V. Problème sur les alliages

296. Un fondeur possède a kilogrammes d'étain à m /r. le hilog.y et h hilog. de cuivre à n fr.; il forme avec le tout deuv alliages dont l'un vaut p fr, le kilog, et Vautre q fr. : on demande les poids des deux alliages et les quantités d'e'tain et de cuivre dont chacun d'eux est compose'.

Représentons par x le poids du premier alliage et par j- celui du second; la somme des poids x eij- des deux alliages doit être égale à celle des poids a et 6 des métaux dont ils sont composés; donc X'{-j'=a-\-b.

Les X kil. de l'alliage à p fr. le kil. valent px fr. et les j* kil.

à q fr. valent qj- fr. ; en ajoutant ces deux quantités, on doit

trouver le même résultat qu'en prenant la somme des a kil.

d'étain à m fr. et des b kilog. de cuivre à n fr. De là résulte

pX'^qj- = ma-}-nb.

Afin de simplifier cette dernière équation, appelons / le prix d'un kilog. de l'alliage formé avec les a kilog. d'étain et les b

kilog. de cuivre; nous aurons évidemment / = — , . , d'où

ma-^nb^(a-\'b) ; ce qui ramène cette équation à celle-ci px-^qjr=l{a-{-b).

Si l'on résout les équations

a?-f-jr=a-)-é; jt?a?+5[r=f («+*)» W

on trouve

Soient maintenant s kil. et t kil. les poids de Pétain et du cuivre qui entrent dans le premier alliage dont le poids x vient d'être déterminé; soient aussi u kil. et v kil. les choses analogues pour le deuxième alliage dont le poids est y ; nous aurons

[ms-\-nt=px; {mu-\-nv=qy;

équations d*où Ton tire

^= x; lv = -y;

ou, en substituant k x et y leurs valeurs,

V (m-n){p—g) ^ ' ^' ^ {jn—n)^-g) ^ ^

Discussion. Commençons par les formules (e), dans lesquelles il est permis de faire p>gf puisque cela revient à supposer que l'alliage énoncé le premier est le plus cher.

Le problème ne sera soluble que dans le cas où les valeurs de a: et de y seront positives; il faut pour cela que Ton ait / — g'>o et p — Z>o, c'est-à-dire, que / soit compris entre p et g. Si /=jt?; x = a'\'b et y=o; Si l=g; a?==o ety = a + *; résultats qu'il était facile de prévoir.

Supposons maintenant jt? = g; on a dans cette hypothèse

Le problème est donc impossible. La dernière des équations (d) devient en eiïet px-\-py ^=l{a-\-b) ou X'\-y= — (a + 6), équation incompatible avec la première X'\-j'=a'\-b, à moins que l'on ait /=p, auquel cas elles rentrent l'une dans Vautre. Dans cette dernière supposition, les valeurs des inconnues se présentent sous la forme — et la question est indéterminée.

i 48 PBINGIt»Ei§

Considérons actuellement les quatre formules (f), dans lesquelles nous supposerons x eiy positifs ou autrement / compris entre p et q. Nous pourrons aussi y regarder m comme plus grand que n, puisque Tétain est plus cher que le cuivre.

Les valeurs de s, ty u, v, ne seront positives que dans le cas de p — n>o, m~jt?>o, q — n>o, m — q>Of ce qui exige que les nombres p et 9 soient compris entre m etn. On peut donc dire que le problème sera possible et déterminé toutes les fois que p etq

seront compris entre m et n et comprendront 1 ou — T" , .

Examinons quelques cas particuliers.

Si »= m, s= Xf t= X ou s = x. t=o,

Siq=rn, u=- — -r, ^=- — -J- ouw = o, v=jr.

Dans la première supposition, le premier alliage ne contient pas de cuivre, et dans la seconde, le deuxième alliage ne contient pas d'étain.

Si m = n ; ^, t, u, v deviennent infinis et la question est impossible.

Enfin, si m^=^n=p = g; les valeurs des inconnues sont de la

forme — et il y a indétermination.