i ou 5i = 5i, 7.3 — 6=3,5 ou i5 = i

Prenons en second lieu les équations littérales ax='.by, a? + y = c;

elles fournissent x= — y, x = c — y; d'où

équation du premier degré ne renfermant plus que y. On en déduit i/ = —r-T , et, à cause àex— — y, on a aussi b ac bc

x ^ . r-T ou X = r-i .

254. Élimination par substitution. On prend dans l'une des équations données la valeur d'une inconnue, en opérant comme si tout le reste était connu, et l'on substitue cette valeur dans l'autre équation; on obtient ainsi une équation du premier degré à une seule inconnue, et, lorsque cette dernière est déterminée, l'autre se trouve par une simple substitution. Proposons-nous de résoudre les équationa .4.3 45

chassant d*abord les dénomiûateurs, elles deviennent 8a?-|-9y==228, 240? — 25y=6o;

actuellement, on tire de la première x = ~"^ , et si Ton

substitue cette valeur dans la seconde, on trouve

24(228— 9y) ^5y^g^ ou684— 27j/-25y = 6o,

équation à une seule inconnue, d*où l'on conclut ^=3 12; portant cette valeur de y dans l'expression x = ^ , on obtient a?= i5:

Donnons-nous encore les équations littérales ax-{-by =- Cy dx =» e,

dont la seconde ne contient que x. Cette dernière fournit

a? = -7- , et, en substituant dans la première, il en résulte

ae , . ,, , cd — ae

— -\-by = c, douy = — ^^.

Ce second procédé s'emploie surtout lorsque, comme dans le deuxième exemple, l'une des équations n'a qu'une inconnue, ou bien encore lorsque l'inconnue à éliminer a pour coefScient l'unité dans l'une des équations proposées.

255. Élimination par addition et soustraction. On multiplie chacune des équations données par le coefficient qu'a dans Vautre équation Vinconnue que Von veut éliminer] on retranche ou Von ajoute ensuite les équations obtenues^ suivant que les coefficients de cette inconnue y sont de même signe ou de signes différents', on parvient de cette manière à une équation à une seule inconnue, que Von peut résoudre par une simple division. Quant à Vautre inconnue, elle peut se déterminer par un procédé semblable ou par substitution.

Avant de faire des applications, il est important de prévenir que ce procédé ne réussit que dans le cas oii les équations proposées ne renferment chacune qu'un seul terme affecté de l'inconnue qu'on veut éliminer. Il faut donc préparer ces équations en conséquence, ce qui, d'ailleurs, n'offre aucune difficulté.

Résolvons maintenant les deux équations

7^ — 3jp = 2y — iox-\-iiy, y — 20?= 10 — ay ; en transposant les termes affectés de x et de y dans les premiers membres et les termes connus dans les derniers, elles deviennent

5^ + 7^? = 27, 3y — 2j?=io; (a)

multipliant, afin d'éliminer y, la première équation par 3, coefficient de y dans la seconde, et cette dernière par 5, coefficient de y dans la première ; il vient

i5y + ^ï^=8i, i5y — ioa?=a5o;

et, en les retranchant membre à membre, parce que les coefficients de y sont de même signe, on trouve

2ij?-[- iox=^8i — 5o ou 3ia? = 3i, d'oùa:=i.

Éliminons x par un procédé analogue, et à cet effet, multiplions les équations (a) par 2 et 7, coefficients de cette inconnue dans la seconde et la première de ces équations; nous aurons

loy-f- i4a?=54, 2iy — i4iF = 7o;

et, en les ajoutant, à raison de ce que les coefficients de x sont de signes différents ,

ioy-|- 21^ = 54+70 ou 3ij/= 124, d'oii î^ = 4- Cette troisième méthode d'élimination est, sans contredit, celle qui conduit ordinairement aux calculs les moins compliqués. Elle peut encore être simplifiée dans un grand nombre de cas , comme on le verra dans le numéro suivant.

