oja* = 2, /o^r a^== 3,.... /oj^ 0=00 ; de là il suit i^ que les nombres compris entre les expressions

croissantes i et— , — et — r- , — r et -^ , ont leurs loga-

rithmes compris entre o et — i, — i et — 2, — 2 et — 3, ;

*2° que les fractions comprises entre les expressions décroissantes

1 et a, a et a*, a* et a"* ont leurs logarithmes compris entre

o et I, I et 2 , 2 et 3 ,

535. Dans tout système de logarithmes à base positive, les logarithmes des nombres négatifs sont imaginaires. Car, en faisant passer x par tous les états de grandeur depuis a? = — oo jusqu'à a? =00, l'équation y = a' n'a fourni pour y que des valeurs positives. Conséquemment, si y est négatif, la valeur correspondante de X ne peut être ni positive ni négative ; donc elle est imaginaire.

536. Si Ton réduit en décimales tous les logarithmes d'un système, chacun d'eux se trouve composé d'un nombre entier que l'on appelle caractéristique et d'une fraction décimale ; ces deux parties ont essentiellement le même signe, mais elles peuvent être nulles séparément.

Si Ton représente par x le logarithme de 1 1 dans le système qui a pour base 2, on a 1 1 =2'; et l'on voit sur le champ que la valeur de x est comprise entre 3 et 4, puisque 1 1 est > 2^ ou 8 et que 1 1 est < 2^ ou 16 ; ainsi, le logarithme de 1 1 est égal à 3 plus une fraction ; la caractéristique de ce logarithme est donc 3 .

IL Propriétés des logarithmes.

537. Le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes de ses facteurs.

Réciproquement, la somme des logarithmes de plusieurs quantités est égale au logarithme du produit de ces quantités.

Soient un nombre quelconque de quantités représentées par y,

y\y'\ » et a la base du système dans lequel on prend les

logarithmes ; on aura identiquement (527)

et, en multipliant ces équations,

yy'y'\^, = a^ogy y^ ^logy' y^ ^log y" y

d'où Ton tire, à cause de la définition des logarithmes,

iogyy'y" = logy + logy'-\-logy" +

La réciproque a lieu , car en transposant les membres de la dernière des équations précédentes, il vient

% y + iog y'-^log j/''+. . . .= % J/yV'. . . .

538. Le logarithme du quotient d'une division est égal au logarithme du dividende moins le logarithme du diviseur.

Réciproquement, la différence des logarithmes de deux quantités est égale au logarithme du quotient de la première divisée par la seconde.

Si Ton désigne par y el y' deux quantités quelconques, on aura identiquement

y=a^03y^y' = a^ogy'^

et, en divisant les équations membre à membre, -

-^ z=za^gy ; a^ogy'^^^hgy-logy'.

d'où, par la définition des logarithmes,

log^,=logy — logy\ (a)

Arrêtons-nous un instant à la discussion de ce résultat-; si Ton suppose d*abord y'=yj il vient

d'algèbre. 249

log -^ =log y — log y ou log i =o,

ce que Ton sait déjà.

Dans le cas où la base a est plus grande que l'unité ; si y

est > y\ log y est aussi > log y' et par suite log -^ est positif;

si y est < y\ log y esKlog y' et log -^ est négatif, ce qui

s'accorde parfaitement avec l'énoncé du n'' 533.

Dans le cas où la base est plus petite que l'unité, on obtient aisément des résultats absolument contraires aux précédents et conformes à ceux du n'' 534.

On démontre la réciproque, en renversant les membres de l'équation (a), ce qui donne

log y— log y' = log -^ .

539. Le logarithme d'une expression fractionnaire est égal au logarithme du numérateur diminué du logarithme du dénominateur ; car, une telle expression est équivalente au quotient d'une division dont le dividende est le numérateur et dont le diviseur est le dénominateur.

540. Le logarithme de la puissance m d'une quantité est égal à m fois le logarithme de cette quantité.

Réciproquement, si Von multiplie le logarithme d'une quantité par m, le produit est égal au logarithme de la puissance m de cette quantité.

Si l'on élève à la puissance m les deux membres de l'identité y^a'^^y, (b)

il vient

y^ = [a^^9 »\m :^ ^m log y

d'où l'on tire (526)

log y'"= m log y et m log y = log y™.

541 . le logarithme de la racine m'^"*® d'une quantité est égal au logarithme de cette quantité divisé par m.

Réciproquement, si l'on divise le logarithme d'une quantité

par m, le quotient est égal au logarithme de la racine m**'"*' de cette quantité.

En effet, si Ton extrait la racine m'^^^des deux membres de réquation (b), on trouve

mm log y

d'où résultent

542. Voici deux exemples propres à faire concevoir le parti que Ton peut tirer des règles précédentes :

.^ , I /a/^* I , ab^ loq ab^ — log c^d^

log a -{-log b^^^log c^ — log d^

log a-^-2 log b — 3 log g — 4 ^Qg ^

2" 7 log a+4 log b— ^-^ = log a'^log b^- H^ = log q} b^ — /o5'jA"c*= log -j — .

