CHAPITRE VIL De la dépense des canaux

177: Qoaum l'eau est parvenne à l'uniformité du mouvemef# dans up éanal en pente réglée, on peut epnsgidérer tous les filets eomme se mouvant avec la méme vitesse moyenne, laquelle n'et point produite par à pente, puisque la force aecélératrice n'est employée qu'à vaincre la résisuines des parois, et à aonseryer la vitesse acquise : il:fanat donc.que les filets aient 4equis leur vitesse par une chûte indépendante de }a -pénse, queæd l'eauin passé du repos au mouvement ,.en sé portent:du réservoir dans le anal. Tl:auit. de à que srori:prolonge jusqu'au réservoir. la aumface de l'eau du canal, elle doit se trouver, au-dessous de la super-

ficie di téservoir;. d'une: quantité égale à la hau= teur. due.à la vitesse uhiforme. :

… Gela-serait exactement vrai, si tous les'filets de la veine mue dans le‘tabal avaient la: êine vitesse, et que la section du dit fût uniforme depuis l'origine. du'canal. 1 faudrait pour ‘éela: que l’ordre des vitesses füt le mémp,. dès l'entrée du canal, qu'il doit être au-dessous, lorsque :lé: cours nxiforme:et réglé est:établi ; mais’cela n’est pas possible : car dans un:canal d'ane largeut constante, gt qui, comme nous le supposons ici, n’est point

évasé à son entrée, l'eau éprouve d'abord une contraction plus ou moins grande, qui augmente un peu la hauteur de la chüûte nécessaire pour produire une vitegse/mpyerine donnée, et les vitesses du fond sont au moins égales à celles de la surface. Mais quand..le eourant sera réglé, ce sera le contraire : la vitesse à la surface sera plus grande

qué la vitesse moyenne, et celle-ci sera aussi plus -

grande ‘que celle :du fond et des‘bords. Si, par exemple, la vitesse: moyenne uniforme dans le canal doit être de 25 pouces, celle de la surface ser (67) de 30. pouscss ;.et celle du' font, seuleaient de 10. Or, comment la vitesse de 30 pouces seiast-elle engendrée? Ce'.ne ‘peut’ étre que par ‘une. chûte réelle-et locale. ‘plus gräride que celle ‘qui doit produiré lxivitessé moyenne lde'i5 pouces ;.et si, la chütb:à l'entrée doit effectivement produise une wvitdsst de 30 pouces 4:la’sürfäce, la section, prise immédiatement au-dessous de la

-chüte, devra étre:plus petite, dans un certain.

PARTIE.I. SECT. III. CHAP. VI. 249 rapport, que la seetion uniforme inférieure; mais cette section ira ensuite en augmentant, à mésure que la résistance des parois mpdifiera:et changera l’ordre des vitesses, ‘en diminuant celles des filets qni avoisinent:les. parois, et laissant subsister celle de la surface , qui participe très-peu au frottement. La sürface de l’eau, à partir du dessous de la chûte ; sera donc en contre-pénte ;. et c'est en effet ce que l'expérience nous a fait voir. Ce n'est qu’à une certaine distance de l’entrée du canal que l’uniformité de la section et de la pente s’établissent.

Le mouvement de l’eau sur cet espace plus ou moins long est un des objèts les plus épineux de l’hydraulique ; et il ést trop compliqué pour qu'on en ait jamais une connaissance exàcte. Ce: qu'il importe le plus de.savoir, c’est si la pente est entièrement employée à vaincre, sur cet espace, la résistance des bords , malgré l'irrégularité des vitesses et des sections. Les expériences sur notre canal factice -nous. ont démontré que cette: compensation a lieu, à-très-peu-près, en sorte que la vitesse et la section uniformes s’établissent à une certaine distarice du réservoir, comme si l’uniformité commençait dès l’origine: du canal ; nous avons seulement remarqué que, pour de trèspetites vitesses, comme de 5:à :6:pouces.et audessous , la force accélératrice: surpasse un peu la résistance , et qu'une partie de cette force est employée à imprimer la vitesse, en. sorte que la hauteur de la séction uniforme égale au moins la distance verticale de la superficie du réservoig au

fond de l'entrée du canal; distanee que nous appelons la hauteur: du réservoir. |

178. On peut néanmoiris négliger cette différence, et conclure en général que, dans un canal de largeur et de pente uniformes, la section et la vitesse moyennes s’établissent de maniere que la hauteur due à cette vitesse est égale à la différence entre la hauteur du réservoir et celle de la section uniforme.

Ainsi, nommant H la hauteur du réservoir, À celle de la section , et V la vitesse uniforme, on

doit avoir = —H—k, d'où l’on tire i=n—"

Lorsque la vitesse est très-petite, comme de quelques pouces, la quantité = devient presque nulle, et on peut indifféremment prendre h — H ou — H——, sur-tout. si la hauteur du réservoir est au moins de plusieurs pouces.

