I. Réduction des termes semblables

30. On appelle termes semblables , ceux qui sont composés des mêmes lettres affectées des mêmes exposants, quels que soient d'ailleurs leurs signes et leurs coeflScients : tels sont ya'iV, — 2ia^J-c, 7 a^b^c. Les termes 5ai% Sab^c qui ne renferment pas les mêmes lettres sont dissemblables^ ainsi que 8a^i', 8a^b^ dont les mêmes lettres ne sont pas affectées des mêmes exposants.

31 . La réduction des termes semblables consiste à les exprimer par un seul, en effectuant les additions et les soustractions indiquées par les signes dont ils sont affectés.

Pour faire cette réduction, on prend d'une part la somm^ des termes semblables affectés du signe +, et de l'autre la somme de ceux qui sont affectés du signe — , on retranche la plus petite somme de la plus grande, et Von donne au reste le signe de la plus grande. Soit, pour exemple, à réduire le polynôme

5a6» — 6a6»-f loai* — 8ai'— a6*+4a6* — aoaA\ qui ne se compose que de termes semblables. La somme des termes qui ont le signe -j-^st 5a6*+ïoa6*+4^6* ou igai*. Celle de ceux qui ont le signe — est 6a6* + 8a6* + «** -f ^oa^' ou 35a6M retranchant la plus petite somme lyab* de la plus grajide 35a6*, on obtient i6a6% reste auquel il faut donner te signe — de la plus grande somme. Ce polynôme, toute réduction faite, est donc égal à — I6ai^

Le plus souvent on effectue la réduction au fur et à mesure que les termes se présentent et l'on fait de vive voix les calculs suivants : oaé* — 6aé* = — ai* , — ai* -|- loai* = gai* , gai* — 8ai* = ai*, ai* — ai* = o, ^ab^ — 2oai*= — i6ai*.

Lorsqu'un polynôme renferme plusieurs espèces de termes sem^

blables, on applique à chaque espèce la règle précédente. Ainsi le polynôme

6a6'— 706^— i8(?*—3+i5aft^—i8a6*+io+i7c'-2o6*~ii+(?% qui en renferme de quatre espèces, conduit aux calculs suivants :

i« 6a6»— i8ai» = — laafcS — i2a6*— 206* = — i4a6*;

20 — 7a6^+i5ai* = 8ai^

et se réduit à — i4ai*+ 8ab^— 4.

n. Addition algébrique.

32. Le but de cette opération est de trouver la somme de plusieurs nombres exprimés algébriquement.

33- Pour faire l'addition des quantités littérales, il faut les écrire les unes à la suite des autres avec leurs signes tels qu'ils sont et faire la réduction des termes semblables, (n® 31 .)

1" Exemple, [a^ + 3a»6) + (20^4^*6 + b^) + (5a'+2i«) = a' + 3a'i + 2a^ + ^a'b + 6^ + 5a^ + ^b\ ou en réduisant 8a^ -|- 7a'* + 36^.

2*^£a7emp/e.(5a'i'— 8a6)+{2a'6'—3i^+9a6)+(— 3ai+3J') = 5a^6*— 8a6 + 2a^i'— 36^+906— 3ai+36^ ou après les réductions, 'ja^b^ — 2a6.

Pour abréger, on fait souvent la réduction des termes semblables en même temps que l'addition , en se dispensant d'écrire d'abord les termes des quantités données, les uns à la suite des autres.

DÉMONSTRATION. Cette règle est évidente, lorsque, comme dans le premier exemple, tous les termes des quantités à ajouter sont positifs.

Supposons donc que ces termes, comme dans le 2* exemple, soient en partie positifs et en partie négatifs, alors nous dirons ajouter la quantité 2a^6* — Si^ + gai à la quantité 5 a^ 6' — 8a6, c'est évidemment l'augmenter de 20^6* -|- gai et la diminuer en même temps de 36^ ; donc la somme de ces deux expressions est

d'algèbre. 1 3

bien 5a^6*— 8a6+2a'i*+9a6— 3i\ ou 5a'i»— 806 + aa'ô» — 36^ +906, puisqu'il est permis d'intervertir l'ordre des termes d'un polynôme (n° 21 ) ; ensuite faire la somme de cette dernière quantité et du binôme — iab + 3é^ c'est lui ajouter le terme 36^ et en retrancher le terme iab. Donc la nouvelle somme est5a*6'— 8a6 + 2a^6*— 36^+9a6-[-36^— 3a6, ou (n« 21) 5a*6' — 8a6-|-2a^6' — 36^ + 906 — 3a6 + 3J\ ou bien enfin après la réduction, ya^b^ — 2ab. Ce qu'il fallait démontrer.

ni. Soustraction algébrique.

34. On se propose, dans la soustraction algébrique^ de trouver la différence de deux nombres exprimés par des lettres.

35. Pour faire cette opération, on écrit la quantité dont on veut soustraire avec ses signes tels quHls sont et à sa suite celle que Von veut retrancher en changeant les signes de tous ses termes \ puis on fait la réduction des termes semblables.

1«'Ea?. a — (6— c) = a— 6+(?.

2« Ex. (3a'— 20*) — (5a^— 6aft— (?*) = 3a'— 2a6— 5aH 6a6 + c% ou toute réduction faite — 2a' -|- 4^* + ^*-

DÉMONSTRATION. Raisonuons d'abord sur le 1®' exemple. La quantité a peut visiblement s'écrire ainsi a + 6 — b-^c — c, puisque b — 6=^0, c — = 0. Supprimons, dans cette dernière expression, la quantité b — c que l'on veut retrancher, on a pour reste a — b-^c. Pour vérifier, ajoutons b — c et a — ô+c, la somme b — c-^-a — b-^-c se réduit à a, ce qui indique que la soustraction a été bien faite.

Répétons cette démonstration sur le 2® exemple. La quantité 3a' — 2a6 = 3a' — 2a6 + 5a' — 5a' -|- 6a6 — 6ab + c* — c^ ; à raison de ce que 5a' — 5a' = 0, &ab — 6a6=o, c'— (î*=^o. En enlevant la quantité à soustraire 5a' — 6ab — c*, on aura pour différence 3a' — 2a6 — 5a'+6a6 + (?*, expression qui, comme nous l'avons vu , se réduit à — 2a' -f- ^ab -[- c*.