543. Les logarithmes de quatre quantités en proportion par quotient constituent une équi-différence. Car, en mettant la proportion a : b :: c : d sous la forme

et en prenant les logarithmes des deux membres, il vient

log — z= log — ou log a — log b=log c — log d;

d'où Ton peut conclure Féqui-différence

log a. log b : log c.log d.

544. Les logarithmes de plusieurs quantités en progression par quotient forment une progression par différence. Soit r la raison de la progression

d'algèbre. 2^1

on aura

b = ar, c=br, d=cr, e^dr^ ;

et, en prenant les logarithmes

log b-=log a-^- log r, log c — log b-\-log r,

log d= log c-^log r, log e = log d-^log r,

d'où résulte la progression par différence

-r log a. log b. log c. log d. log e

545. Le logarithme de la moyenne proportionnelle entre plusieurs quantités est égal à la moyenne arithmétique entre les logarithmes de ces quantités. En effet, si Ton désigne m quantités par a, b, c /, on aura

loQ V' abc ..1 = % abc....l log a-\-log b-^-log c....+log l ^ '" m m

in. Du système de logarithmes dont la base est lo.

546. Parmi les systèmes de logarithmes, il en est un qui est spécialement usité et que pour cette raison il est essentiel d'étudier en particulier; c'est celui dont la base est lo. Nous appellerons logarithmes décimaux les logarithmes de ce système ; et, pour les distinguer des autres, nous les exprimerons par la lettre unique /. Ainsi ly signifiera logarithme décimal de y.

547. Le système des logarithmes décimaux jouit des propriétés communes à tous ceux dont la base est plus grande que Tunité. En conséquence, 1® le logarithme décimal de zéro est égal à l'infini négatif; 2® les logarithmes décimaux des fractions sont négatifs ; 3** le logarithme décimal de l'unité est égal à zéro; 4* les logarithmes décimaux des nombres plus grands que l'unité sont positifs ; 5" le logarithme décimal de l'infini est égal à l'infini positif; 6* les logarithmes décimaux des nombres négatifs sont imaginaires.

548. i° Le logarithme décimal de l'unité suivie de n zéros est égal an; ^"^ le logarithme de l'unité du n'*"° ordre décimal est égal à — n. En effet, on a

I suivi de n zéros = lo".

Tunité du n*^""' ordre décimal = — ;; = io""°;

et Ton tire de là, à cause de la définition des logarithmes décimaux,

/ (i suivi de n zéros) = n,

/ (l'unité du n*^"® ordre décimal) = — n.

Si Ton fait dans ces résultats n=o, n=i, n=2, w=3,... il vient

/ i=o, / io=i, / 100=2, / 1000 = 3,

/ 1 = 0, / o, 1= — I, /o,oi= — îi, /o,ooi= — 3,

549. La caractéristique du logarithme décimal d'un nombre plus grand que l'unité se compose d'autant d'unités qu'il y a de chiffres moins un dans sa partie entière» Soient p un tel nombre et n le nombre de chiffres que contient sa partie entière; il est visible que p est tout au moins égal à Tunilé suivie de n — i zéros, et qu'en outre il est moindre que l'unité suivie de n zéros ; on a donc

p = ou>io"-*, p< 10°, purs, en prenant les logarithmes (548),

/j9=ou>n — I, lp<n\

ainsi, / /?, étant compris entre n — i et n, est égal an — i plus une fraction ; donc la caractéristique de ce logarithme est n — i ; c'est précisément ce qu'il fallait démontrer.

On voit, d'après cette proposition, que la caractéristique de /.3547 ^^^ ^ ®*' Q"® ^'^11® ^^ /. 27,261 est I.

550. La caractéristique du logarithme d'une fraction déci^ maie se compose d'autant d'unités négatives qu'il y a de zéros décimaux avant son premier chiffre significatif. Soient p une fraction décimale et n le nombre des zéros compris entre la virgule et son premier chiffre significatif; si on la multiplie par io"+S ce qui revient à transporter la virgule de n+i rangs vers la droite, le produit pX 10°+* sera plus grand que i, mais plus petit que 10; donc la caractéristique de son logarithme sera nulle, et en désignant la partie décimale par f, il viendra

/(pXio"+^)=/',

d'où, par la règle du n®537, et en remarquant que / io°+*=n-|-i,

d'algèbre. 253

/p+n+i=/'et /p = — n— (i— /); (c)

or, /" étant positif et plus petit que i, Texpression i — /'sera aussi positive et plus petite que Tunité ; donc la caractéristique de l p est — n.

Ainsi, la caractéristique de / 0,17 est o; celle de / 0,00271 est — 2.

Cette règle se trouve en défaut toutes les fois que /'=o, auxquels cas la caractéristique est — (^ + i) ; il n'y a par conséquent

d'exception qu'à l'égard des fractions 0,1,0,01,0,001,

dont, comme on l'a vu plus haut, les logarithmes sont — 1,-2,