II. Discussion des équations à deux inconnues
305. Toute équation du premier degré à deux inconnues est de la forme ax-|-by = c; a, b, c étant des nombres entiers positifs ou négatifs. En effet, après en avoir chassé les dénominateurs, on peut transposer dans le premier membre les termes affectés des inconnues, et dans le second membre les termes connus; désignant alors par a la somme des coefficients de x, par b la somme de ceux de j-, et enfin par c la somme des termes connus, cette équation prendra la forme annoncée.
306. Problème. Résoudre les deux équations générales ax-\'bj'=iC, ax-\'b[r=c\ (a)
Nous emploierons de préférence le procédé d'élimination par addition et soustraction. Chassons d'abord j-, et à cet effet, multiplions la première équation par b\ coefficient de j- dans la seconde, et la seconde par é, coefficient de j* dans la première; nous aurons
ab[x-\^bby = cb\ ba'x-^ bb'j = bc'
et, en retranchant ces nouvelles équations,
^J' Iq'
[aV — ba')x=^cb'—bc', (b) d*où ic= ,,, , . (c)
Soustrayant maintenant la première des équations (a) de la seconde, après les avoir multipliées par a' et par a; il vient
(ab' — ba')^ = ac' — ca\ (d) d'où :r= ,,, , . (e)
La valeur de j* aurait pu se déduire de celle de x d'une manière fort simple. Remarquons pour cela que les équations (a) ne changent pas, lorsque, sans toucher aux accents, on remplace a par b, x par y et réciproquement. La formule (c), qui en est une conséquence, jouit de la même propriété; elle devient, moyennant les mutations indiquées,
ca' — ac' ,. ac' — ca'
en multipliant le numérateur et le dénominateur par — i, et en écrivant les termes positifs les premiers.
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Les formules (c) et (e) vérifient les équations (a), car, comme on pourra s'en convaincre, on trouve, après la substitution, c = c et c' = c'.
Appliquons cette théorie à la résolution des équations
3X— 2jr=— 5, yx+jr=zio;
afin de les identifier aux équations (a), posons a =3, 6 = — 2, c= — 5, a' = 7, 6'== I, c' = G ; et substituons dans les formules (c) et (e) ; nous trouverons
^^ (—5) X 1— (— 2) X o ^ — 5Xi 5
3Xi — (— 2)X7 3X1-1-2X7 ~ 17"
3X0— (— 5)X7 ^ 5X7 ^^ - ^ •^~3Xi— (— 2)X7 ~ 3X1+2X7 17"'' 17 • C'est ce que l'on obtient, en résolvant ces équations directement.
307. Formation des formules (c) et (e). En les examinant avec attention, on découvre la loi suivante, qui servira à se les rappeler.
Pour former le dénominateur commun aux valeurs des deux inconnues, on permute de toutes les manières possibles les coefficients sl et h de x et de y dans la première équation, ce qui donne ab e^ Ba ; on aff'ecte les secondes lettres d'un accent, et on sépare les deux permutations par le signe — ; de là résulte le dénominateur ab' — ba'.
Pour former le numérateur de chaque inconnue, on remplace, dans ce dénominateur, le coefficient de cette inconnue par le terme tout connu de la première équation, en ayant le soin de ne pas déplacer les accents. Ainsi, ab' — ba' devient cb' — bc' pour la valeur de x et ac' — ca' pour celle de y.
308. Deux équations du premier degré à deux inconnues n'ont généralement qu'une seule solution. En effet, par l'élimination successive de y ^^ de x, les deux équations (a) du n*^ 306 se ramènent aux équations (b) et (d), qui ne renferment chacune qu'une inconnue; de sorte que les valeurs de j: et de jqui satisfont aux deux premières, vérifient aussi les deux dernières et réciproquement; or, les dernières ne peuvent être réso-
lues que par une seule valeur -de or et de j- (301); donc aussi deux équations, etc.
309. Discussion des formules (c) et (e). Nous distinguerons trois cas; P ab'—ba' n*est pas nul; 2** ab' — ba'=o; 3® ab' — ia' = o, et cb' — bc'=o,
1®' Cas. Si ab' — ba' n*est pas nul, les valeurs de a? et j* sont finies et déterminées. Elles peuvent d'ailleurs être positives ou négatives , entières ou fractionnaires ; nous dirons, pour exprimer cette circonstance, que les équations (a) sont déterminées , c'est-à-dire susceptibles d'être résolues par un seul couple de valeurs finies de x et de y.
