COS

Sgô LIVRE V. — CHAPITRE II.

Yi/( désignant l'angle des deux sphères données de rangs i et k. On tirera de là une équalion de la forme

(76) \=±DmG,

qui sera du premier degré et qui, jointe aux relations (72), déterminera les rapports mutuels des six inconnues nii.

2o6. Pour obtenir les constructions géométriques, nous nous appuierons sur les remarques suivantes : Toute relation linéaire

entre les six coordonnées m^ d'une sphère exprime que cette sphère coupe une sphère fixe sous un angle constant.

11 suffît de comparer la relation précédente à la formule (58). Si l'on considère la sphère définie par l'équation

et dont la sixième coordonnée est, par conséquent,

(79) a,; = ty/Af -t- A I -f- XI ^- AJ -H A I,

la relation (77) exprime que la sphère variable coupe la sphère précédente sous un angle V défini parla formule

(Ho) Ac = «G cosV.

On voit que l'angle V est droit lorsque Ac est nul, c'est-à-dire lorsque m^ ne figure pas dans la relation linéaire.

D'après cela, considérons d'abord une sphère variable (S) assujettie à couper sous des angles donnés deux sphères fixes (A) et(B).

Si les équations de ces sphères sont

(81) \^ a/,x/,: = 0, ^ ù/,cr/, = o,

LES COORDONNÉES PENTASPHÉRIQUES. 897

es coordonnées nik de (S) satisferont à deux équations

( 82 ) 5j "'' "^'' + ^"^6=0, ^ ^/, mi, -f- [3 mo = o,

OÙ aet j3 seront des constantes. Ces constantes sont d'ailleurs liées aux sixièmes coordonnées des sphères (Al) et (B) par les relations

(83) a = a6CosVi, p=6oCOsV2,

V, et V2 étant les angles sous lesquels les sphères (A) et (B) sont coupées par la sphère variable.

Combinons linéairement les deux relations (8•^). Nous aurons une nouvelle relation linéaire

(84) V (a/,+ >,6/,)/?iA.-+-mG(a-+-Xp) = o,

dont l'interprétation est évidente. Elle exprime que la sphère variable coupe, sous un angle constant, toute sphère définie par l'équalion

c'est-à-dire toute sphère passant par Tintersection de (A) et de (B). Ainsi, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Lorsqu'une sphère variable est assujettie à couper deux sphères fixes sous un angle constant^ elle coupe aussi sous un angle constant toute sphère passant par V intersection de ces sphères fixes.

Et comme l'on peut disposer de \ de manière à faire disparaître le terme en /ne dans l'équalion (84), nous pouvons ajouter le résultat suivant :

Parmi les sphères passant par V intersection des sphères fixes^i il y en a toujours une qui est coupée à angle droit par la sphère variable.

On peut remarquer encore que la sphère variable est assujettie à demeurer tangente aux deux sphères qui passent par l'intersection

398 LIVIU: V. — CHAPITRE II.

des sphères fixes pour lesquelles À est déterminé par l'équa-

lion

(80) ^((//.-hlbA.y-^('jL-^l^^f=o.

La proposition précédente s'étend immédiatement au cas où une sphère variable est assujettie à couper trois sphères fixes (A), (B), (C), sous des angles donnés et doit satisfaire, par conséquent, à trois relations telles que

(87) ^ «/, w/. -+-am6= o, ^ è/,m/,-f- ^mc= o, \^ CAm/t + y'^e = o.

En répétant le raisonnement précédent, on voit que la sphère Nariable doit couper sous un angle constant toute sphère définie par l'équation

(88) \ (a/,-(- lù/,-h [JLC/,).r/,= o,

c'est-à-dire toute sphère passanlpar l'intersection des trois sphères fixes. Cet angle sera droit pour toutes les sphères, déterminées par l'équation (88), pour lesquelles A et ij. seront liés par la relation

(89) a -+- Xp + ;ay = o,

et qui auront, par conséquent, même plan radical. La sphère variable sera, de même, tangente à toutes les sphères pour lesquelles A et \x satisferont à l'équation

(9") 2(«/.H-À6/,-+- [jic/,)2+(a -t-X^-f- ^.1-)"= o.

Les propositions précédentes vont nous permettre, comme nous l'avons annoncé, de donner la solution géométrique du problème proposé. Nous nous appuierons, pour les appliquer, sur la considération des cas particuliers où les sphères variables se réduisent à des plans.

257. Etant donnée une sphère (A) de rayon R, les plans qui la

LES COORDONNEKS PENTASI'HEUIQL'ES. Sg;)

coupent sous un angle donné V enveloppent évidemment une sphère concentrique dont le rayon /• est donné par la formule

{91) r = R cos V.

D'après cela, étant données deux sphères (A,) et (A.2), les plans qui les coupent respectivement sous des angles V, et Va sont tanj;ents à deux sphères (A'j) et (-A-j) concentriques à (A,) et à (A2). Ils vont donc passer par le centre de similitude Gja de (A',) et(Aj). Piéciproquement, tout plan passant par G)2 et tangent à (A'j coupera les sphères (A|) et (A2) sous les angles prescrits. Il résulte d'ailleurs de l'expression (91) de r donnée plus haut que tout plan passant par G, 2 et non tangent à (Aj) coupera les sphères (A,), (A2) sous des angles dont les cosinus seront proportionnels à cosV), cos V2. Gar le centre de similitude G, 2 demeure le même lorsque cosV,, COSV2 sont augmentés dans le même rapport. Nous ferons usage de cette remarque.

Le point G|2 est toujours réel, mais le cône ayant ce point pour sommet et tangent à (A',), (A^) ne l'est pas nécessairement.

258. Revenons maintenant au problème que nous avons en vue, el cherchons les sphères qui coupent sous des angles V,, V2, Va etV, les sphères données (A,), (A2), (A3), (A,,), SI nous nous reportons aux équations (72), nous verrons que toutes les sphères (S) définies par l'équation

où X, jjL, V, p sont des arbitraires liées par la relation

(g'j) XagCOsVi 4- \i.b^ cosVa-t- vce cosVj-i- pc^o cos ¥4= o,

seront coupées orthogonalement par les sphères cherchées. Réci- [)roquemenL, en vertu de la relation [)récédente, toute sphère coupant orthogonalement les dilTérentes sphères (S) coupera les sphères (A,) sous des angles V^ dont les cosinus seront proportionnels à ceux des angles prescrits V/. Examinons la suite des sphères (S).

