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■^ xi,. ■^ x'i.

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Pour que la Iransformation considérée résulte d'une simple

combinaison d'homothélies, de déplacements et de symétries, il

e y I MM' . , , ,. ,• •

laudra que le rapport -^^ soit constant, c est-a-dire que 1 on ait,

comme conséquence des formules de substitution,

h étant une constante qui sera nécessairement différente de l'unité quand la Iransformation comprendra une homolhétie. On obtiendrait des relations équivalentes en exprimant que le plan de l'infini se correspond à lui-même.

LES COORDONNEES PENTASPHERIQUES.

255. Nous terminerons cette partie élémentaire de notre étude en montrant comment les formules précédentes permettent de résoudre les problèmes les plus difficiles de la géométrie de la sphère. Envisageons, par exemple, le problème suivant :

Trouver une sphère coupant quatre sphères données sous des angles donnés.

Soient ak^ b/t, Ca, c/^^ (A" = i , ■^, ..., 6) les coordonnées respectives des quatre sphères données; soient, de même, nit, ...,m^, les coordonnées de la sphère cherchée, qui doit couper les sphères données sous des angles donnés V,, V2, V3, V4. La formule (58) nous donne immédiatement les conditions suivantes :

-+- rt2"Ï2-+--

. -f- a-i m,i = — ac m^ ces V, ,

nij

-+- b^mz-h.

.H- b^ni^ — — bs'ns cosV,,

nij

.-f- c^nir, — — C6WcCOsV,j,

-i- diin^-^ .

. -+- û?5 nii — ~d^m^ CCS V;, ,

auxquelles il faut joindre la relation identique (73) mf -f- m| -f-. . .-t- //i? -f- /n^ = G,

entre les coordonnées m/. Nous avons cinq relations pour déterminer les rapports mutuels des quantités mi. Quatre de ces relations sont linéaires, la dernière est quadratique; le problème aura donc deux solutions que l'on obtiendra sans difficulté. Si l'on prend, par exemple, comme inconnue auxiliaire, le déterminant

on trouve, en élevant ce déterminant au carré et en multipliant ligne par ligne,

nti

nii .

(75) ^^ = -albtcld^,ml

cosVji CO.SV31

COSV/,!

cosVi

cosVi2 cosVi.j cosV,4 cosVi 1 COSV23 COSV24 COSV2

cosVi