I. Equations du premier degré à deux inconnues

251 . Toute équation à deux inconnues est susceptible d'une infinité de solutions ; car, en attribuant à Tune des inconnues une valeur quelconque, Téquation fait connaître Tautre inconnue. Ainsi, que, dans réquation y =^x — 3, on fasse successivement

jr=o, a?= I, a: = 2, a:=3, etc.

on obtient

y=— 3, î/=2, y=7f i/=i2, etc.

elle est conséquemment vérifiée par x=o et y^= — 3, ar=i et i/==2, x=2 et y = 7, etc. De là il suit que tout problème qui conduit à une seule équation à deux inconnues est indéterminé.

252. Pour résoudre deux équations du premier degré à deux inconnues, on peut suivre trois procédés d'élimination qui reviennent au même dans le fond, mais qui sont plus ou moins avantageux dans la pratique ; ils sont connus sous le nom d'élimination par comparaison f par substitution ^ par addition et soustraction.

On simplifiera généralement les calculs, si Ton chasse les dénominateurs des équations à résoudre, avant d'y appliquer les méthodes d'élimination.

253. Élimination par comparaison. On prend dans chacune des équations données la valeur d^une même inconnue^ en regardant Vautre comme connue', puis, on égale ces deux valeurs', de là résulte une équation du premier degré à une seule inconnue, qu'ail est facile de résoudre. Cela fait, on détermine ^inconnue éliminée, en substituant, dans Vune des expressions qui la représentent, la valeur trouvée pour Vautre inconnue.

Appliquons d'abord cette règle aux deux équations 2aî+9y = 5i, 7a? — 6=r3y;

on tire de la première x = ^^ , et de la seconde

x=L — ^ ; égalant ces deux valeurs de ar, il vient

- ~ 7 ' équation du premier degré à une seule inconnue y , d'où Ton déduit aisément t/ == 5. Substituant 5 à ^ dans l'expression

5ï — qy . 5i — Q.5 ^ ^ . ^

xr=i 2£- , on trouve a? ;= ^^-~ ou a? = 3. On parvient

à la même valeur de x, en faisant la substitution dans l'expression

Les équations données sont donc satisfaites par ar=:3 eti5/=5 ;

en mettant 3 et 5 à 4a place de x et de y, elles deviennent effectivement