Prenons, pour dernier exemple, Téquation

multipliant d'abord par a* et observant que a'Xa"'==5 a**=i, il vient

m {a'Y'\-n=^ka*'y cette nouvelle équation est du second degré en tant que Ton considère a' comme l'inconnue; on en retire

, k + V k'—Amn puis, en prenant les logarithmes, et en divisant par log a»

• ^^9 (^+I^A* — jmn) — log m — log a iog a

III. Résolution des quatre derniers problèmes relatifs aux progressions par quotient.

590. Problème VII. Déterminer a et n, connaissant 1, r et s. Reprenons les deux formules du n® 51

Iz^ar'^^ (a) s[r—i)^lr—a; (b) nous tirerons d'abord de la seconde

a=lr — s[r — i); prenant ensuite les logarithmes de la première et transposant, nous aurons

log a-{-[n — i) log r^og /, d'où

, log i — log a , log l — log [Ir — sr-}^ )

' log r log r

591 . Problème VIII. Déterminer 1 et n, connaissant a, r et s. L'équation (b) fournit immédiatement la valeur de /; si on la substitue dans (a) et si l'on prend les logarithmes, on aura une nouvelle équation d'où l'on pourra tirer l'inconnue n ; on trouve ainsi

, sr—s-^a log [sr — s-]- a) — log a

r * log r

592. Problème IX. Déterminer n et r, connaissant a, 1 et s. On déduit de (b)

r= j- et par suite log r=log [s — a)— log [s — /) ;

changeant de place les membres de (a) et prenant les logarithmes,

il vient,

log a-\-[n — i) log r=log l,

d'où

, log l — log a log l — log a

' log r log [s — a\ — log [s — /)

593. Problème X. Déterminer n et s, connaissant a, 1 et r. On tire immédiatement de l'équation (b)

Ir — a s= ;

d'algèbre. 277

si ensuite on prend les logarithmes des deux membres de (a), on obtient

log l=log a-f* (^ — log r, d'où n = i -| — ^— .