IV. Conclusion

325. Lorsque les conditions d*un problème ont été traduites en algèbre, il peut arriver que le nombre des équations soit égal à celui des inconnues, ou qu'il soit plus petit, ou enfin qu'il soit plus grand.

1 ° S'il y a autant d'équations que d'inconnues, le problème est généralement déterminé', cependant il deviendrait indéterminé,

si les valeurs des inconnues étaient de la forme — , et, impossible^ si elles étaient de celle-ci — . ,

2° S'il y a m équations entre m-j-n inconnues, le problème est indéterminé, car on peut prendre arbitrairement n inconnues et déterminer les m autres au moyen des m équations données ; observons toutefois que le problème deviendrait impossible, si ces équations étaient incompatibles.

3° S'il y a m+n équations entre m inconnues, la question est en général impossible ; car les valeurs des m inconnues déduites des m premières équations, ne peuvent vérifier les n autres qui n'ont pas participé à leur détermination ; si cependant, n équations étaient des conséquences des m autres ou si plus de n équations se trouvaient dans ce cas, la question serait déterminée ou indéterminée.

326. Nous terminerons la théorie des équations du premier degré par la résolution du problème suivant, remarquable en ce que son énoncé offre en apparence plus de conditions que d'in* connues.

Un père de famille ordonne, par son testament, que son bien soit partagé comme il suit :

L'aine de ses enfants prélève a fr. sur son bien, plus le — de ce qui reste; le second, ia fr. plus le — de ce qui reste ; le

troiHème, 3a fr.plus le — du nouveau reste; et ainsi de suite

jusqu'au dernier, en augmentant toujours de a fr.

Les dispositions du testament ayant été suivies, il se trouve que le bien a été partagé également entre tous les héritiers : quel est le bien du père, la part de chaque enfant et le nombre des enfants?

Soit X le bien du père et j' la part de chacun des enfants renoncé donne le moyen d*évaluer en x la somme qui revient à chaque héritier, et, en égalant chacune de ces parts kj-, on parvient à autant d'équations qu'il y a d'enfants; or, le nombre des enfants étant inconnu, celui des équations du problème Test pa^ reillement; pour que cette question soit possible et déterminée, il faut donc que toutes ces équations se réduisent à deux, à Taide desquelles on puisse trouver x et j-, et c'est précisément ce qui arrive.

Cherchons, pour le faire voir, la part du p^^^^ enfant ; elle se

compose de pa fr. et de la — partie de ce qui reste, lorsque Ton

a retranché de x les quantités pa et (p— i)jr, dont la dernière est la somme des/? — i parts précédentes. On a donc

pa-| ' ^ '-^^ =r ou p[an — a—j-j^r^—jr — x,

après avoir multiplié par n et transposé dans le second membre

les termes qui ne renferment pas p. Actuellement, si Ton fait

j9=i,j9=2, p=3 on aura l'équation relative au 1 ®', 2*,

3®.... enfant. Or, il est manifeste qu'à toutes les équations obtenues

ainsi, on peut substituer les deux suivantes

an—a—j'=o, njr—jr — x=^o,

puisqu'alors les deux membres de chacune deviennent zéro ; on

en retire

jr:=a[n — i), x^=j[n — i) ou xz=a[n — i)';

le nombre des enfants étant multiplié par — , égale n — i, en

vertu de l'équation a?=j [n — i). Supposant a= ioo,n= lo, et substituant dans ces formules, on trouve

a:= ioo.9' = 8ioo, j*=ioo. 9=900, — =9.

D*ALG£BRE. 169