La seule incertitude qu'il y ait dans cette équation tombe sur la valeur de 2G. S'il n'y avait point de contraction à l'entrée du canal, elle serait égale, comme on:sait, à 724 ; mais elle diminue d'autant plus que la contraetion est plus grande. Nous avons déja vu (11) que nos expériences sur le canal factice nous ont donné cette quantité variable entre 530 et 660, ce qui donne anne moyenne un peu moindre que 600, Ges variations ne sont pas étonnantes, si l’on considere que l’erreur d'une kgne ou deux sur l'une des hauteurs de sctian ou de réservoir, en occasionnerait une

PARTIE I. SECT. III CHAP. VI. 251 considérable :sur leur différence, et sur la valeur de 2G, etque d'ailleurs notre canal était trop court pour que le mouvement y füt dans tous les cas parfaitement réglé. Malgré ces irrégularités , il nous a paru que dans le lit trapeze la valeur de 2G augmentait un peu avec la hauteur, et par conséquent la largeur du lit; æ qui montre une diminution de contraction. Il paraît que cet élémentest peu de chose à l'entrée des grands canaux,

et on n’a point d'erreur sensible à craindre, en supposant que la-contraction y est telle qué. 16—

700. En effet, puisque la quantité © — est déja peu sensible, étant comparée à À dans Îes grands lits, à plus forte raison ne doit-on pas tenir compte, dans la valeur de 2G, d'une erreur qui ne peut être au plus que de -:.

Sachant donc à quoi s’en tenir sur la chüûte et la contraction qui ont lieu à l'entrée d’un canal, on peut résoudre toutes les questions qui ont rapport à sa dépense > par des méthodes d’approximation semblables à celles que nous avons employées précédemment. Pour peu qu'onsoit exercé au calcul, ces recherches offriront peu de difticultés, sachant sur-tout que la précision de l'analyse est presque toujours inutile dans la pratique,

PROBLÈNME.

179. Connaissant la pente, la largeur et la hauteur de résérvoir d’un canal; déterminer sa dé-

pense, ainsi quie la profondeur et'la vitesse que le courant y prendra.

La seule difficulté que présente ee problème est de déterminer la profondeur du courant. Pour y parvenir, nous supposerons qu'on simplifie la formule du mouvement uniforme, en réduisant. la valeur de la vitesse moyenne à Ver, ce qui n'est | VE

pas difficile : car, puisque la pente . est connue; on peut faire Vb—LV b+16— VB, et VNz doit être une quantité moindre quel” ng, ou 297. Pour trouver sa valeur, 1l faut 1° supposer une profondeur un peu moindre que la hauteur du réservoir, ou H; et, d’après cette hauteur et la largeur qutest connue , calculer la racine quarrée du rayon moyen, ouy”r, et la vitesse ou V par la formule du mouvement uniforme; 2° égaler cette vitesse supposée à Ver, ce qui donne V—VWe, d’où vE . VE

l’on tire LV'Ne= Cette valeur He VNe sera suffisamment exacte pour tous les cas où la profondèur différera peu de celle qu’on aura supposée: parce qu’une légere différence en plus ou en moins sur la profondeur ne change pas sensiblement la valeur der. Ft

D'après cette préparation . c'est-à-dire VNg étant connue, sion nomme À la profondeur incon-

nue du canal, et / sa largeur, x, Ve sera

. . ; 1. » , : ù l'expression de la vitesse moyenne de l’eau dans le canal; et la hauteur de la chûte due à cette vitesse

PARTIE L SECT. III. CHAP, Vi. 253 sera exprimée par 7E 5 (Hs nu): quote qui doit

être égale à H—4.. Ainsi l'on a — (— i =,

d'ou l'on déduit k = — -C ee Lost )—25) + Psau+ (à Cast 3) On ‘dois. remarquer

LE. se TE ta que, d'après e cette expression, la quantité & se réduirait a, SF a'contractiôh était nulle ;: mais 2G.,est toujouis un. peu moindre que 2g ou al. 380. Pour donner une application de la solution de ce probléme, nôus choisirons notre quarantequatrieme expérience sur le canal rectangulaire factice, dans laquelle on avait H=— 6, 583; l—

17,25 ; LT +; et par conséquent VB — r8 »339 ; ; et où nous ‘supposons 2G:=600 pouces,

on trouvera Kg = = 275, » ; ét: hk deviendra 5344 NE

” D’après célte väleur on conclut là : vraie vitèssé Var 08, et la dépense ‘de : 2514 | pouces cubes pèr seconde, au Jeu de 2440,4, qu a donné l’expérience. Cette derniere quantité, divisée par le séction mesurée , avait donné une vitesse moyenne de "28,20, tandis que celle que nous ‘avions calculée par la formule, d’après la profondeur mesu: rée (108 exp. du tableau $ 55), n’était que de 26,69. On voit donc que la premiere, ‘donnée. par la sol tion du problème précédent, tient le:inilièu ’éntre les deux dernieres, en rectifiant kes petites erreurs

de l'expérience; ce qui confirme ce que nous avons dit de la difficulté de régler un canal dont la longueur est bornée. Presque toutes Îles autres expériences présentent le même résultat.

