CHAPITRE II
s'appellera \di puissance commune des deux sphères (S/), (Sy); il est clair qu'elle est nulle quand les deux splières sotjt orthogonales et que, si l'une des sphères se réduit à un point^ elle devient la puissance de ce point par rapport à l'autre sphère. Cela posé, considérons les deux systèmes linéaires
et
yi ^- ~-J — ^1 ^i Yi
— ■>.yi —'ïZi xf-+-j
formés, l'un et l'autre, de six lignes correspondant aux valeurs i, y, ..., 6 de /.
D'après le théorème de Binet et Cauchj, le nombre des colonnes étant inférieur à celui des lignes, le déterminant des éléments K/y obtenus en multipliant les lignes des deux systèmes sera nul. Ainsi l'on aura
•^13 Ki4 Ki5 K]
Kl, Ko,
Kl 2
Supposons maintenant que la sixième sphère ait son rayon nul et désignons les coordonnées de son centre par a?, y, z (au lieu de Xa,
y^, Za). On aura
Kb A - K
(.r — xuy- -f- (y —yuY + (- — -/, )- — H/, = S/„
Il étant différent de 6, et S^ désignant la puissance du point (ar, j", 5) par rapport à la sjjhère (S^). On a, d'ailleurs,
ija relation (a) prendra donc la forme
Kl 2 K22
et il est ainsi établi qu il y a une relation homogène du second degré entre les puissances d\in point quelconque de l' espace par rapport à cinq sphères distinctes.
LES COORDONNÉES PENTASPHÉRIQUES. 38 1
Gela conduit à déterminer un point par les rapports mutuels de ses puissances relativement à cinq sphères quelconques. On aura ainsi, pour la première lois, un système de coordonnées surabondantes qui devront satisfaire à la relation (4).
246. Après avoir indiqué la forme la plus générale de ce système de coordonnées, nous allons nous borner, pour plus de simplicité, au cas où les splières qui lui servant de base sont orthogonales.
Ecrivons l'équation d'une sphère sous la forme
(■■)) \\{x^--^y^-[- z^-)^-xS.x-^-i\iy -r--xCz-r- K = o;
son rayon o sera donné par la formule
, A2-4-B2+C^— IIK
OÙ le numérateur est une forme quadratique des coefficients. Cette forme quadratique joue un rôle important dans la théorie de la sphère. H y a intérêt à la ramener à une somme de carrés et à écrire l'écpiation (5) sous la forme
(-) 'i-xx -^ lay -^ -i^'z -+-0 ■ \- iz ■ = o,
K désignant une constante quelconque, que nous supposerons réelle.
Alors les coordonnées Xq^ yo, Zq du centre de la splière et son rayon p seront données par les formules
-gR — 8R - yR
^0 — ^ ; — 77 ' yo — 5 — ; — 77 > -^o = 5— — :—
ù-^it « .. V. " . (S -h te
Si la sphère n'est [)as de rayon nul, on pourra poser
et le rayon sera déterminé, en grandeur et en signe, par la formule
Avec l'hypothèse (9), le premier membre de l'équation (7) aura une signification géométrique déterminée. On aura
x^ -+- y- -\- z- — R- (11) 2a.r 4- 'jt^^ — avz -+- 0' — ; — ■ 5
-+■ le — = — ou 2r,
S étant la puissance du point relativement à la sphère et P désignant, quand la sphère se réduit à un plan, la distance à ce plan, affectée de signe.
Associons à la sphère précédente une autre sphère^ définie par l'équation
,, .rî-H r5-4-52 H2 3^2 ^ -^2 | ^2 ^ R-2 IX X-h 'i^ J-h 1'( 3 -H 0 1- l z ■■ TT = 0,
obtenue en accentuant toutes les lettres, et pour laquelle on aura encore
il viendra, ^'o,y'o, 5,,, p' se rapportant à cette nouvelle sphère,
(i3) (a^o — ^0)'+ (J'o-yo)' -+-(^0-^0 )■-—?' -p''
= — 2pp'(aa'-+- P^'h- Yy'"Î~ ôS'-t- '£')•
Si donc on définit l'angle V de deux sphères par la relation
(14) C?2 = p2)p'2 Jtpp'cOsV,
OÙ d désigne la distance des centres, on obtiendra la formule fondamentale
(i5) cosV = aa'-4- p§'-t- Yy'-t- oS'-f- ti',
qui subsiste encore si l'une ou l'autre des sphères se réduit à un plan.