256. Lorsque les coefficients de l'inconnue à éliminer ne sont^ pas premiers entre eux, on divise ces deux coefficients par leur plus grand commun diviseur; puis, on multiplie la première équation par le second quotient et la seconde par le premier ; on opère ensuite comme on l'a dit précédemment.

Soient, pour fixer les idées à cet égard, les équations 2ia? — 45y=io, 28j?-|-54y= i3; (b)

si Ton cherche le plus grand commun diviseur entre les coefficients 45 et 54 de l'inconnue y qu'il s'agit d'éliminer, on trouve 9 pour résultat; divisant donc 45 et 54 p^rg, puis, multipliant la première équation par le second quotient 6 et la seconde par le premier 5, il vient

1 26a? — 2701/ = 60 , i4oj: + 2701/ = 65,

et, en ajoutant ces nouvelles équations,

I sS i26j?-[~ï 4^^ = 60 + 65 ou 2660?= 125, d*où a?= — j^ .

Pour éliminer x , remarquons que 21 et 28 , coefiScients de cette inconnue dans les équations (b), divisés par leur plus grand commun diViseur 7, donnent pour quotients 3 et 4 ; il faut donc multiplier la première par 4 6t la seconde par 3 , ce qui donne

84a? — 1 8oy = 4© , 84a? -{- 1 621/ =■- Bg ;

et, en retranchant,

l622/+l8oy = 39 4o ou 342^=— I, d'où y= ^ry— .

257. Deux inconnues ne peuvent satisfaire à plus de deux équations; car les valeurs des inconnues x et y, tirées de deux équations dpnnées, ne peuvent généralement en vérifier d'autres qui n'ont pas participé à leur détermination. Ainsi, soit donné les trois équations à deux inconnues,

^ + î/=io> x—y=6, 3j?=2y; on tire des deux premières a? =8, j/=i2;substituons ces valeurs dans la troisième, on trouve 3 . 8 = 2 . 2 ou 24 = 4> équation visiblement absurde. Le système des trois équations proposées est donc impossible.

Un pareil système d'équations devient cependant possible, lorsque l'une des équations est une conséquence des deux autres ; c'est ce qui arrive dans le suivant

^ + 2/= 10» x—y = 6, 5a? + y = 42, qui est complètement vérifié par ar= 8, y = 2. Si l'on multiplie les deux premières équations par 3 et par 2, et si l'on ajoute les équations résultantes 3j?-{-3y = 3o, 20? — 2j/ = i2, on en déduit la troisième 5x-|-y = 42.

II. Equations du premier degré à trois et un plus grand nombre d'inconnues,

258. Il faut trois équations pour déterminer trois inconnues \ car, si l'on en avait seulement deux, on pourrait prendre arbitrairement l'une des inconnues, et déterminer les deux autres au moyen des équations données ; il y aurait donc une infinité de solutions.

259. Pour résoudre trois équations du premier degré à trois inconnues, on élimine la même inconnue entre l'une d'elles et chacune des deux autres ; de là résultent deux équations du premier degré à deux inconnues ; on détermine ces dernières , et Von substitue leurs valeurs dans l'une des équations, données, afin d'en déduire la troisième inconnue.

Soient à résoudre les trois équations

2a?-|-5y — 3z= lo, 4ar— 2j/-l-5z=37, (c)

yx+'iy — 6z= — 6.

Éliminons d'abord z entre la première et la deuxième équation ; pour cela, il faut les multiplier respectivement par 5 et par 3, ce qui donne

loar + aSj/ — i5z= 5o, 12a? — 6y -j- i5z=iii,

et, en ajoutant ces dernières,

éliminant z par le même procédé entre la première et la troisième des équations données, on trouve

Or, des équations (d) et (e) qui ne contiennent que x et y, on tire a?=3 et y~5, et, en substituant ces valeurs dans la première des équations (c), il vient