PARTIE I. SECT. III CHAP. YL

la plus grande possible. C’est ce que nous allons déterminer dans le problème suivant.

PROBLÉME.

183. Connaissant la hauteur d’un réservoir constamment plein, au-dessus du fond d’un canal rectangulaire, dont la largeur est donnée; on demande la pente nécessaire, la profondeur et la vitesse du courant, pour écouler la plus grande quantité d'eau possible. | Ho

Soit x la profondeur inconnue ; H-—7r sera! la hauteur dué à la vitesse, et'L/2G L/H=—z sera la vitesse même, laquelle, multipliée par la section Ze du lit, donnera la dépense. Ainsi /x LV/aG

LV/H—x doit être un maximum; prenant la diffé-

rentielle de cette quantité, et l’égalant à zéro, on trouve l'équation 2H—3x, d'où l'on tire x—2H. Ainsi la profondeur de l'eau dans le canal étant 2H, la vitesse moyenne sera L/aG LH; sa section +7 H ; sa dépense devient 21/2G/H4/5H, et

21H son rayon moyen 7. D’après ces données, il

est aisé de déterminer la pente.

Si le lit avait la figure d’un trapeze, le-problème serait moins simple, ‘ét il exigerait la résolution d'une équation du troisieme degré, pour trouver k valeur de x.

184. On a de la peine : à concevoir comment la dépense ‘pourrait diminuer, en supposant une

pente plus grande que. celle que. nous venons de Tome I.’ 17

Em ——

déterminer; cependant 1l faut de deux choses l'une, ou que le mouvement ne devienne jamais uniforme dans un tel canal, ou que la dépense di- ‘minue. En supposant néanmoins qu'elle püt augmenter, il est possible de juger jusqu’à quel point: il n’y a pour cela qu’à prendre le cas extrême, c'est-à-dire supposer le lit du canal vertical; en ce cas son entrée est un véritable reversoir : or nous avons vu que la dépense du reversoir est toujours

égale à :V/26G (A2 hÿ). Ainsi la plus grande dépense du canal, telle qu’elle est déterminée dans le problème précédent, est à celle d’un reversoir

des mêmes dimensions comme H L/“H : HF — (:H}:, ou comme H LH : HVH—:HL/"H, ::5973:6465, ou enfin ::9:10, à-peu-près. Si donc une plus grande pente fait augmenter la dépense, ce ne peut être que de +.

PROBLÉME.

185. Toutes choses étänt données comme dans le problème précédent ; on demande que la dépense du canal soit égale à une donnée moindre que la précédente. :

En conservant les mêmes dénominations que ci-devant, on a de plus ici la valeur de la dépense, qu'on nommers D; et la vitesse moyenne sera

r—V/2G V'H—x, d'où l'on tire 2—H 2 —— = équation du troisieme degré, qui, d'après ce

que nous venons de dire sur le maximum de dé-

PARTIE I. SECT. III. CHAR VI. 29 pense, doit avoir deux racines réelles, répondantes à des pentes différentes ; mais on sent bien que celle qui indique la plus grande hauteur de section est la seule qui puisse être de quelque utilité dans la pratique. Quoi qu'il en soit, comme x différera peu de H dans les cas ordinaires, on en obtiendra plus facilement la valeur par une simple approximation que par les méthodes ordinaires. Cette hauteur fera connaitre la vitesse, la section, et la pente.

oo PROBLÈME.

186. Cannaissant l'étendue d’un réservoir qui se vide par un canal rertangulaire , dont la largeur et la pente sont données; on demande la relation entre le temps de l'écoulement et la quantité dont la superficie du réservoir s'abaisse.

Cette question présente plusieurs difficultés , qu’on peut néanmoins éluder, en conservant une précision plus que suffisante, si on observe que, lorsque les hauteurs du réservoir different peu entreelles, on a sensiblement les rapports suivants: 1° les vitesses dans le canal sont comme les racines quarrées des rayons moyens; 2° les rayons moyens sont comme les profondeurs d’eau dans le canal : ainsi les sommes des profondeurs et des hauteurs dues aux vitesses, ou hien les hauteurs du réservoir, sont comme les quarrés des vitesses, ou comme les profondeurs d’eau dans le eanal. On cherchera donc , pour une hauteur de réservoir moyenne , entre deux extrêmes données, les rap-

ports de cette hauteur avec la profondeur | de l'eau

et avec le rayon moyen. | | Soient: ret- 7 ces rapporis; , 4 la quantité dont la

superficie du réservoir s’abaisse pendant le temps t;etS l'étendue de cette superficie : après l’abaissement quelconque x, H — « sera la hauteur du réservoir ins"; sera la profondeur de l’eau dans le canal; ——le rayon moyen; ete ” H—z]a vitesse q. L avec la formule simplifiée : à ce point , la dépense , pendant l'unité de temps » serait

