X- -h y- -+■ z'^ -h Ry(x^-^y^-^z^-r- R2) = la'R^x

On peut déduire de là les développements de y el de z. On

trouve ainsi

{z— R)2= (i — oaR)a724-..., d'où l'on déduit

z — R = dr :r \/ — i — 2 a R -r- . . . . Ces formules définissent bien un point double de la courbe.

316. Comme application, considérons la cjclide qui correspond à une quadrique (Q) du premier espace, et cherchons à définir les courbes de (Qj auxquelles correspondent les sections circulaires de la cyclide.

Il y a d'abord les génératrices de (Q) auxquelles correspondent, nous l'avons déjà remarqué, des cercles normaux à (S). Ainsi nous obtenons les sections circulaires correspondantes à la sphère directrice qui est associée à (Q).

Considérons maintenant les sections planes de (Q). Comme à un plan correspond un plan ou une sphère, il leur correspond, dans la seconde figure, les sections planes ou sphériques de la cyclide. Ces sections se décomposeront en deux cercles toutes les fois qu'elles auront deux points doubles. C'est ce qui arrivera si la section plane de(Q) est doublement tangente à (S); car alors la

TRANSFORMATION DE l'eSPACK ET ÉTUDE DES CYCLIDES- 49'

courbe correspondante de la cyclide aura deux points doubles sur (S) et se décomposera en deux cercles, inverses l'un de l'autre par rapport à (S).

Pour que la section plane de (Q) soit doublement tangente à (S), il faut et il suffît, comme on sait, que son plan enveloppe un des cônes qui passent par l'inlerseclion de (Q) et de (S). Comme il y a ({uatre cônes, nous trouvons ainsi les quatre séries qui nous manquaient. On verra aisément que les sphères directrices relatives à ces dilTérents modes sont celles qui ont pour centres les sommels des cônes et sont orlhogonales à (S).

317. Nous ne reviendrons pas sur notre théorie des cjclides; mais nous poursuivrons l'étude de la iransformation précédente eu établissant les relations très simples qui existent entre les plans tangents ou le^ tangentes aux points correspondants.

Soient M, M, deux points de la |)remière figure, auxquels correspondent, dans la seconde (igure, deux couples m, m' et /;/,, ni\. r^a droite MM, de la première figure a pour homologue dans la seconde le cercle (G), qui est orthogonal à (S) et passe par les points d'intersection de (S) et de MM,. Ce cercle (C) contient donc les couples m, m' et m,, m',. Comme les droites mm', m\m\ se coupent au centre O de (S), le point d'intersection de /«/?i, et de m' m\ se trouve sur la polaire de O par ra|)port à (C), |)olaire qui est la droite MM,.

Si le point M décrit une courbe du premier espace, à laquelle correspondent les courbes du second espace décrites par les points w, m', on voit que les droites concourantes MM,, mm^, m' m\ sont trois cordes correspondantes des trois courbes. En supposant que le point M, se rapproche du point M et en passant à la limite, on a le résultat suivant :

Les tangentes en M, m, m' aux trois courbes correspondantes se coupent en un même point.

Comme les courbes décrites par m, m' sont inverses l'une de l'autre, leurs tangentes concourent en un point du plan perpendiculaire sur le milieu de mm' , plan dont le pôle est le point M. On peut donc ajoiiicr le complément suivant i~i la proposition précédente :

492 LIVRE V. — CHAPITRE Vit.

Le point de concours des tangentes en M, m, m' est placé dans le plan polaire de M par rapport à (S).

Appliquant cette proposition à toutes les courbes passant par un point d'une surface, on obtient le théorème suivant :

Si le point M décrit une surface^ le plan tangent en M. à cette surface va couper le plan polaire de M par rapport à (S) suivant une droite par laquelle passent aussi les plans tangents en //j, m' aux deux surfaces décrites par les points ni, ni', homologues de M.

Ces relations ne sont pas les seules que nous ayons à signaler relativement aux tangentes et aux plans tai)genls. Pour en obtenir de plus complètes, nous nous appuierons sur la propriété suivante de la transformation :

Si M est un point du premier espace, toute sphère passant par les points correspondants m, m' du second espace aura son centre dans le plan polaire de M par rapport à (S) et sera orthogonale à (S). Inversement, toute sphère ayant son centre dans ce plan polaire et orthogonale à (S) passera par les deux points m, ni'.

