X- — 2X| -^o(^--^- JK--+- --,) -^- ?l] + ?î — 'fo

ou À désigne un paraniclre variable. Si '^„ s'annule, cette équation

devient

Ainsi, les quadriques (V) s' aplatissent et se réduisent aux coniques de la surface dont les plans passent par la droite de P infini (A).

On pourrait le voir encore «.mi remarquant que les génératrices rectilignes des surfaces (V) sont les tangentes doubles de la cyciide. Or, (|uand la cjclide se réduit au troisième degré, elle peut être considérée comme acquérant la droite double (A); et ses tangentes doubles deviennent celles des tangentes simples de la cyclidc du troisième degré qui rencontrent la droite (A).

Quand aux surfaces (W), qui sont inscrites aux surfaces (V), elles se réduisent à des quadriques qui passent par une des coniques de la cyciide dont les plans passent par (A) et qui coupent, en outre, la cjclide suivant une biquadratique spbériqiie. Réciproquement, toute quadrique ()assant par une »|uelconque des bi([uadraliques spliériques de la cyciide sera ime surface (W); c'est-àdire qu'elle coupera en outre la cyciide suivant une des coniques Idout les plans passent par (A).

Si Ton clieiclic ce que devient le théorème démontre'' au niiiiitTo pr«''c('(l(;iil, on verra ai,s(;iiienl (pTil prend la forme suivante : Etant donnée une cyciide du troisième degré contenu n l la droite à C infini (^1)^ les cercles en nombre doublement infini qui passent par deux points fixes de la surface vont la couper en deux nouveaux points m, m' tels que la droite mm' rencontre toujours une des coniques de la surface parmi celles dont les plans passent par (A). Cette conique est celle qui va, passer par le troisième point où la droite aa' coupe la oclidr.

Nous laissons an lecteur le soin de clicrcber une démonstration directe de cette proposition dont on peut faire diverses applications.

4'^8 LIVRE V. — CHAPITRE Ht.

277. Au n°263, nous avons fait remarquer que loule cjclide du troisième ordre peut être regardée dune infinité de manières comme la transformée par l'iiomographie de la surface générale du ti'oisième ordre. Comme, par une homographie, l'inversion ordinaire se transforme dans l'inversion quadrique de Hirst (n^^Si), il suit des propriétés que nous avons établies que la cubique la plus générale se correspondra à elle-même, au moins dans cinq inversions quadriques distinctes.

Proposons-nous, d'une manière générale, âfe trouver toutes les inversions quadriques par rapport auxquelles la cubique est anallagmatique.

Il faudra évidemment que le pôle A de l'inversion cherchée soit sur la cubique. Sans cela, les droites passant par A couperaient la surface en trois points qui ne sauraient être échangés entre eux. Si l'on prend le point A pour sommet du tétraèdre de référence ou, si l'on veut pour origine des coordonnées, l'équation de la cubique sera donc

'j,, çjj, (pg désignant des polynômes homogènes en x, y\ z d'un ilegré marqué par leur indice. De même, léqualion d'une quadrique (Q) sera

(5()) (|;(,<2 -^- 5, (i)j ^ i tl/, — o,

'lo, (|/,, <]^2 étant encore homogènes et de degrés o, i, a respectivement. Une droite passant par l'origine est caractérisée par des valeurs de x, y, g, qui |>euvent être considérées comme données. Les équations (49) et (5o) déterminent les valeurs de t qui correspondent respectivement à la cubique et à la quadrique.

Pour que la cubique soit anallagmatique dans l'inversion définie par le point A et la quadrique (Q), il faut évidemment que les deux segments ^^J et [jl, Uj déterminés dans la cubique et dans la quadrique par une sécante se divisent harmoniqueinent, c'est-à-dire que les racines t des équations (49)5 (5o) soient en relation harmonique. On devra donc avoir identiquement

çi -i^, -+- Ç3 <];o — '■* 'f 2 't^i = o.

D'après celte condition, les six solutions communes aux

I,KS CYCLIDKS EN COORDONNEES CARTKSIFÎNNKS. 45-9

équa lions

loivent vérifirr l'équahon

tp, v|;j r= o.

