II. Extraction de la racine carrée des nombres entiers

H4. La racine carrée d'un nçmbre d'une tranche, ne contenant qu'un seul chiffre (n® 113), s'extrait sans difficulté lorsque l'on connaît les carrés i, 4» 9» i6, a5, 36, 49» 64, 8i, des neuf chiffres i, 2, 3, 4» 5, 6, 7, 8, 9, et que l'on sait revenir des premiers nombres aux derniers. Soit en effet à extraire la racine de 68. Ce nombre tombant entre les carrés 64 et 81, sa racine est comprise entre 1^64 et t/8i ou 8 et 9. Donc 1^68=8 à moins d'une unité près. Le reste de l'opération est 68 — 64 ou 4.

115. Proposons-nous actuellement d'extraire la racine carrée d'un nombre de deux tranches, de 68 . 39 par exemple. Cette racine renfermant deux chiffres (n° 113), se compose de dizaines et d'unités, et le nombre 68.39 Q^^^ ^^ ®st le carré contient (n<* 112), 1** le carré de ses dizaines; 2** le double de ses dizaines multiplié par ses unités ; 3° le carré de ses uïiités. Or, le carré des dizaines exprimant des centaines ne peut se trouver que dans les centaines 68 du nombre 68. 39, et par conséquent si l'on extrait la racine de cette tranche, comme on Fa fait dans le numéro précédent, le résultat 8 sera le chiffre des dizaines de la racine cherchée; le

chiffre 8 obtenu ainsi, est essentiellement exact. En effet, 68.39 tombant entre 64 . 00 et 81 .00, 1^68. Sg tombe entre i^64-oo et P^ 81 . 00 ou 80 et 90, donc le chiffre des dizaines de 1^68 . % ne peut être que 8.

Si de la première tranche 68 on retranche 64, carré des dizaines obtenues, et si à côté du reste 4 on écrit la seconde tranche 39, le nombre 439 contient les deux dernières parties du carré de la racine ; la première de ces parties étant le double des dizaines multiplié par les unités, exprime des dizaines et ne peut se trouver dans le chiffre 9 qui vaut des unités. Elle est donc égale à 43 moins les dizaines provenant du carré des unités, dizaines dont le nombre est toujours plus petit que 9, puisque le carré de 9 est 81. Donc, si Ton divise 43 par le double des dizaines 8, c'est-àdire par 16, le quotient 2 sera le chiffre des unités de la racine, qui sera par conséquent 82.

Pour obtenir le reste de l'extraction , il faut retrancher de 68. 39 le carré de 82, ou, pour abréger, retrancher de 4^9 Ips deux dernières parties du carré de la racine, que Ton forme évidemment en multipliant 162, double produit des dizaines augmenté des unités, par 2, chiffre des unités, ce qui donne 3a4; ce reste est donc 439 — 324 ou 1 15.

On peut dans la pratique disposer les calculs comme ci-dessous :

1 1 6. Soit encore à extraire la racine carrée du nombre de trois tranches 68.39.29. Cette racine ayant trois chiffres (n** 413), contient des dizaines et des unités, et son carré 68.39.29 se compose de trois parties (n** 112), dont la première, le carré des dizaines exprimant des centaines ne peut se trouver que dans les deux premières tranches 68.39; extrayant donc la racine de 68 . 39, ce que Ton sait faire, le résultat 82 (n® 1 1 5) représente les dizaines cherchées ; actuellement joignant à 1 1 5 reste de cette extraction, la troisième tranche 29, le nombre 11629 est la somme

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des deux dernières parties du carré de la racine ; or, le double des dizaines multiplié par les unités ne peut se trouver que dans les dizaines ii52 de ce nombre, et par conséquent si Ton divise II 52 par 2 fois 82 ou 164, le quotient 7 exprime les unités. La racine carrée de 68.39.29 est donc 827. Pour obtenir le reste, il faut soustraire de 11629 les deux dernières parties du carré de la racine, qui résultent évidemment de la multiplication de 1647 par 7; en effectuant, on trouve pour produit 1 1629 et pour reste o ; l'extraction est donc exacte. Voici le tableau des calculs :

117. En général, lorsqu'on sait extraire la racine carrée d\n nombre de n tranches^ il est facile de trouver celle d'un nombre de tï-\-i tranches. Prouvons en premier lieu qu'en extrayant la racine des n premières tranches à gauche, on aura les dizaines de la racine cherchée. En effet, soit P un nombre composé de n-^-i tranches et a' le plus grand carré contenu dans les n premières tranches, en sorte que P soit compris entre a' centaines et (a+i)* centaines, ou ce qui revient au même, que l'on ait P>a*. 100 etP<:(a-(-i)'. 100; extrayant les racines des deux membres de chacune de ces inégalités, il vient \/P>a. loet V/P< (û+i)' 10 ï^ nombre V^P ayant au moins a dizaines, et ne pouvant en avoir a-j-i, en a donc exactement a.