Il suit delà : i° que si nous considérons, dans le premier espace, deux points M, M, auxquels correspondent respectivement, dans le second espace, les couples m, m'; nif, m',, toute sphère orthogonale à (S) et ayant son centre sur la droite polaire de MM, par rapport à (S) contiendra les quatre points m, m', mi, m'^ ; que si nous considérons, dans le premier espace, trois points M, M,, M2 auxtpiels corresponder)t dans le second espace les couples m, m'] m,, m\ ; ma, m'^, la sphère qui aura son centre au pôle par rapport à (S) du plan MM, Mo et sera orthogonale à (S) contiendra les six points ni, ni' , nit, ni\, ni-^, ni'^. JNous allons appliquer ces propositions générales aux cas où les points se rapprochent indéfiniment.

Supposons d'abord que le point M décrive une courbe (C) à laquelle correspondra une courbe anallagmalique (c) décrite par les points /??, m' homologues de M. En considérant un point M, voisin de M, on obtient la proposition suivante :

Les sphères orthogonales à (S) et ayant leurs centres sur la polaire d de la tangente à (C) en M se coupent suivant un cercle cjui est tangent en m, m' à la courbe (c).

TRANSFORMATION DE l'eSPACK ET ÉTUDE DES CYCLIDES. 49^

Nous savons, en effet, que les tangentes à (c) en m, m' et la tangente à (C) en M \onl concourir en un point P, situé dans le plan polaire de m par rapport à (S).

Si nous considérons maintenant trois points infiniment, voisins, nous obtenons le résultat suivant :

La polaire par rapport à (S) de la tangente en M à la courbe (C) enveloppe une courbe (C) lieu du pôle du plan osculaieur à (C). La sphère orthogonale à (S) et ayant son centre en ce pôle contient les cercles osculateurs en m, m' à la courbe (c). Pour déterminer ces cercles osculateurs^ il suffit de remarquer que les plans osculateurs en w, m' doivent contenir la tangente à la courbe décrite par le point de concours des tangentes à (c) en ces points. Ce point de concours, nous f avons vu, est celui où la tangente en M à la courbe (G) vient couper le plan polaire de M par rapport « (S).

Supposons mainlenanl que le point M décrive une surface. Alors, en considérant les points infiniment voisins de M, on sera conduit à la construction suivante :

La sphère tangente en m, m' à Vanallagmatique décrite par ces points, sphère qui est nécessairement orthogonale à (S), a pour centre le pôle du plan tangent en M à la surface décrite par ce point.

En d'autres termes, la déférente de V anallagmatique est la polaire réciproque, par rapport 'à (S), de la surface décrite par le point M.

318. Dans ce qui va suivre, et pour plus de netteté, nous supposerons que la sphère (S) ait son ravon réel. R- sera donc positif et il ne pourra correspondre à M de points réels m, m' que si M est à l'intérieur de (S). Cela est évident d'après la construction géométrif|ue et résulte d'ailleurs des formules ['j). Nous désignerons par m et nous considérerons presque exclusivement celui des deux points m, m' qui se trouve à l'intérieur de (S).

Nous avons déjà vu (n" 96) qu'étant donnée une conique <|uelconque et deux de ses tangentes OP, OQ {fig. 27), le rapport anharmonique de deux points M, M, pris arbitrairement sur la corde

494 LIVUE V. — CHAPITRK VII.

de contact et des points P, Q est lié au rapport anharmonique des quatre points m, /?2j, P, Q sur la conique (m, m, désignant deux des points où les droites OM, OM, rencontrent la conique) par la relation très simple

c!R(lM, M,, P, Q) = S{Hm, m,, P, Q).

Si les points M, M, se trouvent entre P et Q et si les points m et m, sont d'un même côté par rapport à PQ, les deux rapports anharmoniques qui figurent dans la relatior) précédente seront tous deux positifs et l'on pourra écrire

(10) logcftCM, M,, P, Q) = 2log<.l(m, m,, P, Q).

Appliquons cette relation à notre transformation et supposons que M, M| désignent deux points du premier espace situés, comme nous l'avons supposé, à l'intérieur de (S). Alors, la droite MM, coupera la sphère (S) en deux points P et Q; elle aura pour homologue le cercle qui, passant en P et Q, est orthogonal à (S) et admet par suite pour tangentes les rayons OP, OQ de (S). Les points m, m, seront ceux qui, situés à l'intérieur'de (S), correspondent à M, M,. Interprétons la relation précédente.

