CHAPITRE Il
Du mouvement de l'eau dans les tuyaux de conduite.
236. Lx tableau de comparaison des résultats de notre théorie avec ceux de quantité d'expériences sur les tuyaux (55), montre assez évidemment qu'on connaît la relation entre la vitesse moyenne, la hauteur de réservoir , le diametre et la longueur d'un tuyau de conduite : la régularité et la similitude de la section des tuyaux circulaires et fermés semblerait devoir simplifier leur caloul , et eb rendre les résultats moins compliqués que eux des rivieres; et cela arriverait.en eflet, si on faisait
PARTIE I. SECT. IV. CHAP. II 315 abstraction de la charge nécessaire pour imprimer la vitesse; mais comme cette charge fait ordinairement partie de la hauteur du réservnir, qui, aves le diametre et la longueur du tuyau, sont les données communes, il reste quelque difficulté à cet “er que les problèmes suivants vont applanir. |
RROBLÊME.
327- Connajssant la hauteur de réservoir, ls longueur et le diametre d'un tuyau de conduite; déterminer sa dépense.
Soient H la hauteur du réservoir, et L la longueur développée du tuyau : le diametre étant connu, on en déduira son rayon moyen, qui en est toujours le quart ; et il suffira de déterminer la vitesse moyenne V, pour en conclure la dépensa
cherchée; la hauteur due à la vitesse moyenne est v: , = Comme on l'a vu ci-devant (g). Ainsi, la
pente fiotive du tuyau, exprimée par ;, est égale à
y L 26; de sorte que b=u À; ; mais cette valeur Ve (Vr— on) étant mise dans la formule Var —"— mm Vi—LVit:,6
0,3(V/r— 0,1}, celle de la vitesse devient extrémement compliquée.
-228. Pour éluder eette difficulté, on peut avoir recours à uua approximation, en obserrant, 1° que la hauteur due à la vitesse est ordinairement très-petite, es comparaison de la hauteur
316 PRINCIPES D'AYDRAULIQUE.
entiere du réservoir ; 2° que dans un même fit les résistances sont sensiblement proportionnelles aux quarrés des vitesses, quand celles-ci different peu
éntre elles. On supposera donc b—* ,en prenant
par apperçu pour À une quantité un peu moindre que H, et on calculera la vitesse moyenne v, qui
lui estrelative : si la somme + - e ,setrouve égaler
H, on aura trouvé d'abord la véritable vitesse ;
mais si ces quantités different, on fera la propor-
. et v va tion suivante, h:=::H—:, qui se réduit à
celle-ci : À +” = :%v°: :H:V°. Cette méthode donne
toute la précision qu'on peut desirer; et c’est elle dont nous nous sommes servis pour calculer toutes les expériences sur les tuyaux, rapportées dans le tableau général (55 ).
‘229. Si la conduite faisait un certain nombre de sinuosités connues, une partie de la charge serait employée à vaincre cette résistance , qui serait encore proportionnelle au quarré de la vi-
tesse. On pourra exprimer par — cette quantité que
nous avons déterminée ci-devant { 105) pour une seule bricole, en:y faisant entrer le nombre et la
nature des bricoles. Alors la charge, qui fera équi-
libre à la résistance des parois, seraH— — ———
H—v = + 3) ; et. la proportion précédente deviendra celle- ci:A:v* e + =) ::H VS + =) :
PARTIE I. SECT. IV. CHAP. IL St Y> (= + 2); et on aura de même h+w(s + =) :
v°: :H:V?. ‘ | PROBLÊME.
.230. Connaïssant la hauteur de réservoir, et la longueur d’un tuyau de conduite; on demande quel doit être son diametre, pour obtenir une dépense donnée.
. Lerayon moyen étant toujours le quart du dia: metre, si c exprime le rapport de la circonférence du cercle au diametre, {cr exprimera la section du tuyau; et si on divise la dépense D par cette
quantité, — sera la vitesse moyenne de l’eau dans
le tuyau: Maintenant, si on divise la longueur du tuyau par la hauteur du réservoir un peu diminuée, : on aura la valeur de b, d'où l’on'conclura à très: peu - près celle de Vb—Lh"b41,6, ou VB.
Alors la formule ordinaire devient =
cure) 0,3(V7—0,1), qui ‘se réduit, en négligeant le derniér terme, et la quantité o,r, à D'B :
=, ou re
ae CE). Î est vrai que cette
opération rendile reyon moyen: um peu trop petit; mais il seræaisé de:le rectifier": car l'équation précédente fait voir. que , quand deux tuyaux ont même, longueur et. même hauteur de réservoir; les. quarrés de. leurs. dépenses. sont entre eux sensiblement ,comme- les cinquiemes : puissances des rayons moyeys.ou. des diameires, On pourra done,
318 BRINOIPES D'HYBRAULIQUX.
d’après ce rapport, rectifier le rayon moyeri que l'équation aura donné, et l'on obtiendra le diametre presque aussi exactement, et bien plus simplement que par la résoltitioti d’ane équation composée du cinquieme degré. Voici un sxémple de cette approximation.