¥.n vertu de la relation (9.^; entre les paramètres A, jjl, v, p, ces sphères passent par deux points, réels ou imaginaires; et comme.

d'après leur équation, elles coupent à angle droit la sphère (B) qui est orthogonale aux quatre sphères (A/), leur axe radical ira passer par le centre O de (B), et leurs deux points communs, réels ou imaginaires, seront conjugués par rapport à (B). Ainsi, la suite dessphères (S) peut être définie comme formée de toutes celles dont les centres sont dans un plan (P) nécessairement réel et qui sont orthogonales à (B),

Parmi toutes ces sphères (S), une infinité se réduiront à des points; ce sont celles dont les centres sont sur le cercle (C) d'intersection de la sphère (B) et du plan (P).

Par conséquent, toutes les sphères (S') orthogonales aux sphères (S) passeront par le cercle (G); elles couperont les quatre sphères (A,) sous des angles dont les cosinus seront proportionnels à ceux des angles prescrits; et c'est parmi ces sphères (S') qu'il faudra chercher la solution, qui sera ainsi ramenée à celle du problème suivant: Mener par le cercleiOi) une sphère coupantsous Cangle prescrit une des sphères (A^•), choisie arbitrairement. Examinons comment on effectuera toutes ces constructions.

D'abord, pour déterminer le plan (P), on choisira deux quelconques des sphères (A/) et, pour chacune d'elles, on déterminera la sphère concentrique (A^. ) enveloppe des plans qui coupent (A/) sous l'angle Vj. Le centre de similitude de G/y de deux quelconques de ces sphères (A'), (A'j) sera le centre d'une des sphères (S'), celle qui passe par l'intersection de (A,) et de (Ay). Donc il appartiendra au plan (P). Ge plan sera donc bien déterminé par la condition de contenir les points G/y, et il sera toujours réel.

Ayant le plan (P), nous aurons le cercle (G), qui est l'intersection par ce plan de la sphère orthogonale aux quatre sphères (A/), et il restera à mener, par ce cercle (G), une sphère coupant l'une des sphères (A/) sous l'angle qui aura été prescrit pour cette sphère. 11 y a lieu de distinguer deux cas.

Si le cercle (G) est réel, faisons une inversion dont le pôle sera sur (G); ce cercle sera transformé en une ligne droite par laquelle devront passer les transformées des sphères (S'), qui deviendront des plans. Nous aurons à faire passer par cette droite un plan coupant sous l'angle prescrit la transformée d'une des sphères (A/). Gela ne présentera aucune difficulté, le plan devant être tangent à une sphère conceniriqué à cette transformée.

Supposons, au contraire, que le cercle (G) soit imaginaire. Alors,

LES COORDONNÉES PENTASPHÉRIQUES. 4PÏ

les sphères de rayon nul passant par ce cercle auront des centres réels c, c' . Et si l'on fait une inversion dont le pôle soit un de ces points, les splières (S') qui devaient passer par (G) se transformeront en sphères concentriques ayant pour centre commun le transformé de l'autre point. On sera ramené au problème suivant :

Déterminer, parmi des sphères concentriques^ celles qui coupent sous un angle donné une sphère donnée.

La solution ne présente aucune difficulté; car, si l'on considère le triangle foimé par les centres connus de la sphère donnée et de la sphère cherchée et par un de leurs points communs, on connaît dans ce trianj;le deux côtés et l'angle o[)posé à l'un d'eux.

259. On pounait imaginer beaucoup d'autres constructions du problème final que nous venons de résoudre. Nous préférons insister sur le cas particulier où l'un au moins des angles V/ serait nul et où les sphères cherchées devraient, par conséquent, être tangentes à une des sphères (A/), à (Ai) par exemple.

Dans ce cas il faut chercher parmi les sphères (S') passant par (C) celles qui sont tangentes à (A.,). Les sphères (S') coupent (A<) suivant un cercle dont le plan est assujetti à passer par une droite d <lu !>liti (P), celle (pii est l'axe radical commun aux sphères (S'; et à lu sphère (A|). Cette droite se construit sans difficulté; elle est dans le plan radical de (A,) et de l'une quelconque des sihères (S'). I^orsqu'on l'aura obtenue, il suffira de mener par »lle d<*s plans tangents à (A,); les points de contact seront ceux des deux sphères qui donnent la solution du problème.

La droiie d' qui joint ces points de contact est la polaire de d par rapport à (A,); elle contient donc le pôle p du plan (P) par rapport à (A,). Il est facile de voir qu'elle passe aussi par le centre radical Odes quatre sphères données (A/). En effet, la sphère (A,) étant orthogonale à la sphère (B), le plan polaire du centre Ode(B) par rapport à ( A, ) est le plan radical de ( B) et de (A,). Or ce plan radical va pa>ser par la droite <i, puisque (B) est une des Sjihères qui contient enl le cercle (C).

On aura donc les points de contact des deux sphères cherchées D. a6

avec la sphère (A() en joignant le centre radical O au pôle de (P) par rapport à (A, ).

Dans le cas où les sphères cherchées doivent être tangentes aux quatre sphères (Aj), (P) devient un plan de similitude des quatre sphères, et l'on retrouve la solution de Gergonne. Mais celle que nous avons donnée en premier lieu est moins souvent en défaut que celle de Gergonne et peut la remplacer avec avantage dans beaucoup de cas.

260. Il ne sera pas inutile, en terminant, de remarquer que les constructions précédentes donnent implicitement la solution du problème suivant :

Déterminer une sphère coupant cinq sphères données sous des angles égaux ou, plus généralement, sous des angles dont les cosinus soient proportionnels à des nombres donnés.

Soient, en effet, (A(), (Aa), ..., (A;,) les cinq sjdières données. Nous avons vu que, pour deux quelconques d'entre elles, (A,) et (A2) par exemple, on saura construire la splière (S), passant par l'intersection de (A,) et de (A2),que devra couper à angle droit la sphère cherchée. En combinant (A,) successivement avec les quatre autres sphères (A/), on obtiendra quatre sphères (S) que la sphère cherchée devra couper à angle droit. Cette condition la détermine, en général, et permet de la construire. Mais il pourra arriver que le problème soit indéterminé (').

