PARTIE I. SECT. III. CHAP. VI. l

rapport, que la section uniforme inférieure; mais cette section ira ensuite en augmentant, à mesure que la résistance des parois modifiera et changera l’ordre des vitesses, en diminuant celles des filets qui avoisinent les parois, et laissant subsister celle de la surface, qui participe très-peu au frottement. La surface de l’eau, à partir du dessous de la chute, sera donc en contre-pente ; et c’est en effet ce que l’expérience nous a fait voir. Ce n’est qu’à une certaine distance de l’entrée du canal que l’uniformité de la section et de la pente s’établissent.

Le mouvement de l’eau sur cet espace plus ou moins long est un des objets les plus épineux de l’hydraulique, et il est trop compliqué pour qu’on en ait jamais une connaissance exacte. Ce qu'il importe le plus de savoir , c’est si la peute est entièrement employée à vaincre, sur cet espace, la résistance des bords , malgré l'irrégularité des vitesses et des sections. Les expériences sur notre canal factice nous ont démontré que cette compensation a lieu, à-très-peu-près, en sorte que la vitesse et la section uniformes s’établissent à une certaine distance du réservoir, comme si l’uniformité commençait dès l’origine du canal ; nous avons seulement remarqué que, pour de trèspetites vitesses, comme de 5 à 6 pouces et audessous , la force accélératrice surpasse un peu la résistance, et qu’une partie de cette force est employée à imprimer la vitesse, en sorte que la hauteur de la section uniforme égale au moins la distance verticale de la superficie du réservoir au

*5 O PRIMCIVÉS D’H YDRACLIQÜE.

fond de l’entrée du canal; distance que nous appelons la hauteur du réservoir.

178. On peut néanmoins négliger cette différence, et conclure en général que , dans un canal de largeur et de pente uniformes , la section et la vitesse moyennes s’établissent dé maniéré que lai hauteur due à cette vitesse est égale à la différence entre la hauteur du réservoir et celle de la section uniforme.

Ainsi, nommant H la hauteur du réservoir, h celle de la section , et V la vitesse uniforme, on

yi a

doit avoir — = H — h, d’où l’on tire h=. H -•

Lorsque la vitesse est très-petite , comme de quelques pouces, la quantité ^ devient presque nulle, et on peut indifféremment prendre h = H ou = H 7; , sur-tout si la hauteur du réservoir est au

aG 7

moins de plusieurs pouces.

La seule incertitude qu’il y ait dans cette équation tombe sur la valeur de 2G. S’il n’y avait point de contraction à l’entrée du canal , elle serait égale, comme on sait, à 724 ; mais elle diminue d'autant plus que la contraction est plus grande. Nous avons déjà vu (x 1) que nos expériences sur le canal factice nous ont donné œtte quantité variable entre 53o et 660, ce qui donne une moyenne un peu moindre que 600. Os variations ne sont pas étonnantes, si l’on considéré que l’err leur d’une ligne ou deux sur l’une des hauteurs de section ou de réservoir, en occasionnerait une

PARTIE I. SECT. III. CHAP. VI. ü5l considérable sur leur différence, et sur la valeur de aG, et que d’ailleurs notre canal était trop court pour que le mouvement y fût dans tous les cas parfaitement réglé. Malgré* ces irrégularités, il nous a paru que dans le lit trapeze la valeur de aG augmentait un peu avec la hauteur, et par conséquent la largeur du lit ; ce qui montre une diminution de contraction. Il paraît que cet élément est peu de chose à l’entrée des grands canaux, et on n'a point d’erreur sensible à craindre, en supposant que la contraction y est telle que aG=

700. En effet, puisque la quantité — est déjà peu sensible, étant comparée à h dans les grands lits, à plus forte raison ne doit-on pas tenir compte, dans la valeur de aG, d’une erreur qui ne peut être au plus que de — .

