I. Principes fondamentaux

411. ia racine carrée d'un nombre est un autre nombre qui, élevé au carré, reproduit le premier. Ainsi

1^64=8, |/^ = |; parceque8' = 64, (|)' = :|;

en général, quel que soit le nombre P, on a en vertu de la définition (p/P)'=P.

1 1 2. 1 ®^ Principe. Le carré d'un nombre composé de dizaines et d'unités contient les trois parties suivantes : \° le carré des dizaines] 2° le double des dizaines multiplié par les unités; 3° le carré des unités. Ces trois parties expriment respectivement des centaines, des dizaines et des unités. En effet, désignons par a et b les dizaines et les unités d'un nombre P, en sorte que P = a.io-f-6, carrant les deux membres de cette égalité, nous aurons (n° 100) P*~ a\ loo -f nab . lo -j- 6' ou P* = a' centaines + lab dizaines -f- ^' unités. C. Q. F. D.

Ex. 1 34' = ( 1 3o -j-4) = ï ôgoo-f- 1 o4o -[- 1 6 = 1 7906, valeur que l'on trouve effectivement en élevant i34 au carré.

113. 2® Principe. La racine carrée d'un nombre entier, partagé en tranches de deux chiffres de droite à gauche (la 1'® tranche à gauche peut n'avoir qu'un seul chiffre), contient autant de chiffres que ce nombre a de tranches. Ainsi l^'ii a un chiffre, P^g.Bi en a deux, l^ ii.yi.og en a trois, etc. Remarquons en effet que les carrés de i, 10, 100, étant i, 100, i .00.00, etc. 4° les nombres d'une tranche qui tombent entre i et i .oo> ont pour racine des nombres compris entre 1 et 10, c'est-à-dire d'un seul chiffre; 2*^ les nombres de doux tranches qui tombent entre 1 .00 et i.oo.oo ont pour racines des nombres compris entre 10 et 100 ou de deux chiffres, etc.

d'algèbre. 53

Généralement, soit P un nombre composé de n tranches, l^ P ne peut avoir plus ni moins de n chiffres. 4® Si I^P renfermait plus de n chiffres, cette racine vaudrait au moins Tuniié suivie de n zéros ou lo" (n"" 88). On aurait donct^P = ou > io"et en élevant au carré, P=ou > io-°, ce qui est contre la supposition, puisque lo'** étant l'unité suivie de n tranches de deux zéros est un nombre composé de n + 1 tranches. 2® Supposons que V P contienne moins de n chiffres, auquel cas cette racine est plus petite que le moindre nombre de n chiffres ou io°"~', on aura I^P<: io°~\ et en carrant P<: Io*^"~*^ ce qui est également contre la supposition, puisque lo* (""*^ étant Tunité suivie de n — I tranches de deux zéros, est le plus petit nombre composé de n tranches. Il suit de là que i^ P doit nécessairement renfermer n chiffres. C. Q. F. D,