261. Après avoir montré comment l'emploi des coordonnées pentasphériques permet d'aborder et de résoudre ces problèmes relatifs aux sphères qui ont fait, depuis l'Antiquité, l'objet de tant de recherches, nous terminerons en donnant quelques formules qui s'appliquent à des surfaces quelconques.

Si nous considérons deux déplacements à partir d'un même point, définis par les caractéristiques d, 0, les dx/(, ^Xk devront

(') Pour plus de déUils sur ces (juestions, le lecteur pourra consulter le Mémoire de l'Auteur Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de sphères dans le plan et dans l'espace, inséré dans les Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, 2" série, t. I, 1872.

LES COORDONNÉES PENTASPHÉRIQUES. ^o3

satisfaire uniquement aux équations

{ 94 ) ^ ^k dxk =0, S X]^ oxk = o,

et la formule (47)7 qui nous donne l'angle des deux directions dans lesquelles on s'est déplacé, nous montre que la condition nécessaire et suffisante pour qu'elles soient rectangulaires est exprimée par l'équation

(95) I.dxh8x/, = o.

D'après cela, considérons une équation quelconque

(96) tfiXi, X^, X3, X,,, x~^) = 0,

définissant une surface. Nous aurons, pour tout déplacement sur cette surface,

-r-^ dXf^ = O.

OX/c

Si l'on pose

les ùxm définiront un déplacement pourvu qu'ils vérifient l'identité

2 a7A' S:r^. = X S x/,- —^ = o, àx/,-

ce qui arrivera toujours si l'équation de la surface est homogène, comme nous le supposerons. Le déplacement correspondant à la caractéristique 8 satisfera donc toujours à la condition d'orthogonalité

( y8 ) S dx/,- 8x/c = o.

11 se fera par conséquent suivant la normale à la surface.

Supposons maintenant que la caractéristique d s'applique à un déplacement s'effectuant, non plus sur la surface, mais dans une direction quelconque. Si l'on porte les valeurs de ùXfs définies par les formules (97) dans les équations (46), (4"), on aura

, do

(100 ) ds \/^'■s cos (<:/*, N ) =

4o4 LIVRE V. — CHAPITRE II. — LES COORDONNÉES PENTASPIIÉRIQUES.

Aîp désignant l'expression

<■<") "f-^liÂ'

\àxk/

et {ds, N) l'angle que fait la direction du déplacement avec la normale à la surface. Si cet angle devient nul, on a

Telle est l'expression de ce que Lamé appelait le premier paramètre différentiel.

La formule (47) montre également que l'angle de deux surfaces représentées par les équations homogènes

(io3) cp(ari,a72, iPsî ^/f, ^5) = Oî J'C^i, '^2, ^3, ^i, ■2^5) = o,

c'est-à-dire l'angle de leurs normales au point commun, est défini par la formule

A(9, J;) (io4) cos(cp, <];)= I ■;

OÙ A(o, «1^) désigne l'expression

11 est inutile de faire remarquer l'analogie de cette relation avec celle qui se rapporte aux coordonnées rectangulaires.

11 suit de là que la condition pour que les deux surfaces représentées par les équaiions (io3) se coupent à angle droit en un de leurs points est que la condition

soit vérifiée en ce point.

La cyclide de Dupin. — Définition des cyclides les plus générales; celles du quatrième ordre ont le cercle de l'infini comme ligne double; celles du troisième ordre passent simplement parce cercle. — Rapports avec la théorie des surfaces générales du troisième ordre et des surfaces du quatrième ordre à conique double. Toute cyclide ayant un point double à distance finie est l'inverse ou la podaire d'une quadrique. — Sections planes et sphériques d'une cyclide. — Recherche des sections circulaires et des sphères doublement tangentes. — Cyclides du quatrième ordre, équation réduite; cyclides du troisième ordre, deux méthodes. — Résultats généraux; il y a cinq séries de sections circulaires; leur génération. — Plans tangents doubles. — Surfaces anallagmatiques de Moutard. — Étude d'une famille de quadriques inscrites dans une cyclide du quatrième ordre. — Des quadriques qui coupent la cyclide suivant deux biquadratiques sphériques. — Ce que deviennent ces quadriques lorsque la cyclide se réduit au troisième degré. — Propriétés diverses relatives aux inversions quadriques qm conservent la surface cubique la plus générale.

262. Après avoir défini les coordonnées pentasphériques et indiqué comment on peut les employer dans la Géométrie de la sphère, nous nous proposons de les appliquer à l'étude d'une classe remarquable de surfaces du troisième et du quatrième ordre.

Si l'on considère les deux coniques définies respectivement par les équations

el

où nous supposerons 6'-<rt-, la première de ces courbes sera une ellipse, la seconde une hyperbole, et l'on vérifiera aisément qu'elles .sont des lignes doubles d'une développable isotrope. Par conséquent, suivant notre définition des focales (n*'239), chacune de ces courbes sera la focale de Vautre.

4o6 LIVRE V. — CHAPITRE III.

Si ^,JK, o sont les coordonnées d'un point M pris sur la première etx', o, ;^', celles d'un poinlM'pris sur la seconde, on aura

(3) MM'^ == (if — a7')2-+-y2 4-5'2 = (Icc— -x'

Si donc on prend une sphère (S) dont le centre sera en M sur

l'ellipse et dont le rayon sera — x -^ k, k désignant une constante

quelconque, puis une sphère (S') ayant son centre en M' sur

l'hyperbole et dont le rayon sera - x' + k^ les deux sphères (S)

et(S')seront constamment tangentes, puisque la distance MM' de leurs centres est égale à la différence de leurs rayons. Ainsi, Von aura constitué deux familles de sphères telles que toute sphère de l'une des familles sera tangente à toute sphère de Vautre famille. 11 suit de là que les sphères des deux familles auront la même enveloppe. C'est ce que l'on peut vérifier aisément. L'équation d'une sphère de la première famille peut se mettre sous la forme

(4) X2+Y2+Z2— 237 ('X -+-—') — 2YjK+a-— C2— /.•2=0,

et un calcul facile conduit à l'équation de son enveloppe, qui est

(5) (X2-+-Y2-f-Z2-Ha2 c2 A-2)2— 4a2/'x-i-— V— 4(«-— c2)Y^ = o.

