On appelle V^ puissance, impuissance, 3* puissance

en général m* puissance d'une quantité, cette quantité rendue

une fois, deux fois, trois fois m fois facteur. La seôonde

puissance s'appelle aussi carré et la troisième cube. Ex : La 1'^ puissance de 10 est 10, la 2® ou carré est 10 X 10 ou 100; la 3® ou cube est 10X10X10 ou 1000; la 4* est 10 X 10 X 10 X 10 ou 1 0000, etc. Autre ex : Les puissances successives de | sont i"f,2«|X|-|, 3«|XfX|=^,4«fx^X|X|=«^,etc.

Autre ex : les puissances de a sont a, aa, aaa, aaaa, etc. ; celles de ab sont ab, abab, ababab, etc.

1 0. L'exposant d'une quantité est un nombre placé à sa droite et un peu au-dessus, qui marque la puissance à laquelle elle est élevée. Ainsi a^=aa, et s'énonce a exposant deux ou simplement a deux; a^=^aaa, et s'énonce a trois; a^=aaaa, et s'énonce a y waire; et généralement a^ est l'abréviation de a rendu m fois facteur, et s'énonce a exposant m. Ex. 12^=12X12X12X12 = 20736, a^b^ == aaaabbby a^b^c^d = aaaaabbbbccd.

On est convenu de supprimer l'exposant d'une quantité quand il vaut l'unité. Ainsi a*6'c*=a*ic, et réciproquement a*6c=a*6'c\

1 1 . Afin de mieux sentir la nécessité de se familiariser avec les notations précédentes et pour prendre une idée exacte de leur brièveté, il sulfira d'essayer d'écrire une seule quantité sans le secours des coefficients et des exposants, en donnant aux lettres qu'elle renferme des valeurs numériques. Qu'on prenne, par exemple, la quantité Sa^b^c^d, elle s'écrira aaaabbbccd'\-aaaabbbccd'\'aaaabbbccd-^aaaabbbccd -j- aaaabbbccd. Que serait-ce donc si les coefficients et les exposants étaient plus grands, et si l'on remplaçait chaque lettre par un nombre de plusieurs chiffres? Dans la supposition de a=2, i=3, (î=4» d=5, la quantité 5a^6'c*d prend la valeur numérique

5 X 24 X 3^ X 4*X 5 = 5 X x6 X 27 X i6 X 5, ou bien 172800 tout calcul fait,

1 2. L'opération inverse de la formation des puissances porte le nom à' extraction des racines.

On appelle racine carrée^ cubique^ quatrième, etc , en

général m^"*® d'une quantité, une autre quantité qui, élevée au carré, au cube, à la 4® puissance, etc. . . , à la m*"*® puissance reproduit la première. Cette opération s'indique au moyen du signe V (c'est un r déformé), qui signifie racine de, et dans l'ouverture duquel on place le degré de la racine que l'on veut extraire,

excepté dans le cas où il est égal à 2. £a? : y 100=10, \/ 27=3,

y 16 = 2, à raison de ce que iô'= 100, 3^ = 27, 2^=^ 16. Ces expressions s'énoncent : Racine carrée de 100 égale 10, racine cubique de 27 égale 3, racine quatrième de 16 égale 2. Autres

exemples : V a*= a, v a^ = a , \/a^^=a, . . . V^ a"^-= a.

IIL Des différentes espèces de quantités.

43. On entend par quantité ou grandeur tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution, c'est-à-dire tout ce qui peut être soumis au calcul.

Les algébristes conçoivent qu'il arrive un point où les quantités sont tellement grandes qu'il n'est plus possible de les faire croître,

d'algèbre. 7

et qu'il en est un autre où elles ne peuvent plus diminuer, à raison de leur petitesse; c'est ce qu'ils appellent Yinfini et Vinfiniment petite et ce qu'ils introduisent dans le calcul au moyen des symboles 00 et o.

Toutes les autres quantités sont renfermées entre ces deux limites et se nomment quantités finies.