Il est visible maintenant que le reste de l'extraction des n premières tranches, joint à la n-|-i^"% représente les deux dernières parties du carré de la racine, et qu'en séparant un chiffre sur la droite de ce nombre, la partie à gauche exprime le double produit des dizaines par les unités. Donc, si l'on divise cette partie à gauche par le double des dizaines trouvées, on doit avoir pour quotient les unités.

Enfin, pour trouver le reste de l'opération, on multiplie le double des dizaines joint aux unités, par les unités, et l'on re

tranche le produit du reste des n premières tranches suivi de la n+I^"*^ Des numéros précédents résulte la règle suivante :

118. Pour extraire la racine carrée d'un nombre à moins d^une unité près, on partage ce nombre en tranches de deux chiffres de droite à gauche^ et Von extrait la racine du plus grand carré contenu dans la première tranche à gauche. C'est le premier chiffre de la racine cherchée ;

On soustrait ce plus grand carré de la première tranche, et à côté du reste on abaisse la seconde tranche, sur la droite de laquelle on sépare un chiffre par un point : on divise la partie à gauche de ce chiffre par le double du premier chiffre obtenu] le quotient est le second chiffre de la racine.

On écrit ce second chiffre à la suite du diviseur, on multiplie le nombre ainsi formé par ce second chiffre, et on retranche le produit, du reste de la première tranche suivi de la seconde. A côté du reste on abaisse la troisième tranche dont on sépare le dernier chiffre à droite, et Von divise ce qui est à gauche par le double des deux premiers chiffres de la racine, afin d'en obtenir le troisième.

En général, lorsque Von a obtenu un certain nombre de chiffres à la racine, on obtient le suivant en joignant au reste des tranches sur lesquelles on a déjà opéré, la tranche suivante, et en divisant ce nombre, abstraction faite de son dernier chiffre à droite, par le double de la partie connue de la racine; dans le cas où le dividende est plus petit que le diviseur, on met zéro à la racine, on abaisse la tranche suivante, et Von opère de nouveau comme on vient de le dire.

On continue ainsi jusqu'à ce que Von ait abaissé successivement toutes les tranches du nombre proposé. Lorsque le dernier reste est nul, on dit que ce nombre est un carré parfait.

Enfin, pour faire la preuve de cette opération, on prend la somme du carré de la racine et du reste, et s'il n'y a pas eu d'errexir, on doit retrouver le nombre donné.

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in. Remarques sur la règle précédente.

H9. Dans une opération partielle quelconque, on ne peut mettre plus de ç^ à la racine carrée d'un nombre. Car si Ton pouvait seulement y mettre lo, ces dix unités en formeraient une de l'ordre immédiatement supérieur, ce qui supposerait que les unités de cet ordre ont été mal calculées.

420. Ou reconnaît évidemment, qu'un chiffre mis à la racine carrée d'un nombre est trop fort, lorsque le carré des chiffres trouvés à la racine est plus grand que V ensemble des tranches sur lesquelles on a déjà opéré.

421. On reconnaît qu'un chiffre mis à la racine est trop faible, à l'inspection du reste, qui doit toujours être plus petit que le double des chiffres obtenus à la racine plus un. Désignons par P la réunion des tranches abaissées, par a la racine trouvée et par R le reste de l'extraction; si R est =rou>^a-\-i, je dis que la racine a est au moins trop faible d'une unité. En effet, la relation P= a'-|-R qui existe toujours entre les trois quantités P, a, R peut se changer, à cause de l'hypothèse, en celle-ci P== ou >a''4-2a-f i; extrayant la racine carrée des deux membres, en observant que a^'-j-aa-f i ==(a+0'» il vient lXp"=ou>a-fi. C. Q. F. D.