Si l'on ne supposait pas satisfaites les relations (9) et (12), on aurait
aa'-i- Pj3'-1- 7y'"^ 88' -h es'
(16) cosV =
v/a2 -4- [i2 -1- yï -+- 32 , £2 /a'2-l- Ji'2,Y'M-8'2 -+-£'*'
et l'angle serait moins bien défini.
La formule (i5) permet de rattacher la théorie des sphères
LES COORDONNÉES l'ENTASPHÉRIQUES. 383
orthogonales à celle des substitutions orthogonales. On voit, en effet, que si l'on considère un groupe de cinq sphères (S/f) définies par les équations
^2 ^ jr2 H 32 __ Rî -r2^. y2^ -2 i R2
où K;t désigne le rajon de (S*) et où l'on a ('8) *l+?l + Ti+32+^l='>
elles seront deux à deux orthogonales si Ton a
(19) a/,aA-'-+- ^/.^A'-+- Y'tY^'-^- S/.-8/,'-f- £/,£a'= o (A' j^ A-'),
c'est-à-dire si les coefficients a^, (^y^;, • • • sont les éléments d'une substitution orthogonale de aS éléments.
Ces substitutions dépendent de dix arbitraires, ce qui est bien d'accord avec les considérations géométriques. Leurs propriétés bien connues vont nous fournir les résultats essentiels. On sait que les équations (i8) et (19) sont équivalentes aux suivantes :
et
les sommes sont étendues aux valeurs i, 2, ..., 5 de l'indice i. l'on se rappelle que les raj'ons R/^ sont déterminés par la formule
(22) lU^ . J^. >
les formules précédentes conduisent immédiatement aux trois identités
<^') 2(lf)'=- c'^) SU— (■'') 2ii = ».
dont nous aurons à faire usage plus particulièrement. Remarquons, une fois pour toutes, que, si l'une des sphères Sk se réduit à un
plan, ~ doit être remplacée par le double 2Pa de la dislance à ce
plan. Le terme correspondant disparaîtra donc dans les identités (24)et(25).
L'identité (23) est celle qui remplace la relation (4) quand les sphères deviennent orthogonales. On peut en déduire toute la théorie de ce groupe de sphères. Par exemple, si l'on considère la sphère (S^), il résulte de l'identité (aS) que son équalion peut aussi être écrite
et, sous cette forme, elle s'interprète aisément. Car elle exprime que les quatre plans radicaux de la sphère (S/j) et des quatre autres sphères forment un tétraèdre conjugué de (S/;). Comme le plan radical de (Sa) et de (S^) est le plan polaire |)ar rapport à (S^) du centre de (S^), le tétraèdre conjugué dont il vientd'être(|ueshon a pour sommets les centres des quatre sphères autres que (S^). Ainsi, chacune des sphères est conjuguée par rapport au tétraèdre formé par les centres des quatre autres.
Si l'on désigne par x/(, y/s, z^ les coordonnées du centre de (S^), l'identité (2^) fournit les relations
1 ÏÏI ="' 1 ïï| =^"' 1 rI
où Xk-j y kl zis désignent les coordonnées du centre de (S^) et dont l'interprétation n'offre aucune difliculté.
247. Ces préliminaires une fois admis, nous donnerons la définition précise des coordonnées pentasphériques. Elles auront pour expressions
(28 ) .r^. = X — ^ ou x/c— 1 1 P/.-,
X désignant un facteur de proportionnalité. Ce sont des coordon-
LES COORDONNÉES PENTASPHÉRIQUES. 385
nées homogènes surabondantes^ qui, d'après l'idenlité (aS), doivent satisfaire à la relation
(•29) •Lxl=o.