Supposons que, dans le premier espace, nous définissions les distances suivant les méthodes de la Géométrie Caylejenne, en prenant pour absolu la sphère (S) et déterminant la distance de deux points M, M) par l'expression

(H) ^d{M, iVI,) = logc'i\(M„ M,P, Q).

On voit qu'en évaluant, dans le second espace, la distance de deux points par la formule

(12) -^d(m, m, ) = logc'fl(mi, m, P, Q),

la distance de deux [)oinls quelconques du premier espace sera égale à celle des points correspondants dans le second.

Nous n'avons pas besoin de revenir sur la signification de la formule (i i). Le rapport anharmonique qui figure dans le second membre est celui des deux points M,, M et |des deux points P et Q où la droite MM| rencontre la sphère (S); ce rapport est réel et positif.

TRANSFORMATION DK l'kSPACE ET ÉTUDE DES CYCLIDES. 49^

La formule (12), au contraire, appelle quelques explications. Quand on aura choisi arbitrairement, à l'intérieur de (S), les points m, m,, voici comment on obtiendra les points P et Q. Il faudra faire passer par /n, m< le cercle, parfaitement défini, qui est orthogonal à (S); les points PetQ seront ceux où ce cercle rencontrera

la sphère (S) {fig. 27).

Fis. -il.

Ainsi, dans la Géométrie qui correspond à la formule [ii)^ pour obtenir la dislance de deux points m, m,, on construira le cercle orthogonal à (S) qui contient ces deux points; il coupera (S) aux deux points P, Q, et la distance mmt sera alors dé/inie par la formule (12), qui deviendra ainsi tout à fait indépendante de la transformation .

319. Celte distance peut être obtenue par un calcul direct. On a sur le cercle

A{niu m, P, Q)

496 MVRE V. — CHAPITRE VII.

ce qui permet d'écrire

- tl[mrn, nii V.mQ

/«i Q./n P Si l'on utilise la relation de Ptolémée

mmj . l'Q = miP./nQ — m, Q.m H, il viendra

'xmm\ PQ

\ m P. m Q./n) P./?ii Q Gomme on a

m\>. wQ m, p. m,Q PQ

on trouvera

yR2 0m' \/r2--0oti

On peutohtenirun résullatéquivalent en utilisant la relation (10). Nous avons vu (n° 182) que, si l'on prend pour absolu la sphère (S), la distance d des deux points M, M, , de coordonnées X, Y, Z ; X, , Y,, Z,, est donnée par la formule

^ -J H2 xx, — YY, — ZZ,

Si nous remplaçons les coordonnées des points M, M, en fonction de celles j:, j^ 2; a?i, j^,, s,, qui conviennent aux points correspondants m, m,, un calcul facile nous conduira à la relation

qui ne diffère que par les notations de la formule (r3).

320. Après avoir examiné les dislances, voyons ce qui concerne les atigles.

Soient M un point du premier espace et M/, M^' les tangentes à deux courbes qui se croisent en ce point. Elles vont couper le plan polaire de M par rapport à (S) en deux points a, a', et nous savons

TRANSFORMATION DE l'eSPACE ET ÉTUDE DES CYCLIDES. 497

que les tangentes aux courbes correspondantes de la seconde figure, menées au point m qui est l'homologue de M, dans le second espace, iront couper le plan polaire de M aux mêmes points a, a' que les tangentes en M. Gela suffira pour établir la relation cherchée.

Soient P et Q les deux points où la droite aa' rencontre la sphère (S). Les droites MP, MQ sont tangentes en Pet Q à la sphère; et les droites mP, mQ sont isotropes. D'après la définition de l'angle que nous avons donnée dans la Géométrie Gayleyenne, l'angle par rapport à (S) des deux courbes qui se croisent en M

est égal à

i-.log^(a', a, P, Q).

D'autre part, ma, ma' sont les tangentes aux deux courbes de la seconde figure qui se croisent en m; et comme mP, mQ sont des droites isotropes, l'expression précédente définit également V angle Euclidien des deux tangentes /wa, ma.' .

Ainsi notre transforrhation conserve les angles; d'une manière plus précise, elle fait correspondre à V angle Cayleyen de deux courbes^ évalué par rapport à (S), un angle Euclidien égal des deux courbes qui leur correspondent dans le second espace.

