IV. Questions d'intérêt

594. Rappelons d'abord en peu de mots les principales questions relatives à l'intérêt simple.

Si l'on désigne par t le taux de Vintérêt et par r Vintérêt annuel d'un franc , on a évidemment ^= loo r et r = ^ : loo. Ainsi, les quantités ^ et r peuvent se déduire l'une de l'autre par un calcul fort simple. Dans le cas de ^=5, par exemple, on a r= 5 : ioo = o,o5 ; réciproquement, de ce que r=o,o5, il suit que ^=o,o5 X ioo=5.

Cela posé, soit i l'intérêt annuel d'une somme quelconque a ; puisque i franc rapporte r, a francs rapporteront ar, et l'on aura i = ar, d'où a=i : r ei r=i : a. De là résultent les règles connues pour déterminer \ ^ Vintérêt annuel d'un capital placé à un taux donné ; 2° le capital, quand on connaît ce qu'il rapporte annuellement et le taux de Vintérêt) 3° le taux, quand on connaît le capital et son rapport annuel.

Passons à la règle d'escompte. Si l'on représente par a la valeur actuelle d'une somme a payable dans un an , l'escompte sera exprimé par a — a; or, l'intérêt annuel de a étant ar, cette somme au bout d'un an, vaut a-{-ar=a (i+^)> ^^ P^^* conséquent on a a(i -f-r)=A ; d'où l'on déduit

A , A Ar

a—- — — et A — a = A-

Souvent, dans les opérations commerciales, on prend pour escompte le rapport annuel Ar de la somme a; c'est ce que l'on appelle e^com^^er en (/aAor^; on commet ainsi une erreur exprimée par

Ar —

i-j-r i-f^ Lorsque l'on suppose r=o,o5, on trouve que cette erreur

s'élève à a : 5oo, en sorte que Tescompte en dehors d'une somme de 5oo francs est trop fort d'un franc.

Si l'intérêt, au lieu d'être relatif à un an, l'était à un nombre de jours n, on observerait que l'intérêt journalier d'un franc est r : 365, et par conséquent, il suffirait de remplacer dans les résultats précédents r par nr : 365.

595. Problème. Déterminer la relation qui existe entre l'intérêt annuel d'un franc, une somme quelconque a, le nombre n des années pendant lesquelles cette somme est abandonnée à elle-même en intérêt composé^ et enfin la somme a qu'elle produit au bout de ce temps, La somme a, rapportant ar^ deviendrs[ après un an a-|-ar=a(i-[-^); donc, le produit d'une somme par i-f-r exprime ce qu'elle vaut au bout d'un an. Cela posé, la somme a, valant a(i+r) au bout de la première anqée, devient a(i-+-r) (i-f^) ou a[i-\-rY au bout de la deuxième année; a[\-\-rY[\-\'r) ou a[\-\-rY au bout de la troisième; a[i'\-rY (i + ^) ou a(i -^r)^ au bout de la quatrième, etc.; et en général a(i + r)° à l'expiration de la n"®; d'où il suit que la relation demandée est

A=aii+r)-, ou, en prenant les logarithmes,

log k^=log a-\' n log (i -|- r). (c)

On peut donc déterminer l'une quelconque des quatre quantités A, a, n, r quand les trois autres sont données. De là résultent les solutions des quatre questions suivantes :

1° Déterminer la somme k produite par une somm^ sl, placée en intérêt composé, à raison de r pour un franc, pendant n années. L'inconnue a est donnée par la formule (c). Supposons a = 100, w = 10, r=o,o5 ; il vient

log A=/. loo-j-ioJ. 1,05 = 24-10X0,02118930 =32,2118930 = /. 162,89; et de là A = 162 fr., 89.

2** Le rapport annuel d'un franc étant r, déterminer la valeur actuelle a d'une somme a payable dans n années. On tire de la formule (c)

log a-=log a — n log [i-^-r).

D*AL6ÈBRB. 879

Cette question constitue la règle S escompte composé', Tescompte, comme pour Tintérêt simple, est exprimé par à — a.

3° Déterminer le nombre des années n pendant lesquelles une somme a doit être placée en intérêt composé et à raison de V pour un franc, afin de produire une somme a. On déduit de l'équation (c)

log A — log a

Si Ton demandait le nombre d'années essentiel pour que la somme a devînt p fois plus grande, c'est-à-dire pour que Ton ait A=j&a ou log k=log p-\-log a\ il suflBrait de substituer cette valeur de log a dans celle de n, ce qui donnerait

log [i+r]

Si Ton suppose p=2 etr=o,o5, il vient n=^i\ ans 2 mois. Si Ton suppose encore p =^1000000 et r=o,o5, on trouve n = 283 ans 2 mois.

4° Déterminer le taux auquel on doit placer une somme a en intérêt composé, pour qu'elle produise, au bout de n années, une somme a. La formule (c) fournit

log (i+r)

log A — log a

et celle-ci servira à calculer la valeur de i-f^ que je désigne par k; on aura alors

i-]-r = K, d'où r=K — i et 100 r=^ioo(K — i).

596. Problème. Un négociant, qui doit a fr., veut se libérer en n paiements égaux effectués à la fin de chaque année : quelle est la valeur de chaque paiement? Soit a la valeur demandée ; les paiements a, faits à la fin de la 1"^, 2®, 3®,.... n*"® année, deviennent au bout de la n"*® année a(i-|-^)"^S ^(1 + ^)""**, a(i-{-r)°~',.... a; la somme a, à cette époque, vaut pareillement A(i-(-r)"; or, en vertu de l'énoncé, la somme des n premières expressions doit être égale à la dernière; donc

o(i+r)»-«4-a(i+r)»-*+a(i+r)°~'. . .-f a=A(i+r)% et, parce que les termes du premier membre constituent une progression par quotient ayant pour raison i -{-r.

°^,+J'-7'' =*('+'•)" ou -^ [(i+r)'-i]=A(i+r)-;

et de là

Ar(i-{-r)"

(i+rr-i' ou, en prenant les logarithmes,

log a=log A+% r'\-n log (i+r) — log [(i+r)" — i]. Cette question peut être envisagée sous trois autres faces, en prenant successivement pour Tinconnue a, n ou r.

597. Le problème précédent pourrait s'énoncer ainsi : une personne place A /r. en rente viagère : quelle est la valeur de cette rente dans l'hypothèse où elle a encore n années à vivre ? Dans les questions de ce genre, la difficulté est de déterminer n avec quelque exactitude; il existe à la vérité des tables qui font connaître le temps moyen qui reste à vivre lorsqu'on est parvenu à un certain âge; mais on sent qu'elles ne sont applicables qu'à une grande masse d'individus.