IV. Sur les puissances des mônoniès

96. Pour former une puissance déterminée d'un monôme^ il faut élever son coefficient à cette puissance et multiplier tous ses exposants par son degré. Exemples :

Soit en effet le monôme Ca^i'i dans lequel C indique un coefficient numérique quelconquis ; on a (Ca^6*ï)'=CaPi^xCaP/>^z=C'a'P6*'ï,(CûPA«)*=C*a*P6'^xCaPèfeC^rt^Pi»^,

(Cà^b<)^=- C'a'Pfc^^X CaPfi'ï^C^a^Pi^S etc. ; en continuant ainsi, on trouverait visiblement que cette loi convient à toutes les puissances. Donc en général (CaP6«)"*=C'"tt"P6"'^.

97. Toutes les puissances paires dune quantité poisitive ou négative sont positives. Ce qui peut s'écrire ainsi, (+A) *"*•== A** (en remarquant que am peut représenter tous les nombres pairs, puisque en faisant successivement m = o, m=i, /ïi = 2, m = 3, etc., am devient o, 2, 4» 6, etc.); en effet (n^ 96),

48 t»RlNGlP£S

(+A)*"=[(±A)T, or+Ax+A = A* et — Ax-A=A\ donc (±A)"=r et (+A)*»=(AT=A''". C. Q. F. D.

Exemples : (—5)4=625, (— 2ai^)^=64a«A*^

98. Toutes les puissances impaires d'une quantité ont le signe de cette quantité; ou algébriquement (+A)*"^'=+A"°+*. (L'expression aw + i devenant i, 3, 5, 7, etc. lorsque Ton fait m = o, mr= I, m = 2, m=3, etc., peut servir à représenter tous les nombres impairs). En effet (±A)*"^"*~(+A)*™ x±A; mais (n°97) (+A)*'" = A"\ donc (+A)*™+' = A*" x ±A, ou (+A)«»^*^±A»™+'. C. (?. F. D.

Ex: (-5)' = — 125, (— 3a'6)^=— 243a'°65.

99. La puissance m d'un produit égale le produit des puis-sances m de tous les facteurs. En effet, soient A, B, C, D. etc., plusieurs expressions quelconques, monômes ou polynômes, le produit AxBxCx etc. pouvant être considéré comme un monôme, on aura (AXBxCXetc.)"=A'»xB"»XC"'xD"X etc. C. Q. F. D.