CHAPITRE Vil

UN MODE DE TRANSFORMATION DE L'ESPACE QUI SE PRÉSENTE DANS L'ÉTUDE DES CYCLIDES.

Des sui-faces que Moutard nommait anallagmatiques. — Modes de génération de ces surfaces donnes par Moutard ti\La guerre. — On peut leur rattacher une transformation ponctuelle de l'espace, envisagée par l'Auteur dès i865. — Cette transformation est la plus générale de celles qui font correspondre à tout plan une sphère. — Ses principales propriétés; elle n'est pas birationnelle et fait correspondre à toute figure du premier espace une figure anallagmatique du second. — Applications à la théorie descyclides. — La transformation permet de substituer à la Géométrie Cayleyennc une géométrie nouvelle, dans laquelle les géodésiques ne sont plus des droites, mais des cercles orthogonaux à une sphère fixe (S) et dans laquelle les angles se mesurent comme en Géométrie Euclidienne. — Comment, dans le plan, tous les résultats précédents pourraient être déduits de quelques considérations géométriques. — Quand on transforme par une inversion la sphère (S) en un plan, on obtient une géométrie qui a été utilisée par Poincaré dans ses admirables travaux sur les fonctions fuchsiennes.

311. La théorie des cyclides a son point de départ dans deux Communications présentées le même jour (i'^'" août i864) à l'Académie des Sciences par Moutard et par l'Auteur ('). Les beaux résultats obtenus par Moutard reposaient sur la considération de ce qu'il appelait les surfaces anallagmatiques^ c'est-à-dire les surfaces qui se reproduisent elles-mêmes quand on les soumet à une inversion convenablement choisie. Moutard a démontré, nous l'avons vu (n** 270) que ces surfaces peuvent être définies comme enveloppes d'une famille de sphères dont les centres décrivent une courbe ou une surface, que nous avons appelée la déférente, tandis qu'elles coupent à angle droit une sphère fixe, qui est la sphère principale de l'inversion et que nous avons nommée la

(* ) G. Dauboux, Remarques sur la théorie des surf aces orthogonales {Comptes rendus, t. 59, p. a.'io). — Moutard, Lignes de courbure d'une classe de surfaces du quatrième ordre, même tome, p. 243 ; voir aussi des Observations de .I.-A. Serret, présentées à la séance du 8 août, même tome, p. 269.

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sphère directrice. Et il a fait connaître les propriétés des cyclides qui résultent de ce mode de génération.

Lagueire a montré ensuite que le mode de génération des anallagmatiques peut être remplacé par le suivant. On prend les deux sphères de rayon nul qui passent par l'intersection de la sphère directrice et d'un plan tangent variable à la déférente. Les centres de ces sphères décrivent l'anallagmatique cherchée.

Voici comment on peut rattacher ce résultat au mode de génération proposé par Moutard.

Soient (S) la sphère directrice, (D) la déférente. Si l'on construit, suivant le mode proposé par Moutard, la sphère variable (S) ayant son centre en un point m de la déférente, il faudra, pour obtenir l'anallagmatique, déterminer les points de contact M, M' de cette sphère avec son enveloppe. Or, si l'on adjoint à (S) les sphères (il') qui ont leurs centres en des points m' de la déférente voisins de m, il est clair que leur axe radical ira toujours passer par le centre O de la sphère (S), qui a même puissance par rapport à chacune d'elles. A la limite, quand les points m' seront venus se confondre avec le point m, cet axe radical deviendra la corde de contact de (S) avec son enveloppe. Pour l'obtenir, il suffira donc d'abaisser, du centre O de (S), une perpendiculaire sur le plan tangent en m à la déférente. Cette perpendiculaire coupera la sphère variable (!') aux deux points M, M' cherchés, qui sont évidemment inverses l'un de l'autre par rapport à la sphère directrice, et qui seront placés symétriquement par rapport au plan (P) tangent en m à la déférente. Telle est la construction de Moutard.

Dans notre définition de l'inversion, nous avons remarqué (n"!232) que les deux points M, M' peuvent être considérés comme les centres de deux sphères de rayon nul qui se coupent suivant un cercle situé sur la sphère princi|iale de l'inversion. Ici, le plan de ce cercle ne peut être que le plan (P) tangent à la déférente. D'où résulte la proposition de Lagnerre :

L' anallaginaliq ue est le lieu des centres des sphères de rayon nul qui passent par l'intersection de la sphère directrice et des plans tangents à la déférente.

Et Ton voit ainsi que les points réels de l'anallagmatique ne

peuvent correspondre qu'à ceux des plans langenls réels de la déférente qui ne renconlrenl pas la sphère directrice.

312. Dès 1 865, l'Auteur avait fait connaîlre un mode de transformation des figures dans l'espace (<) qui comprend les résultats précédents et permet de les étendre notablement, comme on le verra.

Celte transformation, qui est ponctuelle^ peut être définie, quand on choisit des axes rectangulaires convenables, par les formules suivantes :

jc y z ^ï-+-72-h5-''-i- R2

où R- peut être pris avec les deux signes.