Si l'on avait pris la seconde famille, on aurait obtenu la même équation sous la forme équivalente

La surface représentée par l'une ou l'autre des équations précédentes avait été rencontrée par Dupin dans l'étude d'une belle question de Géométrie infinitésimale : la détermination de la surface dont toutes les lignes de courbure sont circulaires. L'illustre géomètre lui avait donné le nom de cyclide. Pour la distinguer des surfaces plus générales que nous allons étudier et pour rendre hommage à celui qui, If premier, l'a fait connaître, nous l'appellerons la cyclide de Dupin.

263. FiCs surfaces plus générales que nous voulons étudier, et auxquelles nous donnerons le nom de cyclides^ ou de cycLides générales quand il y aura lieu de distinguer, sont celles qui sont définies en coordonnées rectangulaires par l'équation

où cpoi f 15 92 désignent des fonctions de x^ y, z, d'un degré égal à leur indice. On peut même supposer, sans diminuer la généralité, que cp, ne contient pas le terme indépendant de ^, JK, -s; et, par suite, Féqualion ne renferme que i3 constantes arbitraires. Elle comprend l'équation (5) comme cas très particulier.

Si Oq n'est pas nul, elle est du quatrième ordre et elle définit des surfaces du quatrième ordre, ayant le cercle de Cinjini comme II g ne double. On le reconnaît immédiatement en la rendant homogène, ce qui lui donne la forme

tfo(ar2 + jK2-h;3 2)2-+- i^ct,(a7, jK, z){x''--\- y"--^ z"^) -^ t''":f^(^x, y, z, t) = o.

On peut même affirmer que l'on obtient ainsi la surface la plus générale de cette définition.

Si cpo est nul, le facteur tesl en évidence. En le supprimant, on obtient la surface la plus générale du troisième ordre contenant le cercle de l'infini. Comme une conique indécomposable peut toujours, par une homograpliie, être transformée dans le cercle de l'infini, toutes les propriétés que nous établirons dans cette étude des cyclides du quatrième et du troisième ordre pourront, par une transformation homograpliique, être appliquées, soit à toute surface du quatrième ordre admettant une ligne double formée par une conique indécomposable^ soit à la surface générale du troisième ordre. On peut même dire que, dans ce dernier cas, il y aura une certaine indétermination, puisqu'il suffira de transformer le cercle de l'infini en une quelconque des coniques qui appartiennent à la cubique. On sait que ces coniques forment, dans le cas général, 27 séries distinctes.

Les cyclides du quatrième ordre n'ont, en généial, aucun point double en dehors de ceux qui sont sur le cercle de l'infini; celles du troisième ordre n'ont,- en général, aucun point double. Mais, s'il arrive que l'une de ces surfaces ait un point double à distance finie, son étude se rattachera directement à celle d'une quadrique. On peut, en effet, établir la proposition suivante :

4o8 LIVRE V. — CHAPITRE III.

Toute cyclide admettant un point double à dislance finie est Vinverse d'une quadrique ou la podaire d^ une autre quadrique.

Pour le démonlrer, transportons l'origine des coordonnées au point double. L'équation de la cyclide conservera la forme

Mais ici (po sera une fonction homogène du second degré des coordonnées x^ y, z. Si donc on fait l'inversion définie par les formules

l'équation précédente se réduira à la suivante :

k'* cfo+ 2A:2 cpi-t- cp2= o,

qui représente évidemment une quadrique (Q). Gomme le plan perpendiculaire à l'extrémité de chaque ravon de \\\ cyclide enveloppe la polaire réciproque (Q') de la quadrique (Q) par rapport à la sphère principale de l'inversion employée, on peut dire aussi que la cyclide est la podaire de (Q'), et ainsi notre proposition se trouve complètement établie.

Au reste, cette proposition résulterait aussi des formules générales établies au n" 237.

Ces formules, il est bon de le remarquer, nous conduisent à cette conclusion intéressante que l'inverse d'une cyclide, dans une inversion quelconque, est encore une cyclide, qui se réduit au troisième degré si le pôle de l'inversion a été pris sur la surface primitive. Cette remarque expliquera la concordance que nous constaterons plus tard entre certains résultats relatifs aux cyclides du troisième et du quatrième ordre, notamment en ce qui concerne les seclions circulaires.

264. On ne saurait séparer l'étude des cyclides de celle de leurs sections planes, qui sont, ou bien des courbes du quatrième ordre ayant pour points doubles les points à l'infini sur le cercle, des quartiques bicirculaires comme les appellent les géomètres anglais, Ou bien des courbes du troisième ordre passant par les

mêmes poinls à l'infini, c'est-à-dire des cubiques circulaires. Les méthodes que nous emploierons pour traiter les cjclides s'appliquent d'elles-mêmes à ces courbes planes. En particulier, celles qui ont un point double à distance finie sont des réciproques ondes podaires de coniques. C'est ce qui a lieu pour les sections des cyclides par leurs plans tangents, qui ont un point double au point de contact. Celles qui ont deux poinls doubles sont des réciproques de coniques ayant un point double, c'est-à-dire les rééiproques d'un couple de droites. Elles se réduisent donc à un couple de cercles.

On peut énoncer des propositions analogues relatives aux sections sphériques des cyclides. Si nous coupons la surface par la sphère dont l'équation est

(8) a72-i- j^-His^^ P,

P désignant un polynôme du premier degré, on pourra remplacer l'équation (^) de la surface par la suivante :

(8)' 'foP2-H 'iOiP-l- 552= O,

qui représente une quadrique. Ainsi,

La section de toute cyclide par une sphère se trouve sur une quadrique.

Dans la suite nous appellerons, avec Laguerre, biquadratiques sphériques les courbes qui forment l'intersection d'une sphère et (l'une quadrique. Toute section de la cyclide par une sphère est donc une biquadratique .

Quand la sphère est tangente à la cyclide, la section acquiert un point double au point de contact; et, d'après sa propriété fondamentale, elle est l'intersection de la sphère par un cône du second degré qui a son sommet au point de contact. Toute inversion ayant son pôle en ce point la transformera donc en une conique. 11 suit de là, comme pour les sections planes, que, si une sphère touche la cyclide en deux points, la section de la cyclide par cette sphère sera l'inverse d'une conique a^ant un point double, c'està-dire d'un couple de droites. Cette section se composera donc de deux cercles.

