ABC
Taffirme que les trois équations (i) sont incompatibles', et pour cela, il suflSt de faire voir que la troisième est contradictoire avec l'une des équations que l'on peut déduire des deux autres. Or, ajoutons ces dernières après les avoir multipliées par l et par m ; il vient
(aL-|-a'M)a?-|-(iL-|-6'M)j/4-(cL-|-c'M)z= dL+d'M ;
mais de la relation de condition aL-|-a'M+a"N =o et des équations (n), on lire
substituant les seconds membres aux premiers dans Téquation précédente et divisant par — n, elle devient
a"xi-b"y^c"z=-^^à^, (0)
équation évidemment incompatible avec celle-ci
a"x^b"y+c"z = d'\ puisque les premiers membres sont identiques et les seconds différents, en vertu de l'inégalité hypothétique
dL-{-d'M
dL-{-d'M-{-d"î^y ou <o, d'où d"> ou < —
3* Cas. Si D=o et a=o, on a a;= — ; les équations (i) sont
indéterminées. Cette assertion sera fondée, si l'on démontre que la troisième est une conséquence des deux autres. La condition A=o ou dL-\-d'M-{-d"is = o fournit
,,,__ dL-\-d'u , d — —— '
et si l'on substitue dans l'équation (o) qui résulte des deux premières, en vertu de l'hypothèse d = o, on trouve effectivement la troisième équation a''x'\-b"y-\'c"z==-d'\
Considérons actuellement les trois relations aL-f-a'M-fa"N=o, éL-f-i'M-(-é"N=o, CL+c'M-t"C"N=o; (p) on déduit de la première et de la troisième, en regardant n comme connue,
c a — a c ac — ca , .
ca — ac ca — ac
substituant ces valeurs de l et de m dans l'égalité de condition dL4d'M-|-d"N:=o, et chassant le dénominateur, il vient
[d[c'a"—a'c")'\-d\ac'—ca")-^d'\ca'—ac')]fi=o,
ou BN=o, en observant que la quantité comprise dans la parenthèse carrée n'est autre chose que le numérateur de y. On obtiendrait pareillement gn=o en remplaçant, dans l'équa-
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lion B^=s6f tet M par leurs valeurs, tirées des deux premières relations (p).
Les équations bn=o, cn=o qui résultent de la coexistence des deux hypothèses relatives au troisième cas, fournissent b = o, c=o, excepté dans les circonstances particulières où n=o. Donc
si Vune des inconnues se présente sous la forme — , les deux
autres seront généralement de la même forme.
Les réciproques des trois cas précédents peuvent s'établir à l'aide des raisonnements que nous avons employés pour les équations à deux inconnues.
Concluons de toute cette analyse que, selon que les valeurs des inconnues x, y, z sont finies, infinies ou indéterminées, le système des trois équations qui les a fournies est déterminé, impossible ou indéterminé et réciproquement,
320. Il nous reste à examiner le cas singulier de n = o, dans
lequel j:=-— ,j=— ', z= — ; pour interpréter ces résultats,
nous remonterons aux équations données.
En vertu des relations (q), on a d'abord l = o, m=^o et il s'ensyit
fe'c"— (?'6"=o, cb"—bc"=o, bc'—cb'=o; (r)
multiplions les deux dernières équations (i) par c et remplaçons cb' par bc', cb" par bc", elles prennent la forme
) ca'x-^c' [by--\'Cz)=cd\ (s) ou] ca'x-^-c'u^cd', (t)
f ca"x^c'iby + cz)=cd", ( ca"x-\-c"u=cd'\
en posant bj''\'€z=u. Ces trois dernières équations sont visiblement incompatibles (257). La notation — indique donc ici une
impossibilité.
Les équations (t) sont cependant possibles, lorsque Tune d'elles, par exemple la première, est une conséquence des deux autres ; de celles-ci on retire
substituant dans la première, chassant le dénominateur et transposant tous les termes dans le même membre, il vient
a[d'c"—c'd")i'C{a'd"—d'a")-d[a'c"-c'a")=:o ou b=o; cette dernière équation, multipliée par 6, donne iB=o, et en y remplaçant bc' par cb' et bc" par cb", elle devient cc = o, d'où
c = o, en admettant que c ne soit pas nul. On a donc x= — ,
y = — , z = — , quoique la valeur de x soit déterminée et que
l'indétermination ne porte que sur y et z, comme on le voit par les équations (u); c'est donc un nouvel exemple du cas où le
symbole — prend une valeur finie. L'hypothèse de c=o sera
examinée dans un instant.