Sachant donc à quoi s’en tenir sur la chute et la contraction qui ont lieu à l’entrée d’un canal, on peut résoudre toutes les questions qui ont rapport à sa dépense, par des méthodes d’approximation semblables à celles que nous avons employées précédemment. Pour peu qu’on soit exercé au calcul , ces recherches offriront peu de difficultés, sachant sur-tout que la précision de l’analyse est presque toujours inutile dans la pratique.

PROBLÈME

179. Connaissant la pente, la largeur et la hauteur de réservoir d'un canal ; déterminer sa dépense, ainsi que la profondeur et la vitesse que le courant y prendra.

25a principes d’hydraulique,

La seule difficulté que présente ce problème est de déterminer la profondeur du courant. Pour y parvenir, nous supposerons qu’on simplifie la forjmule du mouvement uniforme, en réduisant- la valeur de la vitesse moyenne à v/Ngi-, ce qui n’est

-pas difficile : car, puisque la pente - est connue,

on peut faire Vb — l\//b + i ,6 = l/B, et doit être une quantité moindre Que 1/ ng, ou 297. Pour trouver sa valeur, il faut i°*ipposer une profondeur un peu moindre que la hauteur du réservoir, ou H; et, d’après cette hauteur et la largeur qui est connue , calculer la racine quarrée du rayon moyen, ou v'r, et la vitesse ou Y par la formule du mouvement uniforme; 20 égaler cette vitesse supposée à v/Wg<-, ce qui donne d’où

l’on tire \/Ng=X±~. Cette valeur de l/Ng ser^

suffisamment exacte pour tous les cas où la profondeur différera peu de celle qu’on aura supposée, parce qu’une légère différence en plus ou en moins sur la profondeur ne change pas sensiblement la valeur de 1/7.

D’après cette préparation, c’est-à-dire étant connue, si on nomme A la profondeur incon-

nue du canal, et l sa largeur, i/t» sera

ih

1 expression de la vitesse moyenne de l’eau dans le canal; et la hauteur de la chute due à cette vitesse

PARTIE I. SF.C.T. III. CHAP. VI. a53; sera exprimée par ^ (/^â) » quanbté qui doit être égale à H — h. Ainsi l’on a ^ (^^)=H — h ,

d’où l’on déduit h = — (. aJgb+' J~aH) -4-

^/8hi-h(/( »h) On doit remarquer

que, d’après cette expression, la quantité^ se

réduirait a-j> si 1* contraction était nulle ; mais aG est toujours un peu moindre que 2 g ou 724.

1 80. Pour donner une application de la solution de ce problème, nous choisirons notre quarantequatrieme expérience sur le canal rectangulaire factice, dans laquelle on avait H = Gr°,583; l — i7p»,25j \ •=*= 77»; et Par conséquent t/B =s 18,339; et où nous supposons 2G = 6oo pouces, on trouvera l/]S> == 2 7 5, 5 , et h deviendra

5”, 34*4. . . it . ’ . ,

D’après cette valeur on conclut la vraie vitesse V = 27po,28, et la dépense de 25 14 pouces cubes par seconde, au lieu de 244°»4i qu’a donné l’expérience. Cette derniere, quantité , divisée par la section mesurée , avait donné une vitesse moyenne de 28p°,29, tandis que celle que nous avions calculée par la formule, d’après fa profondeur mesurée (108 exp.dp tableau§ 55), 11’était que dé 26,69. Qn voit donc que la premierè, donnée par la solution du problème précédent, tient le milieu entre les deux dernieres, en rectifiant les petites erreurs

a54 PR1KCIPES d’hïüRAULIQIÎE.

de l’expérience; ce qui confirme ce que nous avons dit de la difficulté de régler un canal dont la longueur est bornée. Presque toutes les autres expériences présentent le même résultat.

PROBLÈME

181. La hauteur du réservoir , la pente du canal et sa dépense étant connues ; on demande ses dimensions.

Soient x et y la profondeur et la largeur moyenne du canal, D sa dépense; l’équation

— x donnerait une première valeur de y, en fonction de x, qu’on égalerait à celle qu’on

tirerait de l’équation suivante ^ —

afin d’avoir une seule équation en x et en données. Mai» malgré la simplification de la formule du mouvement uniforme, il y a ici de quoi rebuter le calculateur le plus intrépide : il faut donc se contenter d’une méthode d’approximation dont nous allons donner l’exemple dans l’application suivante.

