I. Résolution et discussion des équations incomplètes
329. Toute équation incomplète du second degré est de la forme x^=q; car, après en avoir chassé les dénominateurs, si l'on réunit dans le premier membre les termes affectés du carré de l'inconnue et dans le second les termes connus, on a, toute réduction faite, une équation de la forme ax^=b, a et 6 désignant des nombres quelconques ; divisant les deux membres par a, elle
devient a?*= - ou x^^q, en posant, pour simplifier, - = g.
Si l'on traite de cette manière l'équation 5x^
on obtient successivement
5a7«=4— 4a?% 5ar*-f 4:r»=4, 93?»= 4, x* = ^.
330. Pour résoudre une équation incomplète du second degré, on la met sous la forme x*=q, puis, on extrait la r-acine carrée des deux membres, en affectant celle du second du double signe plus ou moins. De là résulte
et, en dédoublant cette expression, x = [rq et x= — ^Tq.
Cette règle est évidente, puisqu'on ne trouble pas une équation en effectuant la même opération sur les deux membres, et que toute racine de degré pair d'une quantité doit être précédée du double signe plus ou moins (156).
Substituons tour à tour, afin de vérifier, j/ ç et — ^Tq k x dans l'équation x^==q; il vient
{[rqY=q ou q = q, {—^-qY=q ou q = q.
Si l'on applique cette règle à l'équation a;'==^ , on trouve
x= + 1/ -î = + :- OU a; = 77 et x=- — x- .
331. Lorsqu'on extrait la racine carrée des deux membres de l'équation x^=q, on devrait, à la rigueur, afiiecter aussi la racine du premier membre du double signe plus ou moins ; ce qui donnerait
±x=±\/q; formule qui, par les diverses combinaisons des signes + et — , comporte les quatre suivantes
x = irq, x =—\rq, —x—\rq, — a?=— |/"ç; mais cela est inutile, car, en changeant les signes des deux dernières équations, on retombe sur les deux premières.
332. Toute équation incomplète du second degré a deux racines et ne peut en avoir davantage. En effet, Téquation x^=q ou x^ — q=o peut se mettre sous la forme
x' — {[/^qy=Of ou bien sous celle-ci, {x — [/^q) (a?-j-j/~9') ==o, en se rappelant que la différence des carrés de deux quantités est égale à leur somme multipliée par leur différence; or, le premier membre, étant le produit de deux facteurs, ne peut être annulé qu'en égalant l'un ou l'autre à zéro; cette équation équivaut donc aux deux suivantes du premier degré
d'algèbre. 471
X — j/"ç=o, x-\'[rq==o, d'où a?=|/"ç', a?= — {/~gr. Nous retrouvons ainsi les valeurs déjà obtenues ; mais ce prorcédé nous apprend en outre que ce sont les seules qui puissent vérifier Téquation x^^^q.
333. Discussion de la formule a?=+(/"g. Il faut distinguer trois cas : celui où q est positif; celui où q = o; celui enfin où il est négatif,
i **" Cas. Si q est positif, les ,deux racines sont réelles et de signes différents; commensurables ou incomme^isurables, selon que q est ou n'est pas un carré parfait.
i**" Exemple. L'équation a?' = 36, dont le second membre 36 est à la fois positif et un carré exact, a deux racines réelles commensurables. Ces racines sont 6 et — 6.
2* Ex, L'équation a?' = 5, dont le second membre 5 est positif sans être un carré parfait, doit avoir pour racines deux nombres réels et incommensurables ; on en tire effectivement
a?=+|,^5 ou a? = 2,236 eta? = — 2,23Ç. . . .
à o,ooi près; on conçoit que ces valeurs ne satisfont à l'équation x*==5 qu'approximativement.
2® Cas. Si q = o, la formule devient x=+o; conséquemment, les racines sont égales entre elles et à zéro. L'équation se réduit alors à a;'=o ou 07. a?=o, forme qui met en évidence les deux racines.
3** Cas. Si q esinégatif les deux racines sont imaginaires (i58), et l'équation x^=q est impossible, car quel que soit le nombre mis à la place de x, il ne peut y avoir égalité entre les deux membres, le premier étant essentiellement positif, et le second étant négatif par hypothèse.
Ex. Les deux racines de l'équation x^= — 8i, dont le second membre — 8i est négatif, sont imaginaires. On en déduit en effet x=±V^—8i, ou, en vertu du n** 160, x = +9^ — i-
n. Résolution des équations complètes du second degré.
334. Toute équation complète du second degré est de la forme x^ -\-px = q; car, chassant les dénominateurs, transposant dans
le premier membre les termes afiectés du carré et de la première puissance de l'inconnue et les autres termes dans le second, on trouve, réduction achevée, une équation de- ce genre aa?*+*^==^» a,b et c étant des quantités connues ; divisant les deux membres . par a, il vient
a?*-j — x = — , ou aî'-|-p^=î,
en représentant, pour plus de brièveté, — par ji? et— parc.