. 23r. Suppotons un réservoir élevé de 10 pivds au-dessus du point où on veut amener les eaux, et qui en peut fournir 10 pieds cubes par iifnite ; le tuyau doit avoif 60e toises de longneut ; on dé: mande le diametre qu'il faut ln donner.
. La dépense par deconde, où D13:88 pouces cubes ; et si on retranche, par exemple, un pouae de la hauteur du réservoir, pour celle qui est due d’où l’on
itesse, on aura - = 7" — à {a vitesse, on. ura:— st KA
déduit #78 Lb'+:r,6 ou LB 10,844. Ainsi dh ‘autd Ce 6,937, Vr—0,1—
0,8648 : or, 8i ôn calcule exactement la vitesse et la section relatives à ce rayon moÿen; on trouûvéra l’une de 237,517, .et l’autre de r0,896424 , dont e produit dénne une. dépense de 256,25, Ken de 288. Ainsi lé raÿon moyen: éét trop féible. Pour le rectifier, on fera la propérbion suivante : 2566 ‘2087 :: 0,931 tu quatrieme: tèrrñe, qui sen le riÿon Moyen ts-approëké; dt calcülent cote proportion: pra lés loparithses, dn' trouve celle et : diro6119,6349::0,31°b;9788: Ainsi; be diametre du tétyati déviéne : *:06034.;ot'3 pouce. F0 -bg.£; ét: éalculant Le vitesse: et:la section qui
PARTIE R SECT. IV. CHAP. 11 310 répondeit au rayon moyen 6,"9758, qu'on tient de trouver, on a V=-:3%°,n1#4, et la section 118,97 quasrés, dont be produit domne la dépense 283,976, qui, à Ia vérité, est encote un peu faible, mais qui deviendrait trop grande, si of aug< mebtait le diahetre de -4 de ligne. Oh atrraït obtenu une approxmiation plus exacté, si, sachant par apperçu que le rayon moyen doit être erivi ron or,9, et qu'il doit être diminué de o,r dans le calcul exaet de la vitesse, ce qui le réduit de +, on avait, pour compenser l'erreutr qu’on commet en négligeant dette quantité, diminué ls valeur dey//ng; à-peu-près dans le même rapport, en la faisant de 270, au lieu de 195. Dans ce cas, on auräit trouvé. d'abord r=—=0,9674, la vitesse 2%°,92, l'aire du tuyau 11,7604, la dépense 281,3; et après la rectification, on aurait ew ro QE, le diametre 3°°,906, la vitesse 247°,65,
aire du tuyau 11,98 , et la dépense 288,1 pouc. éabes
232. Onsent bien, au reste, qu'on doit toujours donner au tuyau de conduite un diametre uti pete plus grand qu'il n'est fixé par le ealoul, à cause des dépôts terreux dont l’éau se dépouille, etqui; au bout de quelquetemps, dirminuertt sa parité Cette précaution est d'autant plus nécessairé, ce tuyau fait.un. plus grand nombre de sires né dans le sens vertical
Plusieurs. auteufs ont traité des royehs æ a a sembler les.oaux; d'établir: les coaduitps ,: ét ont
marqué les précautions nécessaires pour les entretenir; nous n'insisterons ici que:sur.la nécessité d'obvier aux dépôts terreux et aux engorgements de l'air, qui diminuent considérablement les dépenses. Il convient que la prise d'eau au réservoir ne soit trop voisine ni du fond ni de la superficie constante du réservoir, afin d'en écarter les ma- - tieres hétérogenes plus pesantes où plus légeres. que l’eau. Il serait bon aussi d'augmenter le diametre des tuyaux à l'endroit des coudes inférieurs, tandis qu’on placerait des ventouses aux: coudes su périeurs , pour faciliter l'évatuation del'air qui ! s'y cantonne. Pour empécher l'entrée de. cet air dans les tuyaux, il faut, autant qu'il est. possible, placer les robinets destinés à à suspendre l'écoulement de l'eau, vers la partie inférieure, où l'eau se dégorge, afin que les tuyaux restent constamment pleins d’eau. | , Nous n’entrons pas dans les menüs détails «> construction ; ni dans l'examen dela maniere d'em— ployer et de "placer les tuyaux de conduite, selôn la matière dont il sont composés, bois, fer coulé , plomb, terre cuite. Les fontainiers ont sur ce sujet. des pratiques fort ingénieuses, qué Féxpérience- à perfectüionnées, et que la théorie pourrait rendre encore plus parfaites. :Ce serait rendre au pablic un service -asséz. important, de rassenibler dans un seul ouvrage les manipulations qui'ônt pour objet’ le ciment des chapes, la pose dés différents tuyaux ,' la maniere-de les émboîter ou de Ks::assemblet , le mastic qui doit-en‘recouvrir les joints, la ma
PARTIR I. SECT. IV. CHAP. II. Sar
niere de les renouveler, l'extraction des queues de
renard , les précautions pour s’en préserver, la construction des aquéducs, des châteaux-d’eau, des réservoirs. Tous ces détails ne peuvent être traités icl.