Réciproquement, si un cercle se trouve sur la surface, le j)lan

4lO LIVRE V. — CHAPITRE III.

de ce cercle et toute sphère passant par ce cercle doivent couper la cyclide suivant un autre cercle, et, par conséquent, être tangents à cette surface en deux points.

263. Il suit de là que l'on obtiendra tous les cercles de la surface en cherchant les sphères qui sont tangentes à la cjclide en deux points à distance finie ('). Toutes ces sphères couperont la cj'clide suivant deux cercles, et les plans tangents doubles pourront être obtenus comme limites de ces sphères. Tout se réduira donc à exprimer qu'il passe, par l'intersection d'une sphère sécante, définie par l'équation (8), et de la quadrique définie par l'équation (8)', une autre quadrique se réduisant à un système de deux plans.

Pour faire le calcul de la manière la plus simple, nous remarquerons que l'on peut, en choisissant des axes convenables, diminuer beaucoup le nombre des coefficients arbitraires qui entrent dans l'équation de la cjclide.

Supposons d'abord qu'elle soit du quatrième ordre et soit

son équation, où co, a pour expression

cpi = ttx H- ^y -f- Y^.

L'équation pourra s'écrire

et, en transportant les axes parallèlement à eux-mêmes, on pourra évidemment lui donner la forme

(10) (;r2+ jK'--l--2)2+^2=o,

t|>2 étant un polynôme quelconque du second degré. Si, sans changer l'origine, on prend maintenant des axes coordonnés parallèles aux axes de symétrie de la quadrique représentée par l'équation

(') On examinera plus loin le cas où ces deux points seraient sur une même 2[énératrice rectiiigne de la sphère.

LES CYCLIDES EN COORDONNÉES CARTÉSIENNES. 4ll

les rectangles disparaîtront de l'expression de ^2 et l'équation de la cjclide prendra la forme suivante :

(11) (a-2+y2)~2)2 t 4Aa?2-|-4A'j2, 4A"^2

+8Ca?-+-8G> + 8G"2-}-4D = 0,

qui nous servira de point de départ.

Coupons la surface par la sphère (S), dont l'équation est

(12) S = x^ -i- y- -+- z^ — 2P = o, P ayant l'expression suivante :

(i3) P = aa7H-PjK-i-Y- + 5;

a, p, y seront les coordonnées du centre de la sphère, et la courbe d'intersection pourra être représentée par les deux équations

( P2^ A:r2+A'v2 + A"^2^2C,r+2G'r-4-2C"zH-D ==0, ( x^ -\- y^ -i- z- — 'j.P = o.

Si l'on veut que la sphère (S) coupe la cjclide suivant deux cercles, il faudra exprimer que l'une des quadriques représentées par l'équation

(r5) P2+Aa;2-+- A>2+A"s2

-r-2Gar + 2C>-i-2C"- + D — \(x^-^y^-hz'^—2P} = o,

où X désigne un paramètre arbitraire, se réduit à deux plans.

Par un calcul très simple, qu'il est inutile de reproduire, on obtient les trois équations de condition suivantes :

a2 32 yî

La première, dont nous avons désigné, pour abréger, le premier membre par fÇ^), ne contient que l'inconnue X, et elle détermine cinq valeurs pour cette inconnue. 11 suit de là que les sphères doublement tangentes à la surface se partagent en cinq séries distinctes.

Quand X a été choisi, la deuxième équation devient une relation entre a, ^, y. C'est donc, si l'on y regarde a, [î,y comme variables, l'équation du lieu des centres des sphères doublement tangentes. Nous voyons que les sphères de chaque série ont Leurs centres sur une quadrique^ et la forme de l'équation (i'^) nous montre que les cinq quadriques correspondantes aux cinq valeurs de \ sont homofocalcs.

Enfin, la troisième équation (i8) fera connaître o, c'est-à-dire le rayon de chacune des sphères doublement tangentes, quand le centre aura été choisi. L'équation de cette sphère se présentera sous la forme

où \ et a, j3, y vérifieront les relations (16) et (17). Comme cette équation de la sphère doublement tangente contient a, p, y au premier degré, on reconnaît immédiatement que toutes les sphères doublement tangentes dUine même série auront même centre radical.

Les coordonnées de ce centre sont

et sa puissance par rapport à l'une quelconque des sphères a pour expression

La sphère décrite du centre radical comme centre avec le rayon y — f'Q^) coupe donc à angle droit toutes les sphères doublement tangentes à la cyclide qui font partie de la série con^dérée. L'équation de cette sphère est

2 G a? -xC y ■?.€." z ^

Remarquons de plus que le rayon y/ — f'Çf^) de cette sphère n'est nul que si ), est une racine multiple de l'équaiion (16). Dans

LES CYCLIDES EN COORDONNÉES CARTÉSIENNES. 4l3

ce cas particulier, toutes les sphères doublement tangentes à la cyclide qui font partie de la série considérée passent par un point fixe, le centre radical déterminé par les équations (20).

De même que les quadriques lieux des centres des sphères bitangentes sont homof'ocales, de même les cinq sphères représentées par l'équation (22), où l'on remplace A par les cinq racines de l'équation (16), sont orthogonales.

Il résulte de ce qui précède la belle proposition suivante, qui est due à Moutard :

Une cyclide du quatrième ordre peut, en général, être considérée, de cinq manières différentes, comme Venveloppe d'une série de sphères qui coupent à angle droit une sphère fixe et dont les centres décrivent une quadrique fixe.

Comme il n'y a aucune relation particulière entre la quadrique et la sphère qui figurent dans la génération précédente, on peut dire que, réciproquement, l'enveloppe des sphères qui ont leurs centres sur une quadrique à centre unique et coupent à angle droit une sphère fixe quelconque est une cjclide du quatrième ordre. C'est ce que permettrait, d'ailleurs, de vérifier un calcul direct.

266. Examinons maintenant le cas où la cvclide est du troisième degré.

On verra aisément que, par un choix convenable des axes coordonnées, son équation peut être ramenée à la forme suivante :

(.^.3) ~(a:2 t j2 j^2)^ Aarî-H A'j2+2G.rH- 2G>-f- iC'^-hD = 0,

que nous emploierons dans la suite.