1 4. Les quantités sont numériques ou algébriques. Numériques, quand elles sont exprimées par des chiffres. Ex : i64> !• Algébriques, quand elles sont exprimées par des lettres, ou des lettres combinées avec des nombres.

Exemples : a — bc, a? — 3a'6-|"6ai' — 4*^.

15. On appelle termes d'une quantité les différentes parties de cette quantité séparées par les signes ••\- ei — ; l'expression a' — 3a*6 + &ab^ — 4*^ renferme quatre termes, savoir :

a^— 3a«ft,+6ai%— 46^

16. Lorsque le i*' terme d'une quantité a le signe +, on se dispense de l'écrire. Ex : + a? — 3a'é=a' — 3a'6, et réciproquement toute quantité dont le 1®^ terme n'a pas de signe est censé avoir le signe +. Ex : aa^ — ^abc^='\'7.a? — ^abc.

17. On appelle 1° Monôme, une quantité d'un seul terme. Ex : 6a6\ — 3a6*. 2** Binôme, une quantité composée de deux termes. Ex : 3a — é*. 3** Trinôme, une quantité de trois termes. Ex : — 3a'4" ^^* — **• *° Quadrinome, une quantité de quatre termes, etc. On appelle Série ou Infinitinome, une expression composée d'une infinité de termes; telle est

a + a* + o^+aHû'+û^+etc.

On appelle aussi Polynôme, toute expression composée de plusieurs termes; cette dénomination convient donc aux binômes, trinômes, quadrinomes, etc.; ainsi la quantité 3a6 — ab^-^-^bc^ est un polynôme.

18. Le c^e^re d'un terme est le nombre des facteurs littéraux dont il est le produit, et s*obtient en prenant la somme de tous les exposants; ainsi le terme 5a^i'c ou iaaaaabbc est du 5+2-|-i ou huitième degré, et renferme en effet huit facteurs littéraux.

1 9. Une quantité homogène est celle dont tous les termes sont du même degré ; dans le cas contraire, on dit qu'elle est hétéro*

gène. Le polynôme a^ — 3a'i^ — iab^ — b^ est homogène, puisque tous ses termes sont du cinquième degré, a^ — Zab -f- 6* est un polynôme hétérogène.

20. La valeur numérique d'une quantité est le résultat que l'on obtient, lorsque Ton substitue des nombres aux lettres qu'elle renferme. Ainsi dans la supposition de a= 3, i=2, le polynôme a' — 206 + 26* prend la valeur numérique

3^—2X3X2+2 X 2'= 27—12 + 8 = 23; dans celle de 0= i, 6= 7, il devient

21 . L'ordre des termes d'un polynôme est indifférent : car il est visible que cet ordre n'influe en rien sur les valeurs numériques qu'il peut acquérir, lorsqu'on remplace ses lettres par des nombres: ainsi a^ — 206+26*= — 2a6+a^+26*=26'+a^ — 206.

22. Lorsqu'on se sert des signes algébriques pour indiquer des opérations à effectuer sur les polynômes, afin d'éviter toute fausse interprétation et pour faire entendre que ces signes portent sur l'ensemble des termes dont ils sont composés, on ren*ferme chaque polynôme dans une parenthèse. Ainsi pour indiquer les quatre opérations de l'arithmétique entre les deux polynômes a* — 2a6 — 6* et — a^ + 3a6 — 26^ on écrit :

Cette précaution devient inutile quand on emploie le second signe de la division, qu'il suffit alors de prolonger de manière qu'il dépasse le dividende et le diviseur.

Ex. 3 . , ,3 indique la division dés deux polynômes

précédents.

Si à Tune de ces quantités on substituait un monôme, on devrait supprimer en même temps la parenthèse correspondante. Par exemple 9 veut>on indiquer que 5a doit être multiplié par — a^ + 3a6 — 26^ on écrit 5a ( — a^+3a6 — 26^).

d'algAbre. 9