I. But de l'Algèbre
1 . L'algèbre est une science qui apprend à résoudre sans tâtonnements et d'une manière générale les problèmes relatifs aux nombres.
Pour parvenir à ce double but, on a imaginé : 1 ** de représenter les nombres par des lettres ; 2° d'indiquer les opérations qui les lient et les divers rapports dont ils sont susceptibles par des signes abréviatifs.
2. Les lettres sont très propres à représenter les nombres d'une manière générale, car, ne jouissant d'aucune valeur particulière, elles peuvent prendre toutes celles qu'on juge à propos de leur attribuer. Les premières a, i, c, etc., servent ordinairement à désigner les quantités connues, et les dernières a?, y, z, etc., à désigner des quantités inconnues; mais il ne faut pas perdre de vue que chaque lettre exprime toujours un certain nombre d'unités abstraites ou concrètes.
3. Les signes de l'algèbre sont en petit nombre et d'un usage fréquent. Voici les principaux :
i ® -|- indique l'addition et signifie plus. Exemple : a -f- 6 s'énonce a plus b ;
2® — indique la soustraction et signifie moins. Exemple : a — b 8*énonceo moins b\
3^ X et . sont les signes de la multiplication , et signifient multiplié par. Exemple : aXb ou a . 6 s'énonce a multiplié par b.
Plus souvent on indique la multiplication entre plusieurs lettres en les mettant simplement les unes à la suite des autres. Ainsi les expressions ai, abc, abcd s'énoncent comme elles sont écrites et remplacent aXb, a.X b X Cy aX b XcXd. On doit avoir le soin de rétablir les signes lorsqu'on donne aux lettres a, b, Cy d des valeurs numériques : car il est visible que le produit de plusieurs nombres ne s'obtient pas en les écrivant les uns à la suite des autres ;
4^ : placé entre deux quantités marque la division de la première par la seconde et s'énonce divisé par. On emploie aussi , pour désigner cette opération, le signe — au-dessus et au-dessous duquel on écrit le dividende et le diviseur. Exemple : a: b
ou T signifie a divisé par b. Le dernier signe est le plus usité ;
5*> = est le signe de l'égalité et s'énonce égale. Les quantités placées à gauche et à droite du signe se nomment premier et second membre. Exemple : lo — 7=2+1 signifie 10 moins 7 égale 2 plus i; 10 — 7 est le premier membre, et 24- i le second;
6® > et< sont les signes de l'inégalité et signifient plus grand que, plus petit que. Ex. 10 > 3, 7 < 12 s'énoncent 10 plus grand que 3, 7 plus petit que 12. On peut remarquer que le plus grand des deux nombres est toujours placé dans l'ouverture du signe.
4. Actuellement, pour éclaircir autant que possible la définition que nous avons donnée de l'algèbre, proposons-nous le problème suivant : Trouver deux nombres dont la somme soit 20 et la différence 6.
Représentons par x le plus grand des deux nombres inconnus, et par y le plus petit, nous aurons en vertu de l'énoncé :
Le plus grand nombre x augmenté du plus petit y égale 20 ;
Le plus grand nombre x diminué du plus petit y égale 6;
Ce qui, à l'aide des signes, s'écrit ainsi ap-f-y '^'^o» * — y ^«6.
d'algèbre. 3
Egalités dont nous allons tirer les valeurs des inconnues x et y.
Pour obtenir Finconnue x, ajoutons membre à membre les deux égalités a?-}-2/ = 2o, x — y = 6; nous aurons
a? -f 2/ 4- a? — y = 2 o + 6, ou 20? =26 en observant que y — y = o.Les quantités 2a? et 26 étant égales, leurs moitiés a? et 1 3 le sont aussi; donc a? = i3.
Afin de déterminer y y retranchons x de chaque membre de régalité a?-|-2/ = 2o, et dans le résultat 1/ = 20 — x, remplaçons X par i3, ce qui produit y = 20 — i3, ou j/ = 7. . Les deux nombres inconnus sont donc 1 3 et 7, et en effet i3-|-7=2o, et i3 — 7 = 6.