Si l'on coupe la surface par la sphère dont l'équation est

on voit que la courbe d'intersection se trouve aussi sur la quadrique

(?.5) — 22(aa: -+- P^ -+-" Y-^ ~t~ ^)

H- A 372-1- A'72-H2Ca7-+- ■iC'j-f-aC^-t-D = o.

C'est donc une bi(|uadrique sphérique. Il suit de là que, si la

4l4 LIVRE V. — CHAPITRE III.

cyclide contient un cercle, tonte sphère passant par ce cercle coupera la surface suivant un autre cercle. On sera donc assuré d'obtenir toutes les sections circulaires de la cjclide en exprimant que la courbe définie par les équations (24), (aS) se décompose en deux cercles, c'est-à-dire qu'il passe un système de deux plans par l'intersection des quadriques que définissent ces deux équations.

L'équation générale des quadriques qui passent par cette intersection est, comme on sait,

{26) (A — l)x^-+- (A'— >.)jK*— (2Y + X)z2— 2^7^ — -zaxz

-t-2(G-HXa)^H-2(C'-i-X,3)jK-4--i(G"-+-XY — 0)3-4- D -+- 2X0 = o,

À désignant un paramètre variable. Il faut exprimer que l'on pourra disposer de ce paramètre de telle manière que l'équation précédente représente deux plans. Pour cela, on devra exprimer que les quatre équations

( A — X).r — az + G -t- Xa = o, (A'— X)jk — [iz + G'-^ Xp = o,

— (X -{- 2y)z — <^y — ax -{- G"-i- Xy — 0 = 0,

(G4-Xa)^ + (G'-HXp)jK-t-(C''+XY — 0)3+ D-f-2Xo = 0

représentent une ligne droite et se réduisent à deux. Jl faudra donc qu'en tirant des deux premières les valeurs de x,y et portant ces deux valeurs dans les deux autres, celles-ci soient vérifiées identiquement.

On est ainsi conduit aux trois équations suivantes :

(27) X3-2G"X-D-^^-5-^=/(Xj = o,

(29) °=G-Xy-X--^— ^-^— ^,

qui sont à la fois nécessaires et suffisantes.

La première détermine X, qui doit ainsi être racine d'une équation du cinquième degré. Ici encore, il y aura donc cinq séries de sections circulaires.

La seconde (28) nous montre que, dans chacune des cinq séries, le centre de la sphère décrira un paraboloïde et que les

LES CYCLIDES EX COORDONNÉES CARTÉSIENNES. 4l5

paraboloïdes correspondants aux cinq séries différentes sont homo focaux.

La troisième (29) nous fait connaître 0. Si l'on porte cette valeur de 3 dans l'équation de la sphère bitangente, on trouve qu'elle devient

{3o; x"- -\- y'- ^ z''- — l'xix —

La forme linéaire de cette équation nous montre que le point de coordonnées

aura même puissance par rnpport à toutes les sphères d'une même série, cette puissance étant

Et, par conséquent, toutes ces sphères bitangentes seront orthogonales à la sphère fixe dont V équation est

On verra aisément que les cinq sphères qui correspondent aux cinq racines K sont, deux à deux, orthogonales.

En résumé, dans chaque mode de génération, le centre de la sphère bitangente doit décrire le paraboloïde défini par V équation (28) oii \ est une des racines de inéquation (27), et son rayon doit être tel qiCelle soit orthogonale à la sphère fixe définie par V équation (32).

Les cinq sphères fixes qui correspondent aux cinq racines de V équation [i~) sont, deux à deux, orthogonales.

On vérifiera aisément qu'ici leurs centres sont sur la cyclide.

267. On peut se placer à un autre point de vue pour déterminer les sections circulaires de la cyclide du troisième degré.

Il est évileiit (jue, s'il existe un cercle sur la surface, le plan de ce cercle la coupera aussi suivant une droite qui ne devra pas

4l6 LIVRE V. — CHAPITRE III,

rencoatrei- le cercle de l'infini. Nous sommes donc conduits à rechercher les droites de la cyclide qui ne rencontrent pas le cercle de l'infini; elles devront couper, par conséquent, la droite (A) qui, avec ce cercle, complète l'intersection de la surface par le plan de l'infini.

On voit tout de suite, sur l'équation (28) de la cjclide, que cette droite (A) est l'intersection commune de tous les plans parallèles au plan des xy. Nous aurons donc à rechercher les droites (D) de la surface qui sont |)arallèles à ce plan.

Les plans parallèles au plan des xy coupent la cubique à distance finie, suivant la conique représentée par l'équation

{k. — z)x^ -\- {k! — z) y"- -^ ■iQ.x ^ iQJ y ^ 1QI' z -^ \y — z^ = o;

il faudra donc exprimer que cette conique se décompose en deux droites. Comme l'équation précédente peut s'écrire

^— >[— d:bv]'-<^'-->[-^-i:^]'-/(-^=<"

/(5) ayant la signification définie par l'équation (ai^), il faudra que l'on ait

Ainsi, dans la nouvelle méthode, on retrouve la même équation du cinquième degré que dans la première.

Toutes les fois que z satisfera à l'équation précédente, le plan qui lui correspond contiendra les deux droites (D'), (D") qui sont définies par les équations

Leur point d'intersection M a pour coordonnées

où X est une des racines de l'équation

On voit donc qu'il est identique à celui que nous avons obtenu

dans noire première méthode el dont l«;s coordonnées sont données par les équations (3i ).

Le point M nous apparaît ici comme le point de contact avec la cyclide de l'un des (;inq plans qui passent par la droite (A) et coupent la surface suivant deux autres droites. Ces plans sont tfilangents^ el M est celui de leurs points de contact qui est à distance finie.

Cela posé, envisageons deux plans quelconques (cj), (tu") passant respectivement parles deux droites (D'), (D"). Nous savons qu'en laissant de côté ces deux droites, ils couperont la cyclide suivant deux cercles (C), (C'). 11 est aisé de montrer que ces deux cercles seront toujours sur une même sphère et que le point M aura même puissance parra[)port à toutes les sphères ainsi obtenues.

