PARTIE !. SECT. III. CHAP. I

Nota.Onsup-| Lonpose la vitesse] GUEUR

Lancruns INoxBsaz

SxGTION du lit réduitfdes bri-

de régime con-|du cours moy epne du lit âgere [coles sar stante, et égale| direct, da Lit, supposé FT Jun chaque à 25 pouces ,sur| exprimé exprimée tangulaire , pese, . en pieds exprimees F à n toute la lon-| quarrés.. en pieds. exprimées u

gueur du cours.| milles.

- Depuis . .

source de En il. pi. qu. Pt pi.

Seine jusqu’ 2 38, 4 45,8941 2,67 19,7 confluent l’Ourse.

POurse jusqu’à

Depuis confluent D. 179,36 | 3,38 53,2 celui del'Aube.

Depuis 'anbe Pusqu'à 5 3,95 | 136 2 II eng 225 | Sur | 376 | 1364

confluent ° l’'Yonve à 33,0 1489,0 3,80 391,8 qu'à celui de la Marne.

Depuis nl confluent de N | Marne jusqu’à 16,6 2576,64 3,835 67 1,8 celui de l'Oise.

Depuis j confluent l'Oise. jusqu'à celui de l’Yton.

Depuis

fs 3632,0 3,836 946,8

le confluent à 28,0 |4115,5 | 3,837 | 107,5

YYton jusqu’à Quillebeuf.

Total du nombre des bricoles 6257

Si on suppose chaque bricole moyenne de 30 degrés d'angle d'incidence, comme cela serait dans des arrondissements en demi-cercle, de trois bricoles chacun, constamment répétés, avec quelques parties droites qui acheveraient de doubler

la longueur du cours direct, la résistance d’une de . , , V5 25? X 0,5?

ces bricoles sera (105 ) égale à = RE — 3000 3000 0?°,05208 , qui étant multipliés par 6257, nombre

des bricoles, donne 326,26456, où 27,188 pour

l'augmentation de pente due à la résistance des coudes, depuis la source jusqu’à lembouthure dé la Seine. Au reste, ce calcul n’est qu’une évalua-

‘tion fort en gros, qui peut être susceptible d’aug-

mentation vers la source, où le nonïibre des bricoles excédera de beaucoup celui de 4008, que nous avons trouvé pour un lit moyen, ou de diminution , si la riviere affectait de faire de grandes sinuosités arrondies, sur des rayons beaucoup plus grands que sept fois sa largeur. | 122. La propriété qu’a une riviere de former des iles estune marque de la grandeur de sa pente, et vient principalement du manque d'exactitude dans le tracé des sinuosités. Si les rayons des arcs de ses coudes sont trop grands ou trop petits, de sorle que le fil de l'eau ne soit pas régulièrement réfléchi de bricole en bricole, dans les parties droites du lit, ce lit aura de la disposition à faire des fouillés et des dépôts, qui donneront lieu à la formation des îles; le courant, partagé en deux bras, auta besoin d une plus grande pente, et les rayons des arrondissements se trouveront à-beuprès proportionnés aux nouvelles largeurs des lits séparés. Il est probable que dans l'antiquité les

lits de la plupart des fleuves étaient plus élevés

qu'aujourd'hui, mais que le rapport de leur largeur à leur profondeur était moindre, en.sorte que les rayons de leurs arrondissements ayant été

alors multiples d’une moindre largeur, se trouvent

aujourd'hui hors de la proportion convenable, sans néanmoins que le courant puisse se déplacer

PARTIE I. SECT. III, CRAP. I. 17 pour rétablir ce räpport, parce que le fond ou les berges ont acquis trop de consistance: ainsi le seul moyen que la nature puisse employer pour substituer un autre ordre au premier, ést de rétrécir le lit en le partageant, de sorte que sil faisait auparavant trois bricoles irrégulieres, il en puisse faire quatre régulieres ; ou s’il en faisait quatre, il en puisse faire cinq, etc.

Il est clair que l'établissement du lit d’une riviere qui forme deux bras, pour embrasser une île, rentre dans le cas de deux lits différents qui se réunissent à un confluent ; il y a un rapport déterminé , dans le cas où 1l y a stabilité, entre la largeur, la profondeur et la pente du lit commun, et celles des lits séparés, pourvu néanmoins que l'ile ait assez de longueur pour que le régime du cour rant y soit exact, c’est-à-dire que l’ordre des vitesses des différents filets soit bien établi. Nous n’entrerons point à ce sujet dans un plus grand détail, qui ne pourrait répondre qu’à un trés-petit nombre de cas. Venons enfin au probléme des accrues périodiques , qui apprend à déterminer de combien l’eau s’éleye dans un lit donné, pour dépenser une plus grande quantité d’eau, produite par les pluies accidentelles ou par la fonte des neiges.

PROBLÈME

123. Connaissant la pente, la profondeur, la largeur de la base d’un lit rectangulaire ou trapeze, et par conséquent la dépense d'une riviere; dé terminer de combien sa section doit s'élever, s1

la dépense vient à augmenter d’une quantité

connue, SOLUTION.

Soient D la dépense connue, et À la hauteur

totale pendant l’accrue, pour le lit rectangulaire,

: la pente constante, / la largeur , nous avons vu

(112) que l’on a dans un courant uniforme quel-

conque V/7—297—03-+ 0,1 ; élevant au quarré, ww.

mettant pour r et V leurs valeurs 5; et ;,'et fai-

sant, pour abréger mn) —K, l'équation de-

viendra — + 0,1) j élevant le second

Ta 7h (ox membre au quarré, et réduisant, on a une équation qui peut se résoudre par les méthodes ordinaires du troisieme degré; mais elle devient extrême: ment compliquée, sur-tout si le lit est trop petit pour négliger la quantité 0,1 qui affecte les quatre derniers termes.

