Formons d*abord le carré àe a-^-b
a^-^-ab
ab^b'
On trouve («-{-*)' = «"+ aa* + *'•
On pourrait former de la même manière le carré du binôme a — b ; mais on peut le déduire de la formule précédente en substituant — bk b dans les deux membres, ce qui donne (a~ bY = a' + ia[—b)+{- by ou (a~6)'=a" — 2a6 + 6\ On peut réunir les deux formules en une seule (a+6)'=a'+2a64-6', en convenant de prendre en même temps les signes supérieurs ou inférieurs. On a coutume de renoncer ainsi : le carré d^un binôme se compose de trois parties, i^ le carré du < *' terme ; 2® le double produit du premier par le second ; 3® le carré du second.
d'algèbre. 49
101. Pour former le carré du trinôme a+i-j-r, il suffit de changer b en b-^c dans la formule (a-[-A)^==»a'4"2aA-|-6\ ce qui produit
(af 6+c)'-a'+2a(6+c)+(6+c)'=:ra"+2aH2a(J+fcH2ic-f c\
102. Changeons encore c en c + d dans la formule précédente, afin d'obtenir le carré du quadrinome a-|-6-[-c+^» iJ vient
~ a*4-2a6-}-2ac-f-2ad-f A'+26c-f-26rf | <î'-^2cd-frf\ Eu changeant de nouveau d en rf+«> on obtiendrait de la même manière le carré de a-j-^^-f c-f-^H- ^, et ainsi de suile.
i 03. Les termes des résultats précédents peuvent se ranger ainsi : (a+fc)'=a'+6'+2a6.
(a+6+c)'=:a'+6^-f c^+2a6+2ac-f 2i^.
(a+6 + c Fd)'' = a'+/>'+c^+dH2a6+ 2ac+2ad+26<;+2ftd-f 2cd. etc.
D'où Ton peut conclure par analogie que le carré d'un polynôme quelconque se compose : i^ de la somme des carrés de chacun de ses termes; 2** de la somme des produits que l'on obtient en multipliant le double de chaque terme par chacun des autres.
Cette loi remarquable peut servir à élever un polynôme quelconque au carré, sans faire la multiplication. Voici des exemples :
(5a+ 2by= (5a)^+ (26)^ i 2 (5a) (26)=: 2.5aM- 4b'+2oab.
(a-2H3)={aT+(-26)^+3^+2(a^)(-26)+2(a')(+3)
+2(— 26)(+3)=xa4+46'49— 4a^i+6a^— 126.
1 04. Nous terminerons cet article en observant qtfe la formule ^ du (n® iOO), combinée avec celle du (n® 46), sert à effectuer un grand nombre de décompositions très usitées. On en voit un exemple bien remarquable dans l'expression 4a'6^ — (^'+^' — ^T- Il est d'abord visible qu'elle est la différence de deux carrés et qu'en conséquence, 4^'ô'(6'+a'— c7=(2a6 f A'-f a'— O (aai— 6"— a'+O-
50 PRINCIPB8
Or, aaô + i'+o— c*=(a-|-i)'- c'=(a-|-6+c) {a-\-b—c). Et zab — b'— a*-\-c'=c'—{a—by=^{c4-a—b) {c—a + b). Donc enfin
iaT—(b'+a-cy=(a-{-bic){ai-b-c){c-{-a—b){c—a-\-b).
YI. Formation du cube des polynômes.
105. Pour former le cube du binôme a-j-i, il faut multiplier le carré de ce binôme, a'-|-2aA-(^6', par a-j-b.
-\-a'b-\-2ab'-\-P On trouve (a+i)'=o'+3a'6-f 3oA'+5'.
Changeant 6 en — b, on a
ou (a— 6)'=a'— 3a'é+3a6'— *'.
Ces deux formules peuvent se réunir en une seule,
{a±by=a'±Wb-\-Ub'±b\ résultat que l'on peut énoncer de la manière suivante :
Le cube d'un binôme contient quatre parties, i° le cube du
premier terme ; 2° le triple produit du carré du premier par
le second; 3° le triple produit du premier terme par le carre'
du second; 4° le cube du second terme. Voici des exemples :
(2a'+3i)'=(2a')'+3(2oT(3ft)+3(ao')(3i)*+{36)'
{Sa'—bcY^ (5o')' + 3(5oT(— 6c) + 3{5o') (— éc)'+(-6c)»
i 06. Pour obtenir le cube du trinôme a-\~b-\-c, il suffit de changer b en b-{-c dans la formule (a-f by=a^-{-ia'b-\-iab'-]-b^, d'où résulte
=a'-j-ia'byiac-\-'iab'-\-6abc-\-iac'^b^-l-'ib'c + Uc'-\-c\
D*ÀLGèBRB. SI
En changeant dans ce dernier résultat c en c-^dj on formerait le cube du quadrinome a-}-6+c-f ^» c^ ^^^^^ de suite.
VIL Sur les puissances de degré supérieur au troisième.
107. Par des procédés absolument semblables à ceux que nous venons d'employer, on formerait visiblement les puissances 4*, 5®, etc. des polynômes, puissances qui se compliqueraient de plus en plus , et dont la loi générale est trop élevée pour être exposée ici.
Nous terminerons ce chapitre par les deux propositions suivantes :
108. La puissance m d^un polynôme homogène du degré n est aussi homogène et du degré nm. En effet, la puissance m d*un polynôme est le produit de m facteurs égaux à ce polynôme. Donc, d'après le (n^ 45], ce produit est homogène et d'un degré égal à n répété m fois ou nm. C. (?. F. D.
Si le polynôme est du 1 ^^ degré, le produit nm se réduit à m. Le carré, le cube, etc. du binôme a+î sont effectivement du 2% 3*, etc. degré.
109. Les termes extrêmes de la puissance m d'un polynôme ordonné, sont égaux aux puissances m de son premier et de son dernier termes. Ce qui résulte immédiatement du principe du (n® 53), dans lequel on suppose que tous les facteurs sont égaux.
