III. Problèmes des courriers
291 . Deux courriers partent au même instant des points A et B, distants de à lieues ; le premier fait a lieues dans une heure, et le second en fait h : à quelles distances des points A et B se rencontreront-ils, et après combien d'heures?
Nous distinguerons deux cas ; celui où les courriers se dirigent dans le même sens, et celui où ils se dirigent en sens contraire. Examinons d'abord le premier.
4*' Cas. Supposons, pour fixer les idées, que les deux cour-
riers se dirigent de gauche à droite, et soit R le point où ils se rencontrent.
Représentons par x ei y les distances AR et BR exprimées en lieues; la figure fournit immédiatement AR — BR=AB ou X — y=d.
Le premier courrier, faisant a lieues dans une heure, mettra autant d'heures pour parcourir jc lieues que x contient de fois a,
c'est-à-dire — heures. Le second courrier, pour parcourir y lieues , mettra de son côté --- heures. Or, les deux courriers,
partant en même temps des points A et B, ont voyagé le même
X ti
nombre d'heures lorsqu'ils se rencontrent : donc — ==-?-. ^ a b
Résolvons les deux équations du problème.
on tire de la seconde x^= -r-y, et, en substituant dans la première, il vient
a , ,, , bd
Portant cette valeur de y dans l'expression ^= t- y> ^^
trouve
a bd ad
x=-^r' r» ou a;= r.
Le nombre d'heures écoulées avant la rencontre étant exprimé
ad d
par — , sera -7 -jt ou , .
Substituons, afin de vérifier, les valeurs des inconnues à x et
à y dans les équations (a) ; elles deviennent
ad bd . ad bd .
^=6~^=Â~ ' a[a—b)~h[a~by
égalités qui se réduisent à celles-ci
d'algèbre. 4 il d = d ou d = d, 7 == r •
Pour faire une application des formules précédentes, posons d= loo, a=7, 6 = 2 ; il en résulte
le temps écoulé avant la rencontre est ou 20 heures.
Discussion. Trois cas se présentent naturellement dans la discussion des formules x=^ 7 ©^ y = z - 1® a > é;
2<> a = b; 3° a < é; ou, en d'autres termes, le premier courrier va plus vite que le second ou aussi vite ou moins vite.
i^ ayb. Le dénominateur a — b étant positif, en vertu de rhypothèse, les valeurs de a? et de j/ seront aussi positives, et le problème sera résolu dans le sens de son énoncé. On conçoit en effet que la vitesse du premier courrier étant plus grande que celle du second, la distance qui les sépare décroît à mesure que le temps s'écoule, et qu'enfin elle doit finir par s'annuler.
Sî d = o, les formules deviennent a?=o, y=o. Les courriers se rencontrent donc au point de départ qui leur est commun, ce qui d'ailleurs est évident.
2*> a=b. Les formules fournissent a:= — , v = — ; pour
interpréter ces résultats, remarquons que les fractions , et
bd
, qui expriment les distances du point de rencontre aux
points de départ, acquièrent des valeurs de plus en plus grandes, à mesure que la différence a — é des vitesses des deux courriers diminue et converge vers zéro. Enfin, lorsque a — é=o, ou, ce qui revient au même, lorsque a = i, ces valeurs surpassent toute quantité assignable et deviennent infinies (82). Les expressions ar= 00, y = 00 indiquent que les courriers se rencontrent après avoir parcouru des espaces infinis, ou mieux, qu'ils ne peuvent jamais se rencontrer. Le problème est donc impossible.
1 4â PftiNGlPE^
Il est visible en effet, que les deux courriers allant dans le même sens et également vite, conservent toujours entre eux leur distance initiale et ne peuvent se joindre. Il sont ab^olnnmnt dans le même cas que la grande et la petite roue d'une voiture en mouvement.
Dans l'hypothèse actuelle , la seconde équation du problème
devient — ±=: -^ ou x — y=o, équation évidemment contradie-
toite avec la première x — y=^rf, puisqu'il y a égalité entre les premiers membres et inégalité entre les derniers.