PROBLÈME

. 181. La hauteur du réservoir, la pente du canal et sa dépense étant connues; on demande ses dimensions. | . Soient x et y la profondeur et la largeur

moyenne du éanal, Dsa dépense: d'équation ar L'2GV/H—x donnerait une premiere valeur de . y, en fonction de x, qu'on égalèrait à celle a on

tirerait de l'équation, suivante — D. = V Eee

afin d'avoir une seule équation en x 2 een À donnéea. Mais malgré la simplification de la formule du mouvement uniforme, il y a ici de quoirebuter le calculateur le plus intrépide : il faut donc se contenter d'une méthode d'approximation dont nous allons donner l'exemple dans application suivante.

Nous supposerons | la hauteur du réservoir de 18 pouces, la pente dé", et la dépense qu'on veut se procurer, de 1200 pieds cubes d’eau | par minute; ils ‘agit de trouver les dimensions d'un canal trapeze, dont les talus sont aux #,

Un premier apperçu suffira pour montrer qu’en prenant Ÿ* pour la hauteur due à la vitesse; cette quantité ne peu être qu'entre.r.et 3 pouces. Supposoas-la d’ abord de à pouces, et, par conséquent,

PARTIE I. SRCT. IIE CAP. VI. 255 là profondeur dans le canal, de 16 pouces : d’après cette hypothese; on cherchera, -par la méthode du paragraphe 124, quelle doit être la largeur

moyenne du canal, en employant l'équation /æ D ‘ :

aVron) (2% Lo F dans laquelle D —a0 pieds

cubes, 28, 153, et k— 16 pouces, on trouvera /—5,52, à-très-peu-près; la section égale à 7,36; et V—32r,6, dont la hauteur due est 1,5182, au lieu de 2 pouces : si on retranche cette

nouvelle quantité de 18 pouces, le reste 16,4818

différera trés-peu de la véritablé profondeur de l'eau dans le canal, de sorte qu’en conservant la même section et la même vitesse que ci-dessus, on concluräit, avec une précision suffisante dans la pratique, que la largeur moyenne est de 5°! 1358, et celle du fond de 35,527— 3% 6e li.

Ceci est fondé sur ce que la largeur diminnant peu, et en même proportion que da hauteur augmente, le rayon moyen, et par conséquent la vitesse, né varient pas sensiblement. Si on voulait tenir compte de cette petite erreur, et approcher encore plus de l'exactitude, il ay aurait qu'à augmenter la hauteur due à là vitesse dans le rapport du premier rayon moyen à celui qui est relatif aux nouvelles dimensions; alors cette hauteur due deviendrait 17,53, répondante à une vitesse de 32t°,7a; la profondeur plus précise du courant

serait de 18r—.17°,53—16%,47; le quotient de la

dépense par cette derniere vitesse donnerait la

section de 77,335 quarrés, et en da divisant par là nouvelle profondeur, on aurait 5,344 pour l largeur moyenne plus exacte; celle du fond serait de’,32,514=—37 Gr° ali,

182. Ce probléme peut servir dans la pratique ) quand on veut, par exemple, dériver d’une riviere ou d’un lac une certame quantité d'eau, pour arroser pendant les sécheresses un terrain éloigné € et inférieur. On pourrait desirer aussi, .en vue de mouvoir une machine, de se procurer un courant qui ait une vitesse déterminée : ; ét la connaissance de la vitesse rénd ces sortes de questions plus simples : car la vitesse et la pente étant connues, on déterminera la valeur du rayon moyen, et la profondeur du courant sera. connue par la différence entre la hauteur du réservoir et celle qui ëst due à la vitesse. Ainsi on trouvera. aisément la largeur ét la dépense (62).

De même, si la dépense était connue, ainsi que a vitesse et a hauteur du réservoir, ofi chercherait les dimensions du lit; et le raÿon: roÿen étant foriné , on parviendrait à connaître la pente.

| “oréque la pente d'un cänal est telle que la hauteur de la section differe peu de cellé du réservoir, a fiteise , et par. conséquent la dépense, ne sont pas ‘considérables. Si, au contraire, la pente était assez grande pour que ‘la hauteur de la section füt très-petite en comparaison de celle du réservoir, H'pétitesse de la séction rendrait la dépense moindre, malgré l'ugmentation de ‘la vitesse. Il y à donc un point intefmédiaire, où la dépense seraït