Formation de la formule x=^ — . Le dénominateur

n'est autre chose que le coefficient de V inconnue dans V équation, et le numérateur se déduit du dénominateur en jr remrplaçant ce coefficient par le terme tout connu. Cette remarque, faite isolément, est insignifiante; mais elle mérite d'être retenue à cause de ce qui doit suivre.

301 . Toute équation du premier degré à une seule inconnue n'a généralement qu'une seule solution. Supposons que l'équation ax=^b ait deux solutions et soit vérifiée par x=x et x=x"; on aura ax'=b, ax"=b, et en retranchant, a{x' — x")=o; or, un produit de deux fadeurs ne peut être nul, à moins que l'un d'eux ne soit nul, et comme ici on ne peut avoir généralement a = o, il faut que x — x"=o, d'où x'=x". Donc toute équation, etc.

302. Discussion de la formule x= - . Il faut distinguer trois

cas : \° a n'est pas nul ; 2'' a = o ; 3° a = o et 6 = o.

1*' Cas. Si a n'est pas nul, la valeur de l'inconnue est finie; positive ou négative, selon que a et é sont de même signe ou de

signes différents. Si A = o, x=i — , ou x=o. Dans ce premier

cas, réquation aic=6 est proprement dite, puisqu'elle ne peut être vérifiée que par une seule valeur de x.

2® Cas. Si a = o, on a 0?= — , ou a:= oo; la valeur de Tin-

connue est donc infinie. L'équation ox = i, qui résulte de cette supposition, est visiblement impossible; car, quel que soit le nombre substitué à x, le premier membre, dont la valeur est zéro, ne peut être égal au second qui est un nombre déterminé.

Il est à remarquer que de l'équation or =6 on retire o = — ; à mesure que x croît, le second membre — décroît, et il est

toujours possible d'attribuer à x une valeur tellement grande que celte fraction devienne plus petite qu'une quantité donnée ; mais l'équation ox=b n'est complètement satisfaite que lorsque la valeur de X surpasse toute quantité imaginable, auquel cas on a

o = — ou G = o. L'équation ox-=b n'est donc pas résoluble en

nombres finis.

3^ Cas. Si a=G et é=o, la formule x= — donne x= — ;

la valeur de l'inconnue est indéterminée ; l'équation ax = 6, devenant en même temps ox= g, est identique, car elle est vérifiée, n'importe le nombre substitué à x.

On peut conclure de cette discussion que suivant que la valeur de X est finie, infinie ou indéterminée, V équation ax=^b est proprement dite, impossible ou identique.

303. Réciproquement, suivant que l'équation ax=b est proprement dite, impossible ou identique, la valeur de x est finie, infinie ou indéterminée. Car, dans ces trois suppositions, cette équation prend les formes suivantes,

axs=zb, Ga? = A, oa? = o, et l'on en retire

304. L'expression — n'est pas toujours le symbole de Vindétermination ; elle peut, à la suite d'une hypothèse, prendre une valeur finie ou indiquer vme impossibilité.

ConsidéroDs d'abord l'équation

ox 4- 6' = bx+a*, d'où x — r- .

Supposons, dans la valeur de l'inconnue^ a=6; elle deviendra

x^=i ou a?= — :

dans cette hypothèse la valeur de x est cependant finie\ en effet,

avant de faire a = 6, remarquons que l'expression précédente

peut s'écrire ainsi (46)

x=^ '-^ — - ou x — a+b,

après en avoir divisé les deux termes par a — b. Faisant alors a = 6, elle devient x=a'\-a oua? = 2a; donc — =2a.

Considérons encore l'équation

a*x -+- b*^ + b^= 2«éa? + <^^i d'où x = > , ,, r- ;

' ' • ' a ^b —2ab

posons dans ce résultat a :=6, nous obtiendrons

a;= -^- — , ^ , ou x = — ;

a-\'a — aa o

je dis cependant que la valeur de x est infinie. En effet, en vertu des numéros (46 et 77) et avant de faire a = 6, notre résultat peut se mettre sous la forme

(a — b) (a* +ab + b') a'+ ab + b'

x^-^ ~ — ' , *^ — - ou X— ! j-^ —

et, si alors on fait a = b, il donne

X = ! ! OU x= ;

dans ce cas particulier, on a donc — = oo .