En effet, les deux plans (nr'), (rs") se coupent suivant une droite d (jui, en dehors du point M, contient deux points jjt., jjl' de la cyclide. Or, ces deux points appartiennent à la fois aux deux cercles (G), (G') et, par conséquent, les deux cercles appartiennent à une même sphère (S). D'autre [)art, la |)uissance Mij-Mpi' du point M sera la même, soit qu'on la prenne par ra|)port à (S), soit qu'on la prenne par rapport aux cercles (C), (G"). Gomme ces deux cercles ont été choisis arbitrairement parmi ceux dont les plans passent par (D') et (D"), on voit que celle puissance sera constante, et l'on retrouve le mode de génération précédent. Toutes les tangentes menées de M aux cercles (G'), (G") seront égales, et leurs points de contact engendreront la sphère fixe (S) qui est orthogonale aux cercles (C), (G) el aux sphères (2) qui les contiennent. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Si Von considère V an (fuelconque des cinq plans tritangents qui passent par la droite {^)^ il existe une sphère qui a pour centre le point M de contact de ce plan tritangent situé à distance finie et qui contient la courbe de contact du cône de sommet M circonscrit à la cyclide. Les cercles des deux séries qui se rattachent à ce plan tritangent sont orthogonaux à cette sphère.

Nous reviendrons sur ce théorème à la iin de ce Chapitre. En résumé, on retrouve les mêmes modes de génération que pour D. 27

4l8 LIVRE V. — CHAPITRE III.

les (;vciides du quatrième degré. Seulement les quadriques à centre sont remplacées par des paraboloïdes, et les plans des sections circulaires de chaque série passent par une même droite de la surface, une de celles que nous venons de déterminer.

268. Dans le cas des cj'clides du quatrième degré, les plans des sections circulaires suivent une loi moins simple. Remarquons d'abord qu'on les obtiendra aisément, et sans exception, en exprimant que les sphères doublement tangentes se réduisent à des plans. En elFet, si un cercle est sur la cjclide, toutes les sphères passant par ce cercle couperont la cjclide suivant un autre cercle; elles lui seront donc toutes doublement tangentes, et quand leur rayon deviendra infini, elles se réduiront aux plans des sections circulaires. Si nous supposons que, dans les équations (17) et ( 19J, a, [3, y deviennent infinis, leurs rapports mutuels restant finis, il nous restera les deux équations

aï pî yi

dont la seconde déterminera le plan de la section circulaire, et la première donnera la relation à laquelle doivent satisfaire les rapports mutuels de a, [3, v. Un calcul facile montre que le plan de la section circulaire enveloppera le cône défini par l'équation

Il y aura cinq cônes, correspondants aux cinq séries ou aux cinq valeurs différentes de A et, si l'on tient compte de la relation (16), leur équation pourra être écrite comme il suit :

(36) (X — A)iF2+(X — A'Xr^

H- (X — A") G'- — i Cx — 1 C'y - •> C"z -^ X2 — D = o.

269. Si l'on remplace, dans cette équation, A par les cinq racines de l'équation (16), ouobtientles (;inq cônes enveloppes des plans

LES CYCI-IDKS KN COORDONNKKS CARTKSlIi.NXES. 4 '9

tangents doubles ou des plans des sections circulaires ; mais, si l'on y attribue à A des valeurs tout à fait arbitraires, l'équation (36) représente une famille de quadriqties dont l'élude a les rapports les plus étroits avec la tbéorie des cjclides. Si l'on veut, en effet, prendre l'enveloppe de ces quadriques, il n'y aura qu'à exprimer que l'équation (36), du second degré en A, a ses racines égales, ce qui donnera les deux équations

(38; (j--2^y2-i-z-iyi^\ A.r2-f-4 A>2h-4 X"z'^-^S Gx -+- 8 G> -4- 8 C ; -h 4 D = o

dont la seconde repi'ésente la cyclide elle-même. Nous j)ouvons donc énoncer la proposition suivante :

Les quadriques l'eprésenlées par réqi/ation (^6), où 'k peut prendre toutes les valeurs possibles^ sont inscrites dans la cyclide proposée^ suivant des courbes sphérit/ues appartenant respectivement aux sphères concentriques définies par V équation (3'j). Cinq cV entre elles se réduisent à des cônes, qui sont les enveloppes des ])lans coupant la cyclide suivant des cercles.

Nous désignerons ces quadricjues sous le nom de quadriques(y). Elles font partie d'un réseau; mais ce réseau est très particulier. Il est déterminé par les trois surfaces dont les é(|ualions, où l'on a rétabli l'homogénéité, sont

r^ = o, .«2 ^- jrî -+- 22 o,

\.T-i-{- A'j2-f- \'Z'->r }.C.Xt-^ ■'i'C'yt -h iC" Z/ ::= o.

Vu li(u de passer par huit points distincts, elles passent |)ar quatre points seulement, mais, en chacun d'eux, elles sont tangentes à une droite fixe. Ces quatre points sont situés sur- le cercle de l'infini et définis par les équations

/ = o, X- -i- y- -+- z'=o, Ax--h k' y- -'- \" z- = o.

i\e sont ceux où se raccoidcnt les deux nappes de la cjclide qui passent par ce cercle; et les tangentes communes aux quadriques (V) en ces points sont celles (|ui (H)upent la cyclide en quatre points confondus.

^70. Avant de poursuivre celte étude, il est bon que nous fas-

sions remarquer que les méthodes précédenles s'appliqueraient sans modification aux courbes planes du quatrième ordre (|ui ont pour points doubles les deux points 1 et J de leur plan ou, si l'on veut, qui sont les sections planes des cyclides du quatrième ordre. Nous avons vu que les cjciides du troisième et du quatrième ordre peuvent, de cinq manières dift'érentes, être obtenues comme les enveloppes d'une famille de sphères dont les centres décrivent une quadrique pendant qu'elles coupent à angle droit une sphère fixe. On peut énoncer cetle proposition sous une autre forme en utilisant une piopriélé 1res simple des surfaces enveloppes de sphères.

