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et ces coordonnées conviennent à tout point du plan de Vinfini, en sorte que leur valeur ne permet pas de distinguer l'un de l'autre les différents points de ce plan.
Au contraire, pour tout point du cercle de l'infini, les coordonnées sont indéterminées, et, si l'on désigne par 9 la limite du rapport
Tt '
lorsqu'on s'approche d'un point P du cercle de l'infini, on peut prendre pour ces coordonnées les valeurs
( 42 ) x/i = a.i;X -+- Pajk -1- Y/,-5
Q étant une variable arbitraire.
Ainsi, un point du cercle de l'infini a une infinité de coordonnées de la forme
Elles satisfont évidemment, quel que soit G, aux deux équations
qui définissent le cercle de l'infini.
Les résultats que nous venons d'obtenir sont en corrélation avec la propriété qu'a le système de coordonnées d'être indifférent à l'inversion. Celle transformation a, en effet, la double propriété : 1° de faire correspondre un seul point à tous les points du plan de l'infini qui sont hors du cercle de l'infini; 1^ de faire corres|)ondre à un point du cercle de l'infini tout point de la droite isotrope qui le joint au pôle de l'inversion. Il faut donc que tous les points du plan de l'infini hors du cercle de l'infini aient mêmes coordonnées qu'un point unique, et que tous les points du cercle de l'infini aient une infinité de coordonnées, toutes celles des points en lesquels les transforme l'inversion considérée.
LES COORDONNÉBS PENTASPHÉRIQUES. 889
251. Les relations que nous avons établies nous conduisent sans difficulté aux résultats suivants.
Soient Xki ^'^les coordonnées de deux points M, M'. On trouve, en appliquant les formules (Sa),
(44) MM' = '
^ 3-/, iy X,.
ce que Ton peut écrire, en tenant compte de l'identité (aS),
<45) MM'
"^ a^A- yi x'i,
2d K,, Zji Ku
et l'on déduit de là, quand les deux points sont infiniment voisins, la formule fondamentale
asr
qui donne l'élément linéaire de l'espace. En changeant dx^ en dxh-\- ^^dxki ^\' égalant les coefficients de ;ji dans les deux membres, on obtient la formule plus générale
(47) «5 05 cos(as, os) =
qui, jointe à la précédente, donne l'angle de deux directions.
232. Passons maint.enant aux sphères et aux plans. D'après les formules (Sa), l'équation d'un plan ou d'une sphère quelconque
sera de la forme
(48) 2^ mi,xi,= o.
Ici encore, on voit que les points du cercle de l'infini ne sauraient avoir des coordonnées fixes. Sans cela, les constantes rrik devraient vérifier des équations de condition.
La formule (44) nous permet aussi d'écrire l'équation d'une sphère dont le rayon est p et dont le centre a pour coordon-
SgO LIVRE V. — CHAPITRE II.
nées 37/,= Oh. On a ainsi
(49) '^'"•-•-?'2ïïi2t = ''-
En identifiant cette équation et la précédente, on aura le centre et le rayon de la sphère définie par l'éqnation (48). Un calcul facile nous donne le résultat suivant :
( ■îo ) au = mu T. 1 p = =h
•>. K/,- ^ mu "S^ niu
La sphère se réduira à un plan si l'on a
La présence du radical dans les formules (5o) nous conduit à introduire une sixième quantité mg, définie par la condition
ou
(53) ^ ml= o,
qui permettra^ une fois connue, de définir le rayon, en grandeur et en signe^ par la formule
(a4) p = -ïï >
y mu
Zà ^u
et d'introduire ce dédoublement de la sphère qui est si précieux et apporte tant de netteté dans une foule de recherches. La première formule (5o) pourra s'écrire alors
( 55 ) au— mu -^- >
et l'on aura, pour tout point de l'espace, l'identité
(56) / niuxu-im^, —
LES COORDONNÉES PENTASPHÉRIQUES. Sgi
S Lorsque la sphère se réduira èi un plan, il faudra remplacer —
par le double de la dislance, affectée de signe, à ce plan.
253. Dans ces derniers temps, plusieurs géomètres, et Plilcker au premier rang, ont eu l'idée d'étendre aux êtres géométriques les plus complexes la notion de coordonnées qui, introduite par Descartes pour les points, avait été déjà employée pour les plans, en vertu du principe de dualité. Les six quantités m;;, liées par l'équation identique (53), déterminent complètement une sphère. Nous dirons qu'elles sont ses coordonnées. Ces coordonnées sont à la fois homogènes et surabondantes . Si l'on éliminait /«o, la sphère ne cesserait pas d'être bien déterminée, le signe seul de son rayon demeurerait indécis.
