Il résulte du premier procédé que

r rA=rA. ^ r rA= r r A=n; etc.

d'où l'on conclut, en renversant l'égalité,

rÂ= f^rxrT= VVâ. ri-^ ^^^^T, etc.

86 FSINiSPES

Ainsi Von peut obtenir la racine 4* d^un nombre par deux extractions successioes de racine carrée, la racine 6* par une extraction de racine carrée et une de racine cubique, la racine 8® par trois extractions de racine carrée, et en général, on pourra, par des extractions combinées de racines carrées et cubiques, obtenir toutes les racines dont les degrés n'étant composés que des facteurs a e^ 3 sont de la forme 2*. 3*, s et t étant des nombres entiers.

XL Sur les radicaux imaginaires,

\ 91 . Les règles précédentes se trouvent quelquefois en défaut lorsqu'on les applique à des radicaux imaginaires. Dans le cas particulier où ils sont du 2® degré, il est facile d'éviter toute difficulté en décomposant chaque radical en deux facteurs, dont

Fun soit réel et l'autre imaginaire \^ — i (n^ 460).

Soit d'abord à multiplier \r — a par j/"— b\ on remarquera que ^ — a^=\ra\r — I, [T—b^yb^r — I et que par conséquent

\r—aX[r~b=[\r—iy[ra.\rb, ou \r—a x\r—b=^'^\rab\

en observant que

(/"— 1)'==— I, et \ra.{rh = V"ÔLb, La règle du n'' 1 86 aurait donné

\r—aX\r—b—V"âb.

Soit à diviser (/"a parj/" — b, ou, ce qui revient au même^ \ra par |/"6 j,^ — i , on a

jTa |/"a xT — i Va

i/"—l -^ '^r—ïîrb "~ (/■— i)»j/"6'

or,

Donc, substituant, on a

La règle du n» i 87 donne -^^ == V— 4- •

D*AL6ÈMIS. 87

192. Pour former les puissances d'un imaginaire du second degré, on peut faire usage du principe suivant :

Les puissances successives de]/~ — i, à partir de la puissance o, forment %me période de quatre termes^ savoir : i, \r — i, — I , — {/" — I . En effet, tous les nombres entiers sontde Tune des formes suivantes : 49, 4?+ ï>49 + 2, 45^ + 3, [q désignant un nombre entier quelconque), puisque tout nombre divisé par 4 ne peut donner que Tun des restes o, i, 2, 3 ; en admettant ceci et remarquant que (^/" — 1)'= — i, et que (/" — 0^ = ( — 0'~ i» on pourra conclure que,

30 (j/-i)*q+t= (^i)*q+ixj/--i=ir— iX/*— 1=— i;

4« (iT— o^^'^d/"— i)*^+»xi/"— 1-— 1 xi/"— i=-t^-i.

Cela posé, soit à former la 14* puissance de \r — a, on remarquera que

^ — a=|Aa|/" — I, et que par conséquent (j,^ — a)" = (|/"a)** (|/" — i)'*;

or, (ra)"=r»^ (r— ï)"=— I,

puisque i4 étant égal à 4 • 3 -f ^ est de la forme 4? -f- ^ » ^^^P la règle du n** \ 88 aurait donné