V -^ ( X — A ai — A' P'-i — k"X' ) p

et l'identité (4->) nous doinieni ;dors

(44 ) 4» = lp2-f-'/(aaTo-l- pJo-HYSo)?-f- J^ii ^ y\ ''r- -6 -^^ '-^'X- — 4 ( X — A a2 — A'^î • - A"y2 )p2.

On voit que l'équation du quatrième degré en p, qui définit les points d'intersection de la tangente à (V) et de la cyolide, se décompose immédiatement en deux équations du second degré. De plus, si m, m' sont les points donnés par une de ces denx équations et m", m"' les points donnés par l'autre, on a

(45) 'Om.'Ôm' = Onf. O m!" = xl^ yl^zl^-i >.,

O étant le point de contact avec la quadrique (V).

Ce résultat est bien d'accord avec les précédents. De plus, lorsque la quadrique { V^ se réduit à un cône, il donne le mode de génération de Moutard ; car alors les tangentes de (V) conq)rennent toutes les droites passant par le sommet du cône, et .v^,,y,)\ z^ sont les coordonnées de ce sommet.

^73. On peut rattacher, à la considération de la famille des quadriques inscrites (V), celle d'autres quadriques plus générales (W), qui coupent la cyclide suivant deux hiquadratiques sphériques.

Envisageons, en etlet, une quadrique (VV) inscrite dans (V). Son équation sera de la forme

Q ('tant une fonction linéaire, et l'identité (43) nous donnera, pour tous les points de W,

Ainsi, le poljnome <1> se décomposera en deux facteurs, qui donneront deux hiquadratiques sphériques de la cvclide.

Réciproquement, toute hiquadralique de la cyclide est définie par deux équations telles que les suivantes:

qui, en vertu de l'identité (4'')? donnent la relation

\ = OJ.

Ainsi, toutes les quadriques (W) qui passent par une des hiquadratiques sphériques de la surface sont bien inscrites à V une des quadriques (V).

LES CYCLIUES KN COORDONNÉES CAHTÉSIENNES. /\l5

274. Puisque les surfaces (V) sonL inscrites dans la cyclide suivant une coiirlje sphérique, leurs génératrices rectilignes sont des tangentes doubles de la surface. Il est aisé de reconnaître que Ton obtient ainsi toutes les tangentes doubles de la cyclide.

En effet, la section de la cyclide par l'un quelconque de ses plans tangents est, nous l'avons vu, la réciproque d'une conique dans une inversion dont le pôle est le point de contact. On ne peut donc lui mener de ce point de contact, qui est un point double de la section, que deux tangentes touchant la cyclide en un point différent de ce point de contact. 11 n'y a donc que deux tangentes doubles passant par un point déterminé de la surface et, comme il v a une quadrique (V) tangente à la surface en (-e point, ces tangentes doubles sont les deux génératrices rectilignes de cette quadri(|ue qui |)assent en ce point.

(^es généi'atrices rectilignes, (|ui dépendent de deux paramètres, forment un de ces ensembles que /*/«c/re/" désignait sous le nom de congriiences. Il résulte des propositions que nous avons obtenues qu'il passe quatre de ces droites par un point quelconque de l'espace et qu'il V en a huit dans un plan quelconque.

275. A côté des génératrices rectilignes des surfaces (V), il convient de considérer celles des surfaces (W). Elles sont évidemment tangentes aux surfaces (V), et leur ensemble n'est assujetti à aucune condition puisque, étant donnée une droite quelconque, il y a trois surfaces (V) qui lui sont tangentes. Elles donnent lieu néanmoins à une proposition très intéressante.

Considérons un cercle (pielconque de l'espace (G). 11 coupe la cyclide en quatre poirjts a, a' ^ 6, h' situés à distance (inie. Par ces quatre points passent une infinité de l)l(ju<idiali(jues sphériques de la cyclide: toutes (X'iles qui se trouvent sur une s^\\ère quelconque <;ontenant le cercle (G). Donc, par ces mêmes points passent une infinité de surfaces (W), distribuées en une inlinii*- de faisceaux, com|)renanl chacun l'une des sphères qui contiennent le cercle (G). Dans chacun de ces faisceaux, choisissons la quadrique (W) qui contient la droite a(t'\ elle contiendra aussi évidemment la droite bb' . Les deux droites an' ^ bb\ étant deux génératrices rectilignes d'une même surface (W), seront, l'une et l'autre, tangentes à la nit-tnc surface (V). Or. celte surface (V) est déterminée |>ar la

4*6 LIVRE V. — CHAPITHK III.

condition d'être tangente à la droite ao! . Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Considérons tous les cercles (C), en nombre doublement infini, qui passent par deux points fixes «, a' de la surface. Ils vont couper la cyclide en deux nouveaux points m, m' tels que la droite mm' demeure toujours tangente à V une des quadriques ( V) inscrites à la cyclide, choisie parmi les trois qui sont tangentes à la droite aa' .

Voici comment on déterminera d'une manière tout à fait précise la quadrique (V). Soient a", a'" les deux nouveaux points oii la droite aa' rencontre la cjclide. Lorsque le rayon des cercles (G) grandira indéfiniment, les deux points m, m' se rapprocheront de a!', a!" , et la droite mm' coupera aa' %x\ un point 1res voisin de celui O où celle-ci est louchée par la quadrique (V). V la limite, on voit que ce point O sera tel que l'on ait

et, par conséquent, on saura le déterminer et choisir entre les trois quadriques (V) qui sont langenles à la droite.

276. Les théorèmes relatifs aux (juadriques (V) et (\^ ) ne concernent que les cjclides du quatrième degré. Il ne sera pas inutile de voir ce qu'ils deviennent quand la cjclide se réduit au Iroisième degré.

Alors, elle coupe le |)lan de Tinlini suivant le cercle de l'infini et suivant une droite (A), <|ui va jouer un rôle important dans nos déductions.

Soit

l'équation générale de la cjclide du quatrième ordre. Si l'on v suppose c3o = o, la cjclide devient du troisième degré, ou plutôt elle se réduit à l'ensemble formé par le plan de l'infini et cette cyclide du troisième degr('. La section de cette cjclide par le plan de l'infini contient, non seulement le cercle de l'infini, mais la droite (A) intersection commune des plans avant pour équation

oj = const.

LES CYCMDES KM COORDONNÉES CARTÉSIENNES. 4-i7

Voyons d'abord ce que deviennent les surfaces V. Avec Téqua- Itiun {/\~)i elles seraient définies par la relation