Le facteur de proportionnalité se détermine si l'on fait usage de l'identité (9.4)5 qui nous donne
Au reste, on peut le retrouver et obtenir les coordonnées rectangulaires X, y, z en résolvant les équations
( 3 1 ) 2 a/,ar -h 2 ^/,y -H 2 7/. - -^ 0/, :^—
qui donnent
l(x'^-+-y^-^z^-—R^)= Rl.8/,x/,, l{x-^-h-y^-+-z^--h R2)=— tR2£/,a7A, et, par suite,
248. Vu début, nous avons (ait lemarquer que le nouveau système de coordonnées permet d'étudier, en même temps qu'une figure, toutes ses inverses. C'est un point que nous pouvons établir dès maintenant.
limployons l'analyse et soit, en coordonnées rectangles,
l'équation d'une sphère quelconque (S). Si on la soumet à l'inversion définie par les formules
X' Y' Z' X'2+ Y'2-hZ'*'
on aura identiquement
/.,,• c- x^ -i- y- -^ z'^ — IV- ^,
S' ayant l'expression suivante :
x'i -\- y- -\- z'' — W'^ j \ a7^-+-jK--+--s^— H^
J2^S2~KV {X-^ -r- J^ -^ Z-' — W^y
A la sphère (S) correspondra la sphère (S') obtenue en égalant S' à zéro. Les coordonnées x' ^ y' ^ z' du centre de cette sphère et son rayon, auquel on attribuera un signe convenable^ seront déterminés par les formules
qui seraient celles de l'inversion, appliquées dans un espace à quatre dimensions, à un point de coordonnées rectangulaires .r, y, z et Ri.
En tenant compte des formules précédentes, l'équation (36) prend la forme
ou, mieux encore
pR ~ p'R''
p et p' désignant les distances au pôle de l'inversion des points qui se correspondent dans les deux figures.
La formule précédente montre que les rapports mutuels des
S quantités -^ ne sont pas altérés par une inversion quelconque. En
particulier, nous voyons qu'appliquée à une figure quelconque, l'inversion ne change pas les coordonnées pentasphériques de ses points, pourvu que les coordonnées des nouveaux points soient prises par rapport aux cinq sphères orthogonales que l'inversion fait dériver des cinq splières coordonnées primitives, et dont le rayon est défini en grandeur et en signe.
249. On peut déduire des formules (3-) quelques conséquences intéressantes. Appliquons-les d'abord à une sphère orthogonale à la sphère principale et pour laquelle on a, par conséquent,
LES COORDONNÉES PENTASPHERIQUES. J07
Elles nous donnent
Ainsi, toute sphère orthogonale à la sphère principale conserve à la fois son centre, ce qui était évident a priori, et son rayon avec le signe qui lui a été attribué.
Au contraire, pour la sphère principale, on a
Le rayon R est donc changé de signe par l'inversion.
On voit donc que, si l'on change le signe d'une seule des cinq coordonnées pentasphériques Xk-, cela revient à remplacer le point par son inverse relativement à (Syt). Et de là on peut déduire que cinq inversions successives par rapport aux cinq sphères coordonnées se détruisent, puisqu'elles ont pour effet de changer le signe de toutes les coordonnées.
Si l'on envisage le groupe des seize points dont les coordonnées sont
±Xi, ±372, ±.^3, ±374, ±^5,
on reconnaît qu'ils se déduisent de l'un quelconque d'entre eux par les inversions qui admettent comme sphères principales les sphères coordonnées.
250. Nous devons insister maintenant sur une propriété particulièrement intéressante de notre système de coordonnées. C'est une espèce d'axiome qu'un point devrait toujours être bien défini par ses coordonnées, et que deux systèmes de valeurs différentes des coordonnées devraient donner deux points différents. Ni V une ni i^ autre de ces propriétés n^est ici pleinement vérifiée. Elles sont vraies seulement pour les points à distance finie, et tombent en défaut pour les points à l'infini.
Si l'on rend, en effet, homogènes les formules (3i) en y rem-
plaçant x par - et X par -^ , elles deviennent
(4o) , X^^ ^ {-■Z0ikXt-^'iS,/,.Yt-h9.'lkSt-\ -Rt^.
Oa voit déjà que, po\ir tous les points du plan de l'infini non
situés sur le cercle de l'infini, les coordonnées sont les mêmes. Oi» peut prendre, pour tout point de ce plan,