Avant de l'étudier, nous allons démontrer sa propriété caractéristique. Si on la fait précéder d'une transformation homographique, on obtient la transformation ponctuelle la plus générale qui fasse correspondre à tout plan une sphère.

Cherchons, en effet, une telle transformation. A trois plans passant par un point M de la première figure, elle fait correspondre trois sphères de la seconde, se coupant en deux points. Donc, à un point M de la première figure correspondent deux points de la seconde. A deux plans passant par une droite de la première figure, elle fait correspondre deux sphères de la seconde; et, par suite, l'homologue d'une droite de la figure ne peut être qu'un cercle de la seconde.

Il suit de là que si, à deux plans (P) et (P')de la première figure, représentés respectivement parles équations

correspondent deux sphères représentées par les équations

(') Recherches sur les surfaces orthogonales (Annales de l'École Normale, t. II, i" série, p. Cg). Pour plus de détails, on pourra consuller le Mémoire Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques et les Leçons sur la théorie des surfaces de l'Auteur, 3' Partie, p. 492 et suiv.

TRANSFORMATION DE l'kSPACE ET ÉTUDE DES CYCLIDES. 4°^

au plan défini par l'équation

correspondra nécessairement une sphère définie par l'équation

S -+- (Ji2'=o.

De là résulte évidemment que, si à quatre plans représentés par les équations

correspondent quatre sphères représentées par les équations i'i) 2 = 0, S'=o, S'^o, S'"=o,

au plan représenté par l'équation

(3) XP + X'P'-f-X''P'-+-X"'P'"=o

correspondra une sphère définie par l'équation

(4) fxS-4-|ji'i:'-4- j/x'^ |ji'"s'"=o.

Si donc on introduit la transformation auxiliaire définie par les formules

(5) -X. = 2, V = S', Z^zS', T = i:"',

on voit que la transformation cherchée résultera de la composition des deux suivantes : l'une qui transformera tous les plans définis par l'équation (3) dans les plans définis par l'équation

fxX-i-[ji'Y-+-[ji''Z4-fJL"'T = o

et qui, d'après ce que nous avons vu (Livre I, Chapitre II), sera nécessairement une transformation horaographique ; l'autre qui sera définie par les formides (5) et que nous allons étudier.

En général, les sphères définies par les équations (2) ne passent pas par un même point fixe; mais elles sont orthogonales à une sphère (S). En prenant pour origine le centre de cette sphère, on peut ramener tous les polynômes ï à la forme

a(ar*-t- J---I- z*-|- R'/') -h ibxt -^ xcy t-^ j.dzt, en sorte qu'une nouvelle transformation homographique nous

permet de réduire les formules (5) aux suivantes :

(6) X = 2R2a7^ \ = iK^yt, Z = iR^zt, T = x"^ -h y^ -^ z^ -\- R^ t* ,

évidemment identiques, aux notations près, à celles que nous avons données plus haut.

Si la sphère (S) se réduit à un plan, une inversion faite sur la seconde figure nous ramènera au cas précédent.

Si elle se réduisait à un point, une inversion analogue nous ramènerait à une simple homographie.

313. Après ces remarques préliminaires sur notre transformation, étudions les formules (i) ou (6) qui la définissent. Leur interprétation géométrique est très simple. Désignons, comme précédemment, par (S) la sphère dont l'équation est

A. tout point m (a?, y, :;) de la seconde figure, les formules font correspondre le point M(X, Y, Z) de la première (|ui est le pôle, par rapport à (S), du plan radical de cette sphère et de la sphère de rayon nul ayant pour centre le point m. Par suite, à tout point M(X, Y, Z) de la première figure, la transformation fait correspondre les deux points m, m' de la seconde qui sont les centres des sphères de rayon nul passant par l'intersection de la sphère fixe (S) et du plan polaire du point M par rapport à celte sphère. Ainsi, la transformation n'est pas bi ration ne lie; à un point M, elle fait correspondre deux points m. C'est ce (pie montrent, d'ailleurs, les formules (i), qui peuvent être rf'-solues par rapport k oc, y^ z et nous donnent

(^) ;r y^R R(R=pQ)

X Y Z R±i> \i^Y2-+-Z2' OÙ l'on a posé

(8) «2-2= R2(^, , , ^) =R-^-X2-Y2-Zî.

Sous forme homogène, ces formules pourraient être écrites

(y) :f=RX, j=RY, z^RZ, /= RT±v/R-^Ts— \2— Y2 — Z2

TRANSFORMATION DE l'eSPACE ET ÉTUDE DES CYCLIDES. 487

Examinons maintenant les conséquences de ces diverses relations et de la définition géométrique.