Si l'on considère une famille de sphères qui dépendent de deux paramètres, chaque sphère touche l'enveloppe en deux points et la corde de contact peut être considérée comme l'axe radical de cette sphère et des sphères infiniment voisines. Quand les sphères de la famille sont assujetties à couper une sphère fixe (S) sous un angle droit, la puissance du centre de (S) par rapport à toutes les sphères de la famille est constante et égale au carré du rayon R de (S). La corde de contact de toute sphère d(! la famille va donc passer par le centre O de (S); les deux points de contact //?, m' de cette sphère avec son enveloppe sont inverses l'un de l'autre par rapport à (S) et donnent lieu à la relation

(39) Om.Om' = R2.

La surface enveloppe est donc, comme disait Moutard, anallagmatiqiie; c'est-à-dire qu'elle se reproduit par une inversion dont (S) est la sphère principale, de sorte que l'on peut énoncer la proposition suivante :

L^ enveloppe d^ une famille de sphères toutes orthogonales à une sphère fixe (S) est une surface anallagmatique dans une inversion dont (S) est la sphère principale.

Et il serait aisé d'établir la proposition réciproque. Toute surface anallagmatique peut être obtenue par le mode de génération précédent. La sphère (S) sera appelée la s\û\ere directrice ; la surface lieu des centres sera, suivant une expression proposée par de la Gournerie, la surface déférente de l'anallagmalique. Le centre de (S) sera appelé pôle principal.

Dapiès cela, les propositions que nous avons établies relative- H|inent aux cyclides du troisième et du quatrième degré recevront la forme suivante :

Toute cvclide est anallagmatique de cinq manières différentes. Dans chacun de ses modes de génération., la déférente est une quadrique, à centre si la cyclide est du quatrième ordre, dépourvue de centre si la cyclide est seulement du troisième ordre.

Si l'on mène par un des pôles principaux une droite quelconque, elle coupera donc la cyclide en quatre points qui se partageront en deux couples de points., inverses Vun de l'autre par rapport à une sphère ayant son centre au pôle principal.

Quand la cyclide est du quatrième degré, il y a une famille dequadriques (S) qui lui sont inscrites suivant des courbes situées sur des sphères concentriques. Cinq de ces quadriques se réduisent à des cônes dont les sommets sont les cinq pôles principaux.

Les méthodes précédentes s'appliquent sans modification aux i'ourbes planes du quatrième ordre qui ont pourpoints doubles les points à l'infini sur le cercle, ou aux courbes du troisième ordre qui passent par ces deux points. Si nous considérons plus particulièrement les courbes du quatrième ordre qui sont les sections planes des cjciides du quatrième ordre, nous verrons qu'elles admettent quatre pôles princi|)aux, c'est-à-dire qu'elles sont anallagmatiques par rapport à quatre inversions dont les sphères principales ont leurs centres en ces quatre pôles, qu'elles sont les cn\elo|)pcs d'uue famille de coniques, parmi lesquelles quatre se léduisent à des couples de droites ayant leurs points de concours €n un des pôles principaux. Ces propriétés nous suffiront pour ce qui va suivre.

271. Il j aurait lieu d'étudier ici les relations entre les cinq modes de génération de la cyclide. Cette étude sera reprise plus loin par d'autres méthodes. Nous poursuivrons, au contraire, l'examen des propriétés des quadriques inscrites (V), qui se présente mieux avec les coordonnées cartésiennes.

422 l.IVHK V. — CHAPITRE III.

Mais remarquons d'abord qu'il y a quatre de ces quadriques qui sont tangentes à un plan quelconque.

Si l'on exprime, en efl'et, que le plan (n) défini par l'équation

u a; -h vy -\- w z -h p = o

est langent à la quadrique (V) telle (|u'elle est définie par l'équation (36), on trouvera aisément la relation

if^

/ Gu Ci' C"(v \2

qui est de quatrième degré en A.

Considérons la section (ï) de la cjclide par le plan (II). Les quadriques (V) coupent ce plan suivant des coniques inscrites dans (2). Quatre de ces coniques se réduisent à des couples de droites; ce sont celles qui résultent de l'intersection des quadriques (V) tangentes au plan (II). D'après les propriétés des quarliques bicirculaires que nous avons signalées plus haut, nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Les quatre pôles principaux de la section (S) par le plan (P) sont les points de contact des quadriques {W) qui sont tangentes au plan (P).

Considérons maintermnt, parmi les (piadri(pies (V), celles qui sont tangentes;! une droite (D). On reconnaîtra aisément ((u'elles sont au nombre de trois. Soit O le point de contact de l'une d'elles et soient et, a', a", d" les points d'intersection de la droite (D) et de la cjclide. Le plan langent en O à la quadrique (V) contient la droite (D) et il coupe la cyclide suivant une courbe (2) dont O est un des pôles principaux. Comme «, «', a', a'" sont des points de celte section situés sur une droite passant par O, ils doivent se partager en deux couples, par exemple a, a' et a", n!" tels que l'on ait

TTâ'Oa — Oa" .Oa'".

Cette égalité nécessaire définit les trois positions que peut

prendre le point O, lorsque rt, «', «", a'" sont donnés; et l'on voit (jiie, comme on |)eut partager les points de trois manières différentes en deux couples, il y aura bien trois quadriques (V) tangentes à (D). L'équation qui les fait connaître est la résolvante de V équation du quatrième degré qui détermine les points d'' intersection de (D) et de la eyclide.

272. On peut donner |)lus de précision aux relations précédenles en raisonnant de la manière suivante :

Soit

— Aa?2— A'j2 ^" z-^ — iCx — iG y — -iC z — D = o

l'équation déjà donnée (n* 268) de l'une (juelconque des quadriques inscrites et soit

(/|'2) <\> ■= ix'^ + y"^ -\- z-)-

l'équation de la cjclide. On aura V identité

(43) cj, = (^2^^2^ -2( .,X^2 4V.

Soient ,ro, yo, ^o les coordonnées d'un point quelconque M de la quiidrique (V) et a, jS, y les cosinus directeurs d'une tangente quelconque de (V ) en ce point. Cherchons l'intersection de cette

1^^ tangente et de la cjclide.

I^P^ Les coordonnées de l'un <pielconqne de ses points seront données par les formules

où p sera la distance à M du point considéré. Kn les portant dans, l'identité ( 4^> )- ^'> aura le résultat suivant.

Puisque la sécante considérée est tangente à (V), on aura, d'après l'équation (4i)'