233. La longueur d’un tuyau et la hauteur dy réservoir sont ordinairement données par les circonstances locales; mais si elles ne l’étaient pas, et qu’on connût les autres éléments, il serait aisé de les déterminer, En effet, quand on connaît la dépense , le diametre du tuyau, et par conséquent la vitesse, on peut déterminer la pente , et d'après
cela on a L—(H—")s, et H—> +
Après avoir considéré le mouvement qui a lieu quand le réservoir reste constamment plein, examinons ce mouvement lorsque le réservoir se vide.
PROBLÈME
234. Connaissant l'étendue d’un réservoir pris» matique, qui se vide par.un tuyau de conduité', dont le diametre, la longueur et la hauteur primitive du réservoir sont données; on demande la relahon entre la dépense et le temps. .
Les expériences sur les dépenses des réservoirs
| qui se vident par un orffice, prouvent, comme on
le verra dans le chapitre suivant, qu’à chaque iestantles vitesses à l’orificesont sensiblement comme
Jesracines quarrées des charges: on peut donc croire
par analogie , que les vitesses dans de longs tuyaux, Tome I. | 21
assujetties à des charges variables, suivent à chaque instant les lois du mouvement uniforme et constant ; mais, pour éluder les difficultés que présente l'équation rigoureuse des vitesses, nous nous ser-
virons de la formule simplifiée V— MN?
dans laquelle on connaîtra V et V”/& pour une charge quelconque, d’après le premier problème de .ce chapitre ; mais, comme la quantité j NZ varie un peu à mesure que le réservoirse vide, il faudra la conclure d’après une hauteur de réservoir telle que sa racine quarrée soit moyenne proportionnelle entre celles de la hauteur primitive et de la hauteur finale. Cette préparation étant supposée, soient H la hauteur primitive du réservoir, x la quantité dont la superficie s’est abaissée peridant un temps quelconque t{, exprimé en secondes, À l'aire ou la surface du réservoir, et a l'aire du tuyau. On remarquera que, pour la hauteur H—x , la formule simplifiée peut se transfor-
ME mer en celle-ci : V— ; d'où l'on tire mo ; Co VA—z | V — Vi ; et, en représentant Ng(y/r—0,1) 2G
qe 4 M la quantité : semahlement constante
7 L 5 , On à -V=VMH—2) Ng(Vr—0,1)° T6 Or, cette vitesse peut être considérée comme
PARTIE I. SECT. IV. CHAP, IL. 323 uniforme pendant le-temps infiniment petit dé;, ainsi adt\" M(H—x), sera la: dépense du tuyau et du réservoir; et, en divisant cette quäntité par l'aire du réservoir, on aura l'expression ide l’abaissement dx de sa superficie pendant cet instant.
Ainsi dr à AV M(H—x) ; d’où l'on tire 4—
Lx AVE z VHS) et en intégrant, = To +-c.
Pour déterminer la constante et compléter l'équation, nous supposerons qu’à la fin du temps t on
aura zh; et on voit d'ailleurs que é—0 lorsque
2AV/H 2AV/H ar + ou c=— aVH :
‘on a donc aussi, pour lavaleur complete du temps, => x ( VH—VH— k ; d'ou: lon tire aussi
h —H— (y pv") . ‘Au reste . ces formules ;
seront d'autant plus exactes, que H sera plus grand relativement à k; et, si cette. derniere quantité était considérable, on la diviserait en plusieurs ‘parties, pour chacune desquelles on trouverait les temps; et la somme de: €8s temps. donnerait la solution du problémè:: :: un
235. On pourrait eompliquer ce problème, en supposant qu'à mesure que le réservoir se vide, il reçoit constamment une certaine quantité d'eau, qui tend à élever sa superficie avec une vitesse par seconde qui serait exprimée par.v; dans.ce Cas, adt\” M(H—zx) représenterait toujours la :dé-
pense du tuyau pendant un instant; mais dé volume a Laruns a nu , at.
X—=0.. Ou :a donc o—
3a4 PRINCIPES D'HYDRAULIQUE.
d’eau qu'il y aurait de moins dans le réservoir serait
exprimé par adlt V'M(H—x) — Avdt; et on
aurait dr — dt (À VV” M(H—x) —v) ; d'où l'on | dx . | |
tire d— 1 /MH—x) —v : eh intégrant cette