Supposons, pour compléter cette discussion, que, indépendamment des trois relations (r), on ait celles-ci
c'a" — a'c" = o, ac" — ca" = o, ca' — ac'=o (v)
dont les premiers membres ne sont autre chose que les coefficients de d, d', d"f dans le numérateur b, de sorte que b = o.
cb' cb"
On tire des conditions (r) c' = -7— , c" = -y— ; et, en fia^isant
la substitution dans les nouvelles (v) , et chassant les dénominateurs,
on trouve
c[b'a"—a'b")=o, c{ab"—ba")=o, c[ba'—ab')=o\
d'oîi Ton déduit, en rejetant le cas de c =0,
b'a"—a'b"=o, ab"—ba"=o, ba'—ab'=o, (z)
et par suite c= ; de manière que a?=— ,y= — ,z= — ;
or, dans cette circonstance, les équations (i) sont incompatibles ; car si dans le système (s) on remplace ca' par ac', ca" par ac", et si Ton divise les deux dernières équations par c' et c", il se change en celui-ci, dont l'impossibilité est manifeste,
aa?-|-%"|-C5r=d, aX'^by-\-cz= — y- , ax4-by4'CX= — jr .'
Revenons enfin à l'hypothèse c = dans laquelle a? = — ,
y = -, ;?=-; les relations (r) et (v) se réduisent à
i'c"-c'6"=o, —b'c"=o, bc'=o,
c^a" — a'c"=o, ac"=o, — ac'=o,
et pour y satisfaire, sans que les conditions (z) aient lieu, il faut
poser c'=o, c"=o, ce qui correspond au système à'équaiions
impossibles (267)
ax^by=d, a'x+b'y=d\ a"x+b"y==d".
321. Lorsque les termes tout connus d, d', d", sont nuls et que D n'égale pas zéro, les valeurs des inconnues sont aussi nulles et réciproquement. En effet, dans 'la triple supposition rf = o, d'=o, d"=o, les formules (j), (k) et (1) donnent
^=-1 y==^> Z= - ou X=zO, yzzzO z=^o.
D ^ D D y If i
Réciproquement si a? = o, j/ = o, z = o, je dis que d=^o, d' = o, d"=o et que d n'est pas nul. Car ces valeurs substituées dans les équations (i) fournissent
«.o-f6.o+é?.o=d, a'.o+6'.o-f c'.o=d', a".o+6".o+c".o=d", d'où d=o, d'=o, d"=o; d ne peut d'ailleurs être zéro, sans
quoi l'on aurait a: = -, j/=-, z=-, ce qui est contre
l'hypothèse.
322. Si rf=o, d'=o, d"=o, d=o, les valeurs des inconnues sont indéterminées. Ce cas d'indétermination est remarquable, en ce que Von peut y trouver les rapports de l'une des inconnues aux deux autres ; en effet, les équations
ax-\-by'j-cz=^o, a'x-\-b'y'\-c'z=o, a"x-^b"y-^c"z=Oj divisées par z, se transforment en
considérant - , - comme inconnues, on tire des deux premières
X bd — cV y ca' — at' ^
z~ ab'—ba" z~ ab'—ba''
et ces valeurs vérifient la troisième, car après la substitution et
révanouissement des dénominateurs, on irouve D==io, ce qui est vrai par hypothèse.
323. Nous recommandons aux élèves de s'exercer sur les questions suivantes :
i ® Former trois équations du premier degré qui aient pour solution a? = ar', y=^y\z=z'.
2^ Former trois équations indéterminées ou incompatibles y en partant d'une ou de deux équations données.
3° Résoudre quatre équations générales du premier degré à quatre inconnues.
324. V indétermination et V incompatibilité des équations résolues directement^ se manifestent par Videntité o=^o et par l'équation impossible a=o. Considérons d'abord le système d'équations
2X — 3j/=5, loa:— i5î/=25,
qui, traité par les formules générales du n** 306, fournit a: = -,
y == - ; on en retire
^ ^ 3y+5 ^ i5y+25 ^^ 3y+5 ^ iSy-faS .
2 ' lO 2 10 *
d'oîi 1"* i5y-f 25=i5t/-[-25; 2° i5y— i5j/=25 — 26; 3° 0=0. Soient encore les équations
d'où l'on déduit , à l'aide des formules générales , a; = - ,
y = - . En les résolvant directemeat, on trouve
d'où i^ i5y-j-25 = i5y+27; 2° i5y— i5y=27— 26; 2° 0=2. Pour reconnaître l'identité de ces caractères, il suffit de chasser les dénominateurs dans les expressions
a? = — et x= —, o o
ce qui donne
o.a?=o ou o=-o, o.ar=A ou o=A.
d'algèbre. i 67