Ce seul exemple suffit pour faire apercevoir tout le parti qu'on peut tirer des signes algébriques, lorsqu'on les manie convenablement; leur brièveté rapprochant en quelque sorte les pensées, permet d'en saisir plus aisément l'ensemble, et conduit à la solution d'un grand nombre de problèmes auxquels on n'aurait pu s'élever en arithmétique que par des tâtonnements plus ou moins longs.
5. Un second avantage de l'algèbre sur l'arithmétique consiste dans les moyens qu'elle fournit de présenter les résultats sous une forme tout-à-fait générale. Tant que l'on emploie des nombres pour exprimer les données, ils se mêlent et se fondent pour ainsi dire les uns dans les autres par l'effet du calcul; les résultats ne conservent aucune trace des opérations que l'on a faites pour y parvenir, et ne peuvent être utilisés pour résoudre les questions de même espèce. Mais que l'on désigne ces données par des lettres, cet inconvénient disparaît, et l'on retrouve dans les résultats toute la généralité, toute la partie essentielle du raisonnement.
Afin que l'on puisse entrevoir dès à présent toute la fécondité de l'algèbre envisagée sous ce nouveau point de vue, reprenons le problème précédent dont nous généraliserons ainsi l'énoncé : Trouver deux nombres dont la somme soit a et la différence b.
Soit toujours x le plus grand des nombres inconnus et y le plus
petit. L*énoDcé du problème traduit algébriquement fournit évidemment X'\- y = a, X — y = b.
Ajoutons ces égalités membre à membre en observant que y — y = o» nous aurons 20?= a -[-i. Or la moitié de ^x est a?,
et celle de a4- * est - + - ; donc x = -+ - . ' 2*2 22
Retranchons x des deux membres de a? -{- ^ = ^ > ^^ dans
^sa a — X mettons - + - à la place de a?, on a y^=^a •^-,
^ 2 ' 2 *^ > if 22*
ou V = » a cause que a =- -,
Les deux expressions générales x = — |--, y=
peuvent s'énoncer ainsi en langage ordinaire : le plus grand des deux nombres inconnus est égal à la demi-somme augmentée de la demi-différence^ et le plus petite à la demi-somme diminuée de la demi-différence.
Soit maintenant, à trouver deux nombres dont la somme soit 20 et la différences. On substituera 20 et 6 aux lettres a et 6 dans
les expressions x= — | — , y = , et Ton trouvera
comme dans le numéro qui précède
^=T^ + !=xo + 3=i3, j/=n|=, 0-3 = 7.
Soit encore à déterminer deux nombres ayant pour somme 3i et poi^ différence 19. On posera a = 3i, 6= 19, et Ton aura
-. ^4-Us=s^ = o'ï w — 5J. 1± — 12 — fi
X — — -TT — 1 23, y — T 'z T — ^•
Cette solution est exacte, car 26 -f 6 = 3 1 , 26. — 6=19.
6. On appelle formule le résultat d'un calcul général, présentant le tableau des opérations à effectuer sur les données pour en déduire les nombres inconnus, telles sont les deux expres-
sions X =--] — , y = auxquelles nous venons de
parvenir.
D*ALGÈBRB. 5
n. De quelques autres rotations de Valgèbre.
7. Outre les signes et les lettres dont il vient d*être question, on emploie encore d'autres notations dont le but est toujours de simplifier récriture algébrique. Les principales sont celles des coefficients^ des exposants et des racines.
8. Le coefficient d*une quantité est un nombre placé à sa gauche, qui indique combien de fois elle doit être répétée. Les expressions 5a, ^ab, Zabc ont pour coefficients 5, 4» 3» ^^ remplacent, 1^ a'\-a'\'a-\-a'\'a\ 2** ab'\'ab'^ab'\'ab\ 3® abc '\' abc -\' abc. Elles s'énoncent cinq a, quatre ab, trois abc.
Les coefficients peuvent être fractionnaires. Ex. la, 77 ai. Lorsque le coefficient d'une quantité est l'unité comme dans laby on le supprime par convention et l'on écrit simplement ab, réciproquement ab= lab.