2® Cas. Si ab'—ba'==o, les formules (c) et (e) donnent cb' — bc' ac' — ca' ^= — ;; — > -^^ 7. — '
et les inconnues se présentent sous formes infinies] je dis dans ce cas que les équations (a) sont incompatibles y ou autrement qu'elles ne peuvent être vérifiées par aucun couple de valeurs finies de X et de y. En effet, de Féquation de condition àb' — ba' = o,
nh'
on tire a' == -7- , et en substituant dans l'équation a'x-^b'jr^^c^
on trouve
— x-^b'x^c', ou bien aa? + *J'=-Tr>
après avoir multiplié par b et divisé par 6' ; or, cette dernière équation est visiblement contradictoire avec celle-ci
ax'\'bjr = c, puisque les premiers membres sont identiques et les seconds différents, en vertu de l'inégalité hypothétique cb' — bc' > ou < o,
bc' d'où l'on déduit cb'> ou <bc' , et par suite c> ou < -rr •
3® Cas. Si ab' — ba'=o et cb' — 6c'=o, la formule (c) fournit
0? =r — ; les équations (a) deviennent alors indéterminées , ou, ce
qui est la même chose, elles peuvent être satisfaites par une infinité de couples de valeurs finies de x et de y. Cette assertion sera démontrée, si l'on fait voir que la seconde est une consé-
d'algèbre. 1 55
quence de la première» car il n'y aura plus qu'une seule équation pour déterminer deux inconnues (257). Tirant à cet effet les valeurs de a' et de c' dans les égalités de condition ab' — éa'= o,
cb' — 6c'=o, on trouve a'= -r- , c'= -r- • et, en substituant
dans ax-^-b'jr^rsc'f il vient
— T— x-|-iy= — T— ou bien aa:-j-ô^=^, après avoir multiplié par b et divisé par i'.
Les équations conditionnelles aé'— 6a'=o, cb' — ic'=o, fournissent 6'= — , 6'= — , et, en égalant ces deux valeurs de b\
— = — , d'où abc' — ftca'=o et biac' — ca')=o; c a \ I 7
la relation ac' — ca'=o est donc une conséquence essentielle des deux précédentes, excepté toutefois dans le cas particulier de ^== o. De là il suit que si l'une des inconnues x et y est de la
forme — , Vautre sera généralement de la même forme.
Examinons actuellement le cas de 6 = o, dans lequel o ac' — ca'
X^-,jr= 1 0Ur=Oo;
les relations ab'—ba'=o, cb' — bc'=o, se changent en a6'=o, cb'= o; et, pour y satisfaire, de manière que le numérateur de j* ne devienne pas nul, il faut poser b' = o. Les équations (a) prennent alors la forme
ax-]'0.j'=zc, ax:\'0.j'==^c'f
d'où a? = — , a?= -~r> et sont généralement incompatibles. Si
toutefois on avait —7- = — ou ac' — ca =0, la valeur de se serait a a
déterminée et celle de / indéterminée ; mais dans ce cas les deux inconnues se présenteront sous la forme — .
On peut conclure de la dernière partie de cette discussion,
i 56 PRINCIPES
comme on Ta déjà indiqué dans le n° 302, que l'expression —
peut, dans certain cas, prendre une valeur finie ou indiquer une impossibilité.
Les réciproques des trois cas précédents sont faciles à établir.
1 ° 5i les équations (a) sont déterminées, les valeurs des inconnues \ et y sont finies. Car, s*il en arrivait autrement, ces
valeurs ne pourraient se présenter que sous la forme — ou sous
celle-ci — ; or, les équations (a) seraient incompatibles dans
le premier cas et indéterminées dans le second, ce qui est contre la supposition.
2° Si les équations (a) sont incompatibles, les valeurs des inconnues xety sont infinies. En effet, si elles étaient finies ou
de la forme — , il en résulterait que les équations seraient déterminées ou indéterminées, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse.
3° Si les équations (a) sont indéterminées, les valeurs de x
et de y sont de la forme — ; car, en vertu de la supposition,
elle ne peuvent être ni finies ni Jnfinies.
Les différents points de la discussion précédente peuvent se résumer ainsi : suivant que les valeurs de \ et dey sont finies, infinies ou indéterminées, les équations ax'\-bj=c, a'x-^-b'j-^rc', sont déterminées, incompatibles ou indéterminées et réciproquement.
31 0. Lorsque les termes tout connus c et c' des équations (a) sont nuls sans que l'on ait ab'—ba'=o, les valeurs de x et dey sont aussi nulles et réciproquement. En effet, si dans les formules
cb' — bc' ac' — ca'
^~ ab'—ba' ' ^~ ab'—ba"
on fait c = o, c'=o, on trouve
^ ~ ab'—ba' """' ^~ ab'—ba' """'
D* ALGÈBRE. i 57
Réciproquement si a? = o et j*=o, on a c = o, c'=o et aV — ba' n*est pas nul; car, en substituant ar=o, jr=o, dans les équations (a), elles deviennent
a.o-|-^.o=c, a'.o+6'.o=(?', d'où (?===o, c'=o ; on ne peut avoir d'ailleurs ab' — ba' = o, car il s'ensuivrait
