PARTIE I. SECT. 1. CHAP. V. 5l

surpassent de plus en plus cette valeur, à mesure que 1/ b diminue; on peut les exprimer par les ordonnées de la courbe PGT , qui se confond avec la première , à une grande distance de l'origine A, et s’en éloigne d’autant plus que les abeisses communes diminuent ; de sorte que si AQ représente la valeur de \/ b , quand la vitesse est infinie, la ligne QÜ est l’asymptote de la nouvelle courbe ;

ses ordonnées sont égales à et celles de la première Ainsi , le rapport entre ces ordonnées,

ou ~~ doit être tel qu’il s’approche d’autant plus

de l'unité que 1/ h est grand, et qu’il la surpasse d’autant plus que \/b diminue.

45. Pour exprimer X en fonction de l /b, de maniéré à remplir ces conditions , on voit d’abord en général que X doit être plus petit que 1/ b , et ne doit être égal à aucune de ses puissances fractionnaires ; car alors le rapport différerait

d’au tant plus de l’unité , que V/ b serait plus grand. Si l’on fait \ = qv' 4, q étant un nombre fractionnaire , constant ou variable , suivant quelque puissance de 1/ b , on trouvera encore le même défaut. En faisant X = 1 /b — K. , prenant K pour un nombre constant , on satisfait assez bien à la première condition; mais R doit être très-petit, afin que X ne devienne zéro qu’à une très-petite valeur de V' b ; et on voit , d’après l’expérience ,

que le rapport — n augmente pas assez dans

5a principes d’hydraulique.

certaines pentes , lorsque K est moindre que l’unité , et que cette quantité doit nécessairement être variable. Si on prend pour K une puissance fractionnaire de \/b , il arrivera que X=o lorsque 1/ b— i , [ce qui est encore contraire à l’expérience. On voit donc qu’aucun exposant constant ne peut donner la valeur de X en fonction de V b ; il faut que cet exposant soit variable , ce qui ramene à une loi logarithmique, et paraît s’accorder avec l’observation précédente , (43) que la loi générale n’est suivie qu'en comparant des abcisses ou des valeurs de t /b , qui soient en progression arithmétique. Nous avons d’abord essayé de faire K=L. V' b , ouX=^i — L. 1/ b ; et en effet , plus un nombre est grand , moins il est diminué par la soustraction de son logarithme :

ainsi , ^ ^ s’approche d’autant plus de l’unité , que 1/ b est plus grand ; la formule devient , ^

alors V= ^ h- En comparant cette formule

avec les résultats de l’expérience , il s’y trouve un accord singulier , depuis les plus petites pentes jusqu’à celles de r? , qui est la plus grande que M. l’abbé Bossut ait employée dans ses tuyaux , et qui excede même les bornes ordinaires de la pratique : mais quand la pente devient plus grande , on trouve que les vitesses calculées sont au-dessous de celles de l’expérience , et d’autant plus que la pente s’approche de la verticale; et il reste à désirer que la formule devienne générale , pour embrasser tous les cas. Comme la théorie devient