PARTIE I, SECT. III. CHAP.:VEII. 279 PROBLÈME

202. Le produit d’eau en vingt-quatre heures d'un bassin inondé étant donné, la différence de niveau entre le fond de ce bassin et la surface des hautes eaux d'une riviere voisine étant aussi donnée, ainsi que la penté de cette riviere; on demande la longueur et la largeur d'un canal d’une profondeur donnée, qui puisse tenir en tout temps ” le bassin à sec, en jetant ses eaux dans la riviere, et dont le cube de l'excavation soit le moindre -possible.

Supposons que Île bassin reçoivé les eaux qui tombent du ciel dans l'étendue d’une lieue quar- -rée de surface; évaluons cette quantité, pour un jour de forte pluie, à un pouce de hauteur d'eau, et celle des ruisseaux et des sources qui aboutis-

- sent aussi dans le bassin, à un volume d’eau égal

à la moitié du précédent; il suit que la masse d’eau

‘à écouler dans un jour est égale à un volume

d’une lieue quarrée de base, sur un pouce et demi de hauteur, ce qui fait un ‘produit d'environ 120000 toises cubes.

Supposons encore que-le sol du fond de cuve du bassin soit plus bas de 3 pieds que le niveau des hautes eaux de la riviere en ‘hiver, en comprenant dans ses acérues celle du canal projeté, ‘quand il y aura son écoulement ; ; que la pente de la “riviere soit de 2 pouces pour 100 toises, ét la profondeur du canal, de 6 pieds.

‘SOLUTION

La pente de la riviere étant de 2 pouces pour 100 toises, ou de ,--—, et le canal étant supposé sensiblement parallele au lit de la riviere, ce n’est qu'au-delà de 1800 toises que la surface de la riviere séra abaissée de plus de 3 pieds, et qu’elle se trouvera plus basse que le fond du marais. Ainsi, le canal ne peut avoir moins de r800 toises de longueur ; et, si où se botirait à lui donner ‘quelques toises de plus, sa pente serait si petite qu'il lui faudrait une largeur immense pour écouter tonte: l’edu qu'il est supposé devoir débiter. D'us autre côté, on voit que si la pente du canal devenait présque ausa forte que celle dela riviere, il ne pourrait la rencontrer qu'à une très-grande distance; et cependant si on calcule la largeur ‘qu'il devrait avoir avéc cette pente, on trouvera qu'elle devrait être de près de 13 pieds. Plus on &'éloignera de. ces deux extrêmes, plus on diminmuera les frais de l’excavation , qu’il est très-important de considérer dans ces’sortes de travaux. Il

faut donc trouver à quelle longueur de canal le déblaï est un minimum. |

Soient x la largeur du canal , 7 6a longueur depuis la prise d’eau du bassin jusqu’à son confluent dans la riviere, À læ profondeur de l’eau dans le canal au-dessus du fond du marais, q la hauteur dont ce fond est plus bas que la surface de la riviere vis-à-vis le bassin , D la dépense du canal par seconde, et = la pente de la riviere; il

PARTIE I. SECT. 11. CHAP. VII. 28t faut que Azy soit un minimum, ou qu'on ait zdy + ydx=0. |

La formule ordinaire des vitesses V — ILES —0,3(v/r—o;1), d'après laquelle on peut trouver les valeurs de y et de dy ,est trop compliquée sous cette forme, à cause du logarithme; mais en faisant un°apperçu des valeurs qu'on cherche,on verra qu'on peut se servir de la

; . VavTr . — formule simplifiée V — Æ ,€nfaisant ” Nge—

275 environ, valeur qui sera suffisamment exacte pour tous les cas qu en différeront peu, puisqu’alors les vitesses sont sensiblement proportionnelles aux racines quarrées des pentes.

Pour faire entrer ces données dans l'équation, on remarquera que =); = ;. Quant à B, on observera que le canal étant supposé avoir u même longueur quela riviere, depuis la prise d’ea jusqu’au confluent, Z L exprime la pente totale de la riviere , sur la longueur du canal, 7 ee g repré sertie celle du canal : or, cette quantité étant

VX VE VE —g ; d'où lon tire. = +

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