X OP X

et Ton a - + ô+74-5i = a?, d'où ar = — 612.

La valeur de l'inconnue étant négative, h problème est mal

proposé; et comme d'ailleurs un certain nombre de maisons ne

peut être pris dans une acception opposée, il s'ensuit qu'il est

impossible de rectifier l'énoncé ; conséquemment, la question est

insoluble.

288. DÉMONSTRATION. Il n'y a lieu à démontrer que la première partie du principe précédent.

Désignons par ar, j", etc., w, v, etc., les inconnues d'une question quelconque du premier degré; supposons que l'on ait obtenu pour les unes des valeurs négatives :r= — a, j-= — b etc., et pour les autres des valeurs positives u^=m, v = n, etc., et que par suite cette question soit insoluble. Je dis qu'en rectifiant l'énoncé de manière que les inconnues x, j-, etc., dont les valeurs sont négatives prennent des acceptions opposées, le problème deviendra soluble, et que les valeurs a? = a, j-=6, etc. u=m, v=n, etc., satisferont au nouvel énoncé.

En effet, les équations que l'on obtiendra, si l'on résout ce nouveau problème, peuvent se déduire de celles du premier, en y changeant les signes des inconnues dont on change le sens, c'està-dire en y remplaçant x, j, etc., par — x, — jr, etc. ; or, posons un instant — x==x', — ^j=y, etc., et substituant dans le second système d'équations , nous retomberoni^ visiblement sur le premier système, dans lequel cependant les lettres x,j-, etc., auront été remplacées par x', y, etc. On retirera donc, par hypothèse, de ces dernières équations

x'= — a, j'= — bf etc., w=m, t?=n, etc.;

OU bien, en substituant — x, — j-, etc., à a?\y, etc.

— x^ — a, --^jr^z—b, etc., t4=w, t?=n, etc.

d'où

af=ca, j=^by etc., w=m, t?=n, etc.

(?e jfu'i/ fallait démontrer.

289. 7ot^^ problème à une seule inconnue peut être envisagé sous autant de points de vue que l'équation à laquelle il conduit renferme de lettres; car on peut considérer successivement toutes ces lettres, hors une seule, comme connues, et déterminer celle qui reste au moyen de Féquation. Ainsi, la question du (n** 286), qui a conduit à l'équation na'\-nx=mb^^mxy peut être variée de cinq manières, suivant que Ton prend pour inconnue 3ç, a, è, m ou w.

En général, quand un problème conduit à plusieurs équations, on peut regarder comme inconnues un nombre de lettres égal à celui des équations et toutes les autres comme connues.

290. La remarque faite dans le numéro précédent, nous permet d'appliquer aux quantités connues tout ce qui a été dit relativement aux quantités inconnues; de làVîet autre principe :

Lorsqu'un problème a été résolu, et que l'on change son énoncé de manière que quelques-unes des données prennent des acceptions contraires à celles qu'elles avaient d'abord, il suffit de changer dans les résultats les signes de ces données.

Appliquons cette règle au problème suivant.

290. Problème. Un pêcheur, afin d'encourager son fils, lui promet a décimes par chaque cou/p de filet heureux^ et b décimes par chaque coup infructueux ; après c coups ^ h père doit d décimes à son fils. Combien y a-t-U eu de coups heureux et de coufs infructueux^

Soit X le nombre des coups de filet heureux et y celui des coups infructueux; on a d'abord x-|-y=c. Les a? coups heureux et les y coups malheureux rapportent respectivement au fila du pêcheur ax et by décimes, et par conséquent ax + by=d.

On trouve, par la résolution des équations précédentes, d — bc ac — d

Le problème ne sera soluble que lorsque ces valeurs seront entières et positives ; cette dernière condition exige, dans le cas où a est > 6, que d soit > bc ei< ac.

Transformons actuellement renoncé de cette sorte : Un pêcheur ^ afin d'encourager son fils, s'engage à lui donner a décimes par coup de filet heureux, mais aussi à lui retenir h décimes par coup infructueux. Après c coups, le fils doit à son père d décimes : combien y a-t-il eu de coups heureux et de coups malheureux?

Sans qu'il soit besoin de faire de nouveaux calculs, il suffit de chajiger, dans les formules auxquelles nous venons de parvenir,, les signes des quantités betd qui ont pris des acceptions opposées; remplaçons donc A et rf par — b et — d, il vient

(—d]—{^b)c flg — (— d)

ou

bc — d ac + d

'^~T+b' y — -^rfb'

c'est aussi à quoi l'on parvient, comme il sera facile de s'en assurer, en résolvant directement la question.

Si d est > bc, la valeur de x est négative ; celle de y reste positive, mais elle n'en est pas moins inadmissible : en effet, de l'inégalité hypothétique d>bc, on déduit aisément aC'\'d>ac-{'bc

aC'A-d » ^ !• • • -11

ou — 2jlT" >^» cest-a-dire y>c, ce qui est impossible.