Ecrivons d'abord les trois équations

En les multipliant membre à membre, on aura l'équation fonctionnelle

qu'il faudra résoudre en premier lieu.

On peut tout ramener à la détermination de la fonction /. En effet, en faisant successivement X = Z et X = Y, on a

Ces deux relations permettent d'éliminer/, et/o et nous conduisent à réo:alité

qui va nous permettre de définir/. Faisant d'abord X = Y=Z on trouve

et si l'on pose ensuite

il vient

{lh(})'

ou encore,

en posant

La solution de cette équation est bien connue. On a

d'où résulte la valeur

LES COORDONNÉES TETRAÉDRIQUES.

Avec cette valeur de/, les relations (i8) nous donnent

sous la condition

(22) C Cl G2 = I.

Ainsi, on aura ce premier système de formules

aX'" 6Y'« cZ"'

Si l'on avait considéré de même le groupe X', Y', T', on aurait

1" eu à adjoindre aux. rapports précédents ^y^r^- On a donc, comme

solution définitive, celle qui est fournie par les formules

(23) pX'=aX"S pY'=6Y"', pZ'=cZ'«, pT'=û?T'«,

où p est un facteur de proportionnalité.

Ces formules nous donnent bien une transformation répondant aux conditions que nous avons posées. Tout plan passant par une des arêtes du tétraèdre est transformé en un plan. Mais un plan ne passant par aucune des arêtes devient, si m est différent de i, une de ces surfaces très intéressantes qu'on appelle tétraédrales et qui ont été étudiées d'abord par Lamé. Pour qu'il devienne un plan, il faut que m soit égal à 1, et alors la substitalion deinent une homographie.

28. Notre proposition est donc démontrée. Il nous reste à faire voir comment on démontre le lemme sur lequel nous nous sommes appuyé et comment ou trouve les fonctions satisfaisant à l'équation

De cette équation fonctionnelle on déduit immédiatement la suivante :

i>{x\Xi ... Xn) — 'f(a7i)cp(a^2). ..«(ar,»),

et par conséquent

'^2 LIVRE I. — CHAPITUE II.

Changeanl x" en x, on trouve

et la combinaison des deux relations précédentes nous donne

(27) ^^(^^.y^Tj = ,^\xn).

Regardons maintenant x comme une constante, qu'on pourra remplacer para et - comme une variable. Posons, en outre,

l'équation précédente nous donnera

ce qui est l'expression admise plus liant.

Dans son Analyse algébrique^ Cauchj emploie la méthode que nous venons de suivre. On peut en donner une autre si l'on admet l'existence d'une dérivée pour 'f(M). Si l'on prend, en effet, les dérivées logarithmiques des deux membres de l'équation {■i/\) par rapport à w, il vient

/,o\ uvo'dw) __ uo'(u)

doù l'on déduit que le quotient

uo'(u)

doit être constant. Le reste de la recherche ne présente plus de difficulté.

La démonstration que nous avons préférée offre l'avantage de ne pas reposer sur la notion de dérivée.