()ualrc au plus de ces solutions peuvent annuler 'I.2', sans cela, '1-2 serait proportionnel à Oo. H IVint donc que deux des solutions annulent '^, .

Puisque c5,, C52, ts^ s'annulent simultanément pour deux systèmes de valeurs de 37, j^, 5, il passe deux droites de la surface par le point A. En d'autres termes, Xesf f un des points de contact d'un plan trilangent.

Admettons ce |)remier résultat, et voyons comment on [)Ourra poursuivre la recherche. Nous allons choisir les axes de la manière la plus simple. Admettons que l'on a rejeté le plar) tritangent à l'infini et que les axes des .r, des y, des z ont été choisis de telle manière que les points de contact du plan tritangent soient, tous les trois, dans la direction des axes coordonnés. On reconnaîtra aisément (|u'en choisissant convenablement l'origine, on peut ramener r<'(|ualion de la surface à la forme simple

( 5 1 ) y. j:yz -^ x- -\- r* -f- z--t- -iC^x -\- >. C y -\- >. C" 3 -h D = o.

Prenons pour le point A celui qui se Irouve dans la direction de l'axe des z et voyons si l'on peut lui adjoindre une quadrique (Q), telle que la cubique soit anallagmalique dans l'inversion (juadrique déliiiic par A et par (Q).

Menons de A des tangentes à la cul)i({ne. Leur point de contact doit se correspondre à lui-même dans l'inversion cherchée. Il faudra donc que la quadrique (Q) ch* iclu'c passe par la courbe de contact du cône de sommet A circoriscril à la cubique.

r)r cette courbe de contact est définie par l'équation

z -+- xy -4- C" = o

qu'il faut joindre à l'équation de la surface, ce qui donne les deux relations

43o LIVRI-: V. — CHAPITRE III.

On voit donc que cette courbe de contact est une biquadrali([ue.

L'cqualion yétiérale des (|uadrlquc.s qui la contiennent est

(53 ) j;'- -+-.)- — Z'-i- 'ilTy -^ 'iG,/--+- aC'j' -H 'Jl'/.z ~ D ■+- xCl — o

et il est maintenant aisé de vérifier que, quel que soit )., toutes ces quadriques donnent une solution de la question.

Si l'on ordonne, en effet, par rapport à z les équations (5i) et (53), on reconnaît que leurs racines sont en involution.

Les quadriques (O) représentées par l'équation (53) contiennent toutes la courbe de contact définie par les équalions (5'^); elles doivent donc couper, en outre, la cubique suivant une conique. Et, en effet, si l'on retranche, l'une de l'autre, les équations (5 1), (53), on fait apparaître le facteur z — /. qui fournil la conique cherchée.

Elle sera donc tléfinu' par les équalu))is

( a-'- -+- y- ■+■ •}. xy X -i- 2 C a? -t- 2 C'y -1- A- -+- 2 G" À -1- D = o.

Comme elle appartient à la fois à la cubique et à la quadrique (Q), les propriétés de l'inversion quadrique exigent que le cnne de sommet A ayant pour base cette conique soit circonscrit suivant elle à (Q). C'est ce qu'il est aisé de vérifier.

En résumé, nous pouvons énoncer le résultat suivant :

Considérons Cuti des i6\) points V oii se croisent deux droites de la cubique. Le cône de sommet A circonscrit à la cubique la touche suivant une biquadratique (K). Toute quadrique {Q) passant par (K) définit., conjointement avec A, une inversion quadrique par rapport à laquelle la cubique est anallagmatique. Le cône de sommet A circonscrit à (Qj la touche suivant une conique qui appartient également à la cubique. Le plan de cette conique va passer par celle des droites de la cubique qui se trouve dans le plan tangent en A, mais qui ne passe pas par A.

Ce théorème est bien |)lus général que celui d où nous lavons déduite et qui concerne les cjciides. Non seulement, il nous donne des propriétés delà surface, mais il nous fournil aussi des méthodes