124. Pour éviter les calculs dont cette solution est hérissée, on peut:se servir d’une méthode d’approximation suffisante et plus expéditive, fondée sur ce qu'un changement dans une des dimensions de la section influe bien davantage sur la valeur de la dépense et de la section que sur celle du rayon moyen ; ayant donc estimé vaguement la dimension inconnue, qui est ici la hauteur ,on s’en servira pour former le rayon moyen, et alors l'équation

D ; VT= y (x —) + 0,1 donnera une premiere

PARTIE I. SECT. III. CHAP. I. 173 valeur approchée de la hauteur , qui ordinairement

‘ »’excédera' pas d’un dixieme la véritable, quand

même on l'aurait d’abord supposéetrop faible d’un

tiers. Cette valeur:servira à ‘rectifier la premiere, par une seconde. opération , qui sera le plus sou-

vent suffisante...

Pour donner un exemple de ce calcul, nous supposerons une riviere qui écoule 1500 pieds

-cubes d’eau par seconde, avec une vitesse de 20

pouces, dans un. ht. rectangulaire de 150 pieds de largeur sur 6 de hauteur, avec une pente de —, ou environ 7 lignes par 100 toises: pour connaître

lélévation et la vitesse qui aurait lieu si la dépense

était triplée par une accrue , on dbservera que, si la vitesse restait la même, la hauteur serait triplée, et deviendrait égale à 18 pieds ; mais puisque la moindre augmentation de la profondeur du lit fait æroître le rayon moyen, et par conséquent aussi la vitesse, cette profondeur doit être moindre que

le triple de 6 pieds. Supposons-la donc d’abord de

12 pieds, et formons-en le rayon moyen, qui sera de 10°,34483— 124°°,138 ; alors l'équation V’r D

TE à (2%) ou = (22 et dans laquelle on a VB— 107.8; D — X500 pi.; Vr—0,1 = 1 1,0417; donnera À — 13,276 , tandis que nous l’avions estimée de 12 pieds. Il suit delà que la valeur du rayon moyen, que nous avons d'abord calculée, a été trop faible , ce qui nous a fait trouver une valeur de À un peu trop forte.

Cette vraie valeur de À doit toujours être. entre

celle qu’on a calculée et celle qu'on a estimée, mais beaucoup plus près de la premiere que de la seconde : en effet, si on suppose la hauteur égale à 12,873, le rayon moyen devient r3r?°,8836, et on en déduit par la formule h= 12%,8973, c'està-dire la valeur exacte de la profoudeur du Et,

puisqu'elle est égale à celle dont le rayon moyen

est formé.

Mais une seconde estimation aussi précise ne peut pas être faite au hasard ; elle est fondée sur une méthode d'approximation assez exacte, pour dispenser d’en vérifier le résultat. Rien n’est plus aisé que ces sortes de méthodes : voici, une fois pour toutes ,en quoi consiste celle-ci, chacun pouvant d'ailleurs s’en faire une à sa maniere.

125. Puisque la hauteur précise du courant, dont la dépense est triple, doit se rapprocher davantage de 13,276 que de 12 pieds, supposons cette derniere augmentée de o",9,0n aura par conséquent {r—0,1 = 11,3927, et À —12%,867, au lieu de 13,276 : cette quantité diminue donc de 0,409, lorsque la premiere hauteur est augmentée de

0",9- Or, avec des quantités qui different déja si peu, on ne peut pas tomber dans une erreur sensible , en supposant que si 12 pieds augmentent de la quantité x X 0,9, l’autre quantité 13,276 doit diminuer proportionnellement de la quantité æ X 0,409 : ainsi pour que. la valeur estimée de coincide à celle qui doit être calculée, il faut qu'on ait l'équation 12+x x 0,9 —13,276—x x 0,409, d'où lon conclut x — —— == 0,9748 : ainsi la

PARTIE J. SECT. III. CMAP. I. ‘177 quantité qu’il faut ajouter à 12 pieds, au lieu d’être ori,9, est 0,9748 x o°,9, c'est-à-dire of,8773, ce qui donne k=—12",8973.

Si d’après cette hauteur et la formule du mouvement uniforme, on cherche quelle sera la vitesse moyenne pendant l'accrue, on la trouvera de 27,95, au lieu de 20 pouces, qui est celle du lit ordinaire. On aurait encore le même résultat, en divisant simplement la dépense , 4500 pieds cubes, par la section 150 X 125,8773 = 193 17,595.

126. Si la section du lit, au lieu d’être rectangulaire, était un trapeze au talus des +, et qu'avant l'accrue il füt égal au lit rectangulaire, sa hauteur étant toujours de 6 pieds, le fond aurait 142 pieds de largeur. Si on suppose que la dépense vienne aussi à tripler, et qu’on emploie la méthode précédente , on trouvera que la hauteur pendant l’accrue devient égale à 12%,36; la section, 1959 pieds, et la vitesse moyenne, 27,57. La hauteur et la vitesse augmentent moins, dans ce dernier cas, parce que la section s’accroit davantage par le talus ; et cet eflet deviendrait encore plus sensible, si la riviere était moins large qu’on te l’a supposé.

On pourrait se proposer le problème inverse du précédent, c’est-à-dire de déterminer de combien une riviere s’abaisse , lorsque sa dépense diminue d’une quantité connue, pendant les sécheresses.