Nous supposerons la hauteur du réservoir de 1 8 pouces, la pente de tttï, et la dépense qu’on veut se procurer, de 1200 pieds cubes d’eau par minute; il s’agit de trouver les dimensions d’un canal trapèze , dont les talus sont aux |.

Un premier apperçu suffira pour montrer qu’en prenant ~~ pour la hauteur due à la vitesse; cette quantité ne peut être qu’entre 1 et 3 pouces. Supposons-la d’abord de 2 pouces, et, par conséquent,

PARTIE I. SECT. III. CHAP. VI. ü55 la profondeur dans le canal, de 16 pouces : d'après cette hypothèse, on cherchera, par la méthode du paragraphe Ia4> quelle doit être la largeur moyenne du canal, en employant l’équation l— p ,

k{\/r — o,i) dans ^quelle D = 20 pieds

cubes, t/B=28,i53, et h= 16 pouces, on trouvera l— 5p,,52 , à-très-peu-près ; la section égale à 7p‘,36; et Y = 32^,6, dont la hauteur due est 1^,51 82 , au lieu de 2 pouces : si ori retranche cette nouvelle quantité de 18 pouces, le reste 16,4818 différera très-peu de la véritable profondeur de l’eau dans le canal , de sorte qu’en conservant la même section et la même vitesse que ci-dessus , on conclurait, avec une précision suffisante dans la pratique, que la largeur moyenne est de 5pi,358, et celle du fond de 3pi,5a7 = 3pi 6po 4'‘-

Ceci est fondé sur ce que la largeur diminuant peu, et en même proportion que la hauteur augmente, le rayon moyen , et par conséquent la vitesse, ne varient pas sensiblement. Si on voulait tenir compte de cette petite erreur, et approcher encore plus de l’exactitude, il n’y aurait qua augmenter la hauteur due à la vitesse dans le rapport du premier rayon moyen à celui qui est relatif aux nouvelles dimensions ; alors cette hauteur due deviendrait ip°,53, répondante à une vitesse de 3apo,72j la profondeur plus précise du courant serait de 1 8^° — ;ip°,53=i6po,47 ; le quotient de la dépense par cette derniere vitesse donnerait la

! GoogI

a5Ü PRINCIPES !>’ HYDRAULIQUE,

section de 7pi,335 quarrés, et en la divisant par la nouvelle profondeur, on aurait 5pi,344 pour la largeur moyenne plus exacte; celle du fond serait de 3pi,5i4=3p! 6po 2I:.

182. Ce problème peut servir dans la pratique , quand on veut, par exemple, dériver d’une rivière ou d’un lac une certaine quantité d'eau, pour arroser pendant les sécheresses un terrain éloigné et inférieur. O11 pourrait désirer aussi, en vue de mouvoir une machine, de se procurer un courant qui ait une vitesse déterminée; et la connaissance de la vitesse rend ces sortes de questions plus simples : car la vitesse et la pente étant connues, on déterminera la valeur du rayon moyen , et la profondeur du courant sera connue par la différence entre la hauteur du réservoir et celle qui est due à la vitesse. Ainsi on trouvera aisément la largeur et la dépense (62 ).

De même, si la dépense était connue, ainsi que la vitesse et la hauteur du réservoir, on chercherait les dimensions du lit; et le rayon moyen étant formé , on parviendrait à connaître la pente.

Lorsque la pente d’un canal est telle que la hauteur de la section différé peu de celle du réservoir, la vitesse, et par conséquent la dépense, 11e sont pas considérables. Si, au contraire, la pente était assez grande pour que la hauteur de la section fût très-petite en comparaison de celle du réservoir, la petitesse de la section rendrait la dépense moindre, malgré l’augmentation de la vitesse. Il y a donc un point intermédiaire, où la dépense serait