Les formules que nous avons données permettent de traiter toutes les questions relatives à la Géométrie des sphères. Soient, par exemple, (S), (S') deux sphères ayant les coordonnées m*, nfi).. Si p et p' sont leurs rayons, «a et a)^ les coordonnées de leurs centres, la distance d de ces centres sera donnée par la formule
2 ait ^ a). •^ //?/,. •^ irij,
Si donc nous voulons calculer l'angle V des deux sphères, en le définissant d'une manière précise parla relation (!?4)j nous aurons, en appliquant les formules (^4), (^7),
(58) //^; ///,^ cds \ ;: — ^^ in'ijni,.
Ces formules vont nous conduire à la définition géométrique des coordonnées de la sphère. Supposons que la sphère (S') se réduise à l'une des sphères coordonnées. Pour (Sa), par exemple, toutes les coordonnées sont nulles, sauf /«a, que l'on peut prendre égale à 1 , et mo qui doit alors être égale à : — /, d'après la formule (54). Si Va désigne l'angle de (S) et de (Sa), on aura donc
( »'J ) /?î/. = inxç, cos V/. ,
d'où il suit que la formule (58) se mettra sous la forme
(6o) cos V = N^ cos V/.- cosV/^.,
et que l'on aura l'identité
(6i) Scos'-V/, = i.
Il est inutile de souligner l'analogie de ces relations avec celles qui se rapportent aux coordonnées cartésiennes.
Revenons à la formule (58). Nous en déduisons la suivante :
V v^ (G2) 2 /ng/?? fi sin^ — = >/??/,. m/,,
qui, en tenant compte de l'identité fondamentale (53), peut s'écrire
(63) 4"ÎG«Î6 sin-— = — > (m/. — ni'/^.)-.
Appliquée à deux sphères infiniment voisines, cette équation nous donne, pour leur angle dv^ l'expression
fi
(64) dv^^-^,ydml.
Notons enfin qu'appliquée à une sphère et à un point, l'équation (5^) nous conduira à la relation
d- — p" S „ **- f ^m,',x/,- P p ~ "le, V^fA- '
S étant la puissance du point par rapport à la sphère.
254. Ces différentes formules vont nous permettre d'élucider la question suivante :
Elfectuons sur les coordonnées une substitution linéaire orthogonale, qui sera définie par les équations '
(66) ^''~^ (^kk'yk- (/'■, /i'= I, 2, 3, 4, 5)
LES COORDONNÉES PENTASPHÉUIQUES. SgS
et entraînera l'identité
<G7) I..Tl=Zyl.
Les coefficients «aà' seront liés par les relations bien connues
( 68 ) ^ a^^., — i, ^ au' a-kk" = o, ^ aj.,., = i , ^ «a/, ' «A /," = o,
qui laissent subsister dix arbitraires. On pourra envisager la substitution sous deux points de vue difTéients :
i" On pourra résoudre les équations par rapport aux^^, ce qui donnera
(69) jA=^«/.7.a7A',
€l envisager les cinq sphères (o-y;) définies par les équations
et pour lesquelles nous jnendrons — i comme sixième coordonnée. En vertu des relations (68), ces sphères sont évidemment orthogonales. Alors, si nous désignons par p^^ le rajon de la sphère (<ta) et par ^k la puissance du point (.r,, ..., x i) par rapport à cette sphère, la formule (65) nous conduira aux suivantes :
■iS ai,'
Zd Ka'
À étant le facteur de proportionnalité qui entre dans la définition (3o) des Xk et nous donne
~ Saa.A.= A-.
Ainsi, on peut dire que les quantités y^ sont cinq nouvelles coordonnées du point considéré, rapportées aux cinq nouvelles sphères (o-y^) avec le même coefficient de proportionnalité. Remarquons que les rayons de ces sphères orthogonales sont bien définis, en grandeur et en signe.
Il y a là une analogie évidente avec le changement d'axes rectangulaires.
2" Considérons maintenant les formules (66) comme réalisant une transformation ponctuelle, les Xi et les yi étant les coordonnées de deux points, rapportés aux sphères coordonnées primitives. Comme cette transformation fait correspondre une relation linéaire entre les yi à toute relation linéaire entre les Xi, elle fera correspondre une sphère à une sphère; elle sera donc de la nature de celles que nous avons étudiées plus haut et qui résultent de la composition d'inversions, de déplacements et d'homothéties (11° 242).
Soient M, M' deux points, de coordonnées x/,- et x'/^ respectivement, auxquels correspondent deux points P, P' de coordonnéesj-/, ely[. On a, d'après la formule,
Zd \\k Zu Wk Zd \\i, Z4 K/..
Comme, d'après les formules de la substitution orthogonale, on a
il viendra