A 18) RG: H . d —? —— TT ‘et pen ant VB V. g P ‘.VBpVa 3 P

un temps infiniment petit, SR à ( H—r)!

dans le même instant la surface du réservoir descendrait d'une quantité dx. Ona donc l l'équation des deux dépenses Se AE x} = Sdx, ou d=— VE V3 :

Ne (A— =

qui, éant intégrée r donne t =

aWBSpVg VVT, + c, On voit que Jors ue æ=—=0 .{—=0 NV, qe LE ’ ?

2V/B8PWg .. … ….

et que la constante devient — ST ‘ ainsi la | io 1: pi ‘ IN NgH . €.

valeur complete du temps, réduit en minutes, est a" VBSVg B SPVq (— 60! VE: VH—e H—e 189. Appliquons ce ealcul à l’abaissement du réservoir qui fournissait les eaux à notre canal factice, sur une hauteur de réservoir de 6 pouces 7 lignes, tandis que la surface du réservoir était d'en-

PARTIE I. SECT. HI. CHAP. VI. 261 viron 4gvo toises quarrées, la pente du canal +, sa. largeur. 17% 3; ce sont les données de l'expérience quarante - quatrieme, d'après lesquelles

2V/ES si, est égal à

900 168,5 Pour pouvoir ‘considérer comme conete —

le coëfficient réellement constant VE

stante la quantit VE il faut prendre une valeur

de a un peu petite, | relativément à H. Supposons donc què la Superficie du’ réservoir baisse d’un pouce, sa bäuteur. moyente sera égale à 6 pouces une ligne ; les. valeurs de VNg de pet ‘de g; qui sont -a78,02 ;! 2 1,23845 , et 194378 , sopreni

139,293 pour la valeur de la quantité À To? qui

vH:

2,98#66 ,iet'onsaura £5+ 189/,77. 4 . Sù on. fait. ensuite H= 58°. 91, .et qu'on cherché deinouveau le temps d'un nouvel abaissement dur: poucoy on: aura LUN Np==n 73,96 ; “PE=r,253 ; g=1; L'ÉCES ; "et PM 161,086. Ainsi E=a45/05.

Pour un ttoisiéme äbaissement. depuis 4 pouces 7

servira de diviseur à la premiere; ——— vaudra . " 0 Usher‘), i 4VH-—a

lignes jusqu'à 3 pouces 7 lignes, on aura V'Ne—

272,46 ; Pi, 2670 ; g—1,7414 ; et HE

162,838 , d'où l’on tire £ — 338/,38. Ainsi la somme des temps, pour une descente de 3 pouces, VNg | Ve varient si peu, qu'on a eu raison de les supposer

constantes pour une descente d’un pouce. Enfin,

sera 773,2 : on voit aussi que les valeurs de

i62 ‘PRINCIPES D'HYDRAULIQUE.

en calculait directement lé temps total de la descente de: 3 pouces avec la valeur constante de

N— — 1 61,086, qui répond à une hauteur de ré-

servoir moyenne entre 6 pouces 7 ligneset 3 pouces + lignes, on a £— 774/,1 qui differe bien peu du prétédent.

188. Ce problème peut servir à connaître combien dé temps il faudra pour écouler un lac, ou une inondation qu'on veut saigner par le moyen d’un canal, en faisant cependant une observation irès- imporiante : c’est que dans un bassin naturel, dont le fond va toujours en se rétrécissant, la sur- Face 5 diminue à mesure que les hauteurs du réservoir s’abaissent; de sorte que les temps, pour des abaissethents égaux, peuvent être à-peu-près égaux eux-mêmes, ainsi qu'on Pa observé dans le temps de l'écoulement des marais de Condé ,:lorsqu'ils se desséchent au printemps. Il est vrai que cette égalité n'a plus lieu quand le desséchement tire à sa fin, et qu'il ne reste que quelques pouces de hauteur d’eau, parce que le fond de cuve est plus apbplati, et que la pointe des herbes dont les prairies se couvrent alors, s'oppose à l'écoulement, en retenant les eaux. Passons à l'examen des dépenses des canaux dont l'entrée est garnie d’une vanne.