Quel que soit le point m de la seconde figure, pourvu qu'il ne soit pas sur le cercle de l'infini, le point correspondant M de la première figure est pleinement {déterminé. Les deux points m et M ne peuvent coïncider que si m est sur (S), ou bien au centre

Si le point în est sur le cercle de l'infini, les formules (9), qui peuvent aussi s'écrire, en changeant le facteur de proportionnalité,

nous montrent que le point M peut occuper toutes les positions sur la droite qui joint le point m au centre de (S), puisqu'on peut

attribuer telle valeur cpie l'on veut au quotient

Au point M correspondent généralement deux points m distincts. Ces deux points ne coïncident que si M est sur la sphère (S). Pour qu'ils deviennent indéterminés, il faut que l'on ait

X = o, Y = o, Z = o, R=dz\/û;

c'est-à-dire que le point M coïncide avec le centre de (S). Alors, à ce centre, considéré comme appartenant à la première figure, correspondent dans la seconde, d'après les formules (7), et ce point lui-même, et tous les jioints à l'infini.

314. Les deux points m, m' étant inverses l'un de l'autre par rapport à (S), à toute figure du premier espace correspond une figure du second qui est anallag mat iq ue ^ dans Vinversion dont{^) est la sphère principale.

Considérons, par exemple, une surface algébricpic dont l'équation sera

Oi{\, Y, Z)-+-cp,+,(X, Y, Z)+...-^cp„(X, Y, Z^ = o,

(p;t(X, Y, Zj désignant une fonction homogène de degré /* de X, Y, Z.

il lui correspondra, dans le second espace, la surface anallagma-

488 LIVRE V. — GHAPITKE VII.

tique ayanl pour ('q nation

-+- 2 R2 0/+, (.-P, y, Z)(X'^ -4-JK^ -hZ^-h R2)«-'-l H...-H (2R2)« '(p„(a7, j, z) = o.

L'examen de celte équation conduit à la conséquence suivante :

A toute sur/ace d'ordre n du premier espace^ ayant le centre de (S) pour point multiple d'ordre i, correspond une anallagmatique d'ordre in — i, qui admet le cercle de V infini comme ligne multiple d'ordre n — /, le centre de (S) comme point multiple d'ordre i, et qui a, en ce point, les mêmes tangentes que la sur/ace proposée.

Exemples :

Un plan passant par le centre de (S) se correspond à luimême.

Un plan quelconque de la première figure a pour homologue une sphère passant par son intersection avec (S) et orthogonale à (S).

Une quadrique ne passant pas par le centre de (S) a pour homologue dans la seconde figure unecjclide du quatrième ordre, anallagmatique par rapport à (S).

Si la quadrique passe par le centre de (S), il lui correspond une cjclide du troisième ordre, admettant, au centre de (S), le même plan tangent que la quadrique.

De même, à une courbe d'ordre n passant i fois par le centre de (S), correspond une courbe anallagmatique d'ordre in — i coupant le cercle de l'infini en i{n — i) points. On le verra aisément en se rappelant qu'à tout point de la première figure, situé sur le cône

correspond, dans la seconde, un point situé sur le cercle de l'infini.

A une droite correspond un cercle orthogonal à (S) et rencontrant (S) aux mêmes points que la droite.

Puisque à une quadrique correspond une c}'clide, et à un plan une sphère ou un plan, à toute conique correspond une section plane ou sphérique d'une cjclide.

TRANSFORMATION DE l'eSI'ACE ET ÉTUDE DES CYCLIDES. 4^9

3Io. Quelquefois l'anallagmalique se décompose. Supposons, par exemple, que la surface du premier espace soil inscrite dans (S) et que son équation puisse êlie mise sous la forme

P2(X, y, Z) + (X'-'-hYî-4-Z2— Rî)Q2(X, Y, Z) = o.

En tenant compte de la relation (8), l'équation précédente se décomposera et nous donnera les deux surfaces qui ont pour équations

/ aR^a- 2R^r ___Jiil!5___\

/ 2R-^:r iR^-y i R^ z \

elles sont inverses l'une de l'autre par rapport à (S) et la coupent suivant la courbe définie par l'équation

Plus généralement, quand la surface ou la courbe du premier espace est tangente à (S) en un point, ce point devient un point double de Panallagmatique correspondante .

Considérons d'abord une surface, et supposons que, par un changement d'axes, on ait ramené le point considéré à être défini par les équations

L'équation de la surface sera

Z-R=.ç,(X, Y)-t-cp,(X. Y)+...,

'spa, C53 désignant des fonctions homogènes de X, Y. D'après les formules (i), l'équation de l'anallagmalique correspondante pourra s'écrire

Elle admettra évidemment un point double, pour lequel l'équation

(lu cône des tang^entes sera

Ce cône aura pour axes principaux le rayon de la sphère (S) et les deux langentes principales de la surface donnée dans le premier espace.

Un calcul analogue peut êlre fait pour une courbe tangente à la sphère en un point. Par un choix convenable des axes, on peut ramener les équations de celte courbe aux formes suivantes :

Z — R = aX24-6X3-t-..., Y = «'.V^ 6'X3 + . . ,, ce qui donne, pour la transformée,