321. Ge lésultat fondamental peut être aussi obtenu par la considération des éléments linéaires dans les deux espaces.

Dans le premier, l'élément linéaire sera donné par la formule

^ ^ (R2-X2 Y2— Z-^)(rfX^-^t/Y2+ </Z2)-t-(X^X -+-¥«:/¥ -4-Z^/Z)2

et, dans le second, par la suivante, qui se déduit immédiatement de l'équation (\/\)

R2 + (R2 a:2^jj^2)2

en sorte que le second membre de l'équation précédente est la transformée du second membre de l'équation (i5).

Or nous avons, au n° 199, défini l'angle de deux directions par rapport à une forme quadratique, et nous avons remarqué que cet D. 32

4<j8 LIVRE V. — CHAPITRE Vil.

angle était un invariant, c'est-à-dire qu'il subsistait lorsqu'on effectuait une substitution ^we/co/î^we sur Jes variables dont dépend la forme. D'après cela, l'angle sera le même quand on l'évaluera avec l'une ou l'autre des deux formes (i5), (i6). Or, dans le premier cas, nous l'avons vu, cet angle sera celui que l'on obtient dans la Géométrie Gaylejenne, en prenant pour absolu la sphère (S) définie par l'équation

Dans le second cas, il sera le même (n° 199) que si l'on réduisait la forme (i6) à l'expression plus simple

dx'^+ dy'^ -i- dz- ^

c'est-à-dire, ce sera l'angle tel qu'on le définit dans un espace Euclidien. L'égalité de ces deux angles est donc ainsi établie de nouveau.

322. Parmi les conséquences de cette proposition, nous nous attacherons d'abord à la suivanie.

Supposons que, dans le premier espace, celui où les relations sont régies par la Géométrie Gajlejenne, les plans tangents à deux surfaces qui passent en un point, ou les tangentes à deux courbes qui se croisent en un point, soient perpendiculaires, c' est-à-dire soient conjugués par rapport à la sphère (S); dans le second espace, les surfaces ou les courbes correspondantes seront orthogonales, dans le sens Euclidien.

Si, par exemple, dans le premier esj)ace, on a trois familles de surfaces telles que les plans tangents aux surfaces des trois familles qui passent en un point quelconque de l'espace soient conjugués par rapport à la sphère (S), il correspondra, dans le second espace, à ces trois familles trois autres familles qui constitueront un svstème triple orthogonal, au sens ordinaire du mot.

La théorie des surfaces du second degré nous conduit à une belle application de cette proposition générale.

Considérons le faisceau des quadriques qui passent par la courbe d'intersection de deux surfaces données du second degré. Cette courbe d'intersection étant du quatrième ordre, toutes les surfaces qui composent ce faisceau ponctuel sont coupées par un plan

TRANSFORMATION DE l'eSPACE ET ÉTUDE DES CYCLIDES. 499

quelconque (P) suivant des coniques ayant quatre points communs. Si donc on veut chercher les quadriques du faisceau qui sont tangentes au plan (P) et qui, par suite, sont coupées par ce plan suivant deux droites, on reconnaît immédiatement qu'elles sont au nombre de trois, et que leurs points de contact sont les centres des trois couples de droites qui passent par les quatre points situés dans le plan (P) de la courbe d'intersection commune à toutes les quadriques du faisceau. Ces trois centres sont les sommets d'un triangle conjugué commun à toutes les quadriques du faisceau; ils seront donc nécessairement réels si leur plan coupe la biquadratique commune à toutes les surfaces du faisceau en quatre points réels, ou s'il ne la coupe pas.

Transformons par polaires réciproques. Au faisceau ponctuel formé de toutes les surfaces passant par une même biquadratique correspond un faisceau langentiel îovmé de quadriques inscrites dans une même développable ; aux quadriques du premier faisceau, tangentes à un plan, correspondent, dans le second faisceau, des quadriques passant par un point. On pourra donc énoncer le résultat suivant :

Si Von considère le faisceau tangentiel formé par les quadriques inscrites dans une même développable, il y a trois quadriques du faisceau passant par un point de Vespace. Ces trois quadriques sont réelles si les plans tangents de la développable qui passent par le point considéré sont tous les quatre réels^ ou tous les quatre imaginaires. Les plans tangents aux trois surfaces qui passent par un point forment un trièdre