I. Considérations générales

283. Nous avons eu occasion de remarquer, dans les deux chapitres précédents, que les valeurs des inconnues, tirées des équations d'un problème, ne convenaient pas toujours à son énoncé. Pour peu que Ton réfléchisse, on explique aisénptent cette circonstance ; en effet, il est manifeste que les valeurs des in- ^connues, déduites d'un système quelconque d'équations, ne peuvent généralement vérifier que les conditions qui y sont e)^primées ; si donc certaines conditions ont été omises ou ne sont pas susceptibles d*être rendues algébriquement, ces valeurs ne pourront j satisfaire, et le problème sera insoluble.

Que la nature de la question, par exemple, impose à Tune des inconnues, la condition d'être positive ou entière ou bien celle d'être plus grande ou plus petite que tel ou tel nombre donné (235), (a37) et (264); aucune de ces conditions ne saurait être traduite en algèbre, et par suite, les équations du problème ne sont qu'une expression incomplète de son énoncé ; la valeur de cette inconnue, si toutefois les données n'ont pas été préparées, pourra donc être négative ou fractionnaire, ou bien sortir des limites assignées, et cette seule circonstance suffira pour rendre la question insoluble.

Les considérations précédentes nous permettent de poser en principe que les valeurs des inconnues, tirées des équations d'un problème, ne vérifient généralement que les conditions qui jr sont exprimées.

Les questions qui conduisent à des solutions négatives, méritent

surtout d'être examinées avec soin ; nous en ferons par conséquent Tobjet d'un article particulier^ dont tout le reste du chapitre offrira de nombreuses applications.

IL Sur les solutions négatives.

284. Nous allons d*abord énoncer le principe relatif aux solutions négatives ; puis, nous le vérifierons par quelques exemples ; enfin, nous en donnerons une démonstration générale.

Lorsque l'une ou quelques-unes des inconnues d'un problème du premier degré ont des valeurs négatives, on peut en conclure que son énoncé est vicieux ; il se présente alors deux cas, suivant que ces inconnues sont ou ne sont pas susceptibles d'être interprétées dans des sens différents :

Dans le premier, il est possible de rectifier l'énoncé, en donnant à ces inconnues des acceptions contraires à celles qu'elles avctient d'abord ; et leurs valeurs primitives, abstraction faite des signes, répondent au nouvel énoncé;

Dans le second, il est impossible de rectifier l'énoncé, et la question est tout-à-fait insoluble.

285. Problème. Un père a 5 1 ans et son fils 27 : dans combien d'années l'âge du père sera-t-il double de celui du fils?

Soit X ce nombre d'années; après ce laps de temps, l'âge du père sera 5i+^ et celui du fils 27+2?, et l'unique condition du problème donnera

5i -j-a? = 2(27 -l-o;) ou 5 1 -4-^== 54 + 20?; équation d'où l'on tire x = — 3. Un certain nombre d'ajinées ne peut être négatif ; cette valeur négative de l'inconnue indique donc un vice dans l'énoncé; pour le rectifier, il suffit de prendre l'inconnue dans une acception opposée et de l'établir ainsi : un père a 5 h ans et son fils 27 : combien y a-t-il d'années que l'âge du père était double de celui du fils ?

Supposons que cette condition ait été remplie il y a a? années; à cette époque le père avait 5i — x ans et le fils 27 — x, et par conséquent

5i — a«=2(27 — x) ou 5i — a; = 54 — 2»;

1 36 PBINCIPES

équation d'où Ton déduit a? = 3. Il y a donc 3 ans que Vâge du père était double de celui du fils ; effectivement, à cette époque le père avait 48 ans et le fils 24.

On peut remarquer, conformément à la première partie de notre principe, que la nouvelle valeur de Vinconnue a? = 3 ne diffère de V ancienne x = — 3 que par le signe.

286. Problème. Deux joueurs possèdent Vun d^fr. et Vautre b /r. : quelle somme le premier doit-il gagner au second, pour que leurs biens respectifs soient entr'eux dans le rapport de m d n?

Soit X cette somme; le bien du premier sera exprimé par a-\-x^

celui du second par b — x, et nous aurons, en vertu de renoncé,

et, en égalant le produit des extrêmes à celui des moyens,

n[a-\-x)=m[b — x) ou na--{-nx=:itib--mx\

,, , 1, , ^ mb — na -, , , . . . .

équation d ou 1 on conclut x = — -- — , Il se présente ici trois

cas, suivant que mb est > ou = ou < na.

i° Si mb>na, la valeur de x est positive et le problème est résolu dans le sens énoncé.

2® Si m6= na, a: = o; ce qui doit être, puisque, de l'hypothèse, on déduit la proportion a : b :: m: n.

3° Si mb < na, mb — na est négatif et par suite la valeur de X est aussi négative. Cette circonstance dénote un vice dans renoncé; pour le rectifier, il faut prendre Finconnue en sens contraire, c'est-à-dire, lui faire désigner une perte au lieu d'un gain ; on doit donc alors poser la question de cette manière : deux joueurs possèdent l'un a fr. et Vautre b fr, : quelle somme le premier doit-il perdre en jouant avec le second, pour que leurs biens respectifs soient entr'eux dans le rapport de m à n ?

En représentant cette perte par x, on aura visiblement a — X : b-\-x :: m : n, d'où na — nx^=mb-\-mx;

,, , „ .. na — mb , , , .

équation d ou 1 on tire x= — -j- — ; cette valeur de x est positive, puisque mb < na par supposition ; elle est égale, au signe prés, à la valeur de x obtenue en premier lieu.