IV. Autre problème

295. Un bâton est en partie plongé dans l'eau et en partie hors de l'eau. Si on le retire de a pieds, la partie dans l'eau est à la partie hors de l'eau comme m : n. Si on l'avait sevn lement retiré de h pieds, la première partie aurait été à la seconde dans le rapport de ç à q. On demande la longueur du bâton?

Soit X la partie du bâton plongée dans l'eau et y celle hors de

l'eau; suivant que l'on retire le bâton de a ou de 6 pieds, les

parties dans l'eau et hors de l'eau deviennent x — a et ^ -f- ^» ^"

X — b et y-{-b, et les deux conditions du problème fournissent

D*ALGÈBRE. i 45

proportions d'où Ton lire

ou, en préparant ces équations,

nx — m7^== (m+n)a, qx — pj- -= {P'^q)b, Afin d'éliminer j, retranchons ces équations, après avoir multiplié la première par p et la seconde par m ; nous aurons, en dégageant x de son coefficient,

^^ (m+n)pa—{p + q)mb np — mq Si Ton détermine j- par un procédé semblable, on trouve (m+n)qa-(p'\'q)nb np — mq Actuellement, pour avoir l'expression de la longueur du bâton, ajoutons ses deux parties x et j", et, afin de simplifier, réunissons les termes affectés àe m-{~n et àe p-\-q; il vient

r \r— (^+^^ (y+y)q— (P + 9) {^+n)b np — mq *

ou bien

^ (m+n)(/> + g)(fl — &) ^

"" • np — mq

Discussion. Le numérateur de cette formule est toujours positif en vertu de l'hypothèse a > é ; mais le dénominateur peut être positif, nul ou négatif.

1® Si np>mq, la valeur de x est positive et le problème déterminé.

2° Si np=mq ou np — mq^^o, on a a;4-j*= ^ et le problème est impossible. Afin de faire apercevoir la contradiction qui existe entre les conditions de l'énoncé, remarquons que de np = mq on lire p : q :: m: n, et qu'en comparant cette proportion aux proportions [c], on en déduit celle-ci, x — a : j^-f a :: x — b ij-^-b, qui est fausse, puisque le premier terme x — a est plus petit que le troisième j: — i et que le second j*-f-^ est plus grand que le dernier j^+ 6.

Si l'on a à la fois np=mq et a=i, la valeur de x-\-jr prend

la forme — et la question devient indéterminée. Les deux con-

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ditions qu^elle fournit sont en effet identiques, car en substituant a à 6 et le rapport p : q k son égal m : w, la seconde des proportions (c) reproduit la première.

3° Si np<mq^ la valeur de x-^-jr devient négative et par suite le problème insoluble. Pour mettre en évidence le défaut de l'énoncé, observons que l'inégalité np<mq peut se mettre sous la forme p :q<m: n et que de là résulte, à cause des proportions (c), X — b \y +é<a7 — a : j'+a, ce qui est impossible en tant que a est >b.