Supposons maintenant que l'on ait à la fois a=b et (2=o; les formules
ad ^d j ^ o o
a?= 7, î/== 7 donnent a?= - — , y= — ;
or, le quotient de zéro divisé par zéro est im nombre arbitraire, car, en faisant le produit de ce nombre par le diviseur zéro, on retrouve le dividende zéro (64). Les courriers se rencontrant après avoir parcouru des espaces quelconques, se trouvent toujours ensemble et par conséquent le problème est indéterminé', il est d'ailleurs manifeste que cela doit être ainsi, puisqu'ils partent au même instant du même point et qu'ils se dirigent dans le même sens avec des vitesses égales.
En vertu des deux suppositions précédentes, les deux équa-
tiens du problème x — j- = d et — = -^^ rentrent /'tme dans
Vautre^ car elles se changent en
w — y==o et — = -^ ou X — t/ = o.
3** a < 6. Le dénominateur a — b étant négatif, les valeurs de :r et de ^ sont aussi négatives et cette circonstance indique un vice dans Vénoncé; les courriers jie sauraient effectivement se rencontrer, puisque le premier marchant plus vite que le second, leur distance respective croît à chaque instant au lieu de diminuer.
Pour rectifier l'énoncé, il suffit de supposer que les tourrîers
se dirigent de droite à gauche , de sorte que le courrier dMi la vitesse est la plus grande court après celui dont la vitesse est la plus petite, et que la rencontre ait lieu en un certain point R'.
Afin d'obtenir les formules relatives à cette hypothèse, il faut,
dans les expressions a;= -37 et !/="l!II' changer les signes
des quantités a, by x, y, qui prennent des acceptions opposées; on trouve par ce moyen
— ad * — bd
ou, en changeant les signes des deux membres de chaque équation, et écrivant les termes positifs des dénominateurs les premiers,
ad bd
^=/ni:;' y=
2® Cas. Imaginons actuellement que les courriers se dirigent en sens contraire; savoir, le premier de A en B et le seccHid de B en A; il sera inutile, d'après les principes établis, de remettre le problème en équation ; il suffira de remplacer dans les formules du premier cas les quantités 6 et ^ qui changent de sens par — b et — y, ce qui donnera
ad — bd bd
a? = — p-7, — y= — ;— 7, ou y=* — ru-
Le temps écoulé avant la rencontre est
Les valeurs des inconnues étant positives, quel que soit le rapport des vitesses a et i, les courriers se rencontreront essentiellement et le problème sera toujours déterminé.
Si a==6, ces formules prennent la forme
orf d ad d^
aa **^ 2' ^ 2a 2'
ce qui indique que le point de rencontre est le milieu de la droite AB.
Posant d=6o^ ^=^7» 6^5, dans les formules relatives au
i 44 PRINCIPES
deuxième cas, on trouve que a?=35 lieues, et y ==25, et qu'il s*écoule 5 heures avant la rencontre.
Énoncés de quelques questions relatives au problème des courriers.
• 292. Problème. Un lévrier poursuit un lièvre qui a sur lui une avance de d pas; le lévrier fait m sauts, tandis que le lièvre fait n pas, et p sauts égalent q pas. Combien le premier fera-t-il de sauts avant d'atteindre le second, et combien ce dernier fera-t-il de pas avant d'être atteint ? Rép. Le lévrier et le lièvre feront
l'un ^ sauts, l'autre — — pas.
mq — np mq — np '^
293. Problème. Les aiguilles d'une montre marquent midi : à quelles heures coïncideront-elles? .
Rép. Elles coïncideront
à I heure — , 2 heures — , 3 heures — ... 12 heures. II II II
294. Problème. A quelles heures les aiguilles d'une montre sont-elles directement opposées ?
Rép. Elles sont directement opposées à — heures, i heure -2-,
2 heures — , 3 heures -2- .... 12 heures — .