Avant de résoudre une équation du second degré, on doit toujours la ramener à cette forme ; c'est ce que Ton appelle préparer l'équation.
En effectuant cette suite de transformations sur l'équation particulière
on en déduit successivement
335. Pour résoudre une équation complète du second degré, il faut, après ravoir préparée, égaler la première puissance de l'inconnue à la moitié du coefficient du second terme pris en signe contraire, plus ou moins la racine carrée du carré de cette moitié joint au membre tout connu.
Considérons l'équation générale a?*+paî = g, et remarquons que le premier membre se compose des deux premiers termes du
carré du binôme a? -|- -^ , lequel est égal à
ajoutons en conséquence -^ à chaque membre, afin de rendre
le premier un carré parfait, et en même temps de maintenir l'équation, nous aurons
^'+P-+ -f = ^ -f 9 ou (.+ ^) = £L +,.
D*AL6ÊBRE. 1 73
équation incomplète du second degré, en tant que Yqn regarde X -{- ^ comme l'inconnue; on en retire (337)
cette formule équivaut aux deux suivantes
et sa traduction en langage ordinaire fournit la règle énoncée.
Si Ton substitue la formule trouvée à x dans Téquation aî*-|-pa?=gf, il vient
(t±v/fT;)+p(-'-±i/fT;)=,
et, en développant les calculs indiqués,
équation qui se réduit à Tidentité q^^q* Appliquons d'abord cette règle à Téquation du n® 331 ar' 4-4^:^=21; nous en tirerons, en remarquant que p=4 et gr = 21,
:p=— 4+^(— |y + 2i ou a;=~ 2 + ^4+77;
or, 4+2 ï =25 et /"25=5; donc a; = — 2+5 ou bien, en isolant ces valeurs, x= — 2 4-5=3 et a; = — 2 — 5=— 7. Les nombres 3 et — 7, comme il est facile de s'en assurer, satisfont chacun séparément à l'équation a;'-|-4^=2i; ce sont par conséquent les racines de cette équation.
Prenons, pour deuxième exemple, l'équation
chassant d'abord les dénominateurs, nous aurons
3oap* — 6ox-}-25 = 3 — &x^^ et, transposant — 6x' dans le premier membre et 25 dans le second,
3&c' — &ox^^ — 22 ;
i 74 PRINCIPES
divisant tous les termes par îa et dégageant a?* de son coeflScîent, il vient enfin
, 3o II , 5 II
X "~^ X — Q ou X ~— " ^ X — Q .
lO lo 6 lo
Appliquons maintenant à cette équation la méthode exposée
au commencement de ce n**, en observant qu'ici p='. — j- et
q z=z -; nous trouverons
lo
5 I |y/^25 II 5 I I y/^ 3 5-4:|/"3
le nombre 3 n'étant pas un carré parfait, les valeurs de a? sont
incommensurables ; en se bornant aux milliè...., on obtient
5~i I no^ ar = ■ "" *>. — ^ ou a: =- 1,122... et j:=o,545...;,
mais ces deux valeurs n'identifient les deux membres de Téquation proposée que par approximation.
Soit, pour dernier exemple, l'équation littérale [a — b)x^ — ^adx= — arf*, que Ton peut mettre de suite sous la forme voulue, en divisant par a — b; il en résulte
^ad ad
d'où l'on tire, en suivant la règle,
__ ad \ ^y a^d^ ad^
Or, remarquons que
^y a*d' ad' iy /a^—a[a—b) d\/âb
V (^è)î a—b~^^ [a—bY ~ a-b ' ce qui ramène la formule précédente à celle-ci
ad+d\^âf ,. , d.ia+\^^)
a? = — = — ou bien a x = — ^ -^ , ' ;
ces valeurs peuvent encore être simplifiées, car, si l'on observe que
a+Vab = \ra . \ra+ \^a . }/"6 == j/~a((/"a+ i/'b) ,
a—b = {\ra±[rb) [[Ta^ \rb),
d'algèbre. 175
deviennent
rfr«r«±e) et enfin x=. '^'Z"""
t facile de remonter de la formule
^ lu Ta tirée. Il suffit pour cela de suivre une
'•- ^ à-dire de faire passer le terme — — dans
félever ensuite au carré ; ce qui fournit
en faisant les calculs et omettant le terme ~ commun aux deux
membres.
337. On peut résoudre l'équation x^'-\-px=^q au moyen d'une transformation très usitée en algèbre, et qu'il est important de connaître ; elle consiste à faire x==^y'\'Zyy étant une nouvelle inconnue et z une indéterminée dont on pourra disposer pour rendre incomplète l'équation en y ; opérant la substitution, on trouve
et, effectuant les calculs, puis, transposant dans le second membre les termes indépendants de y,
î/«+(2z4-p)2/=— z'— pz-f-g. (a)
On peut actuellement profiter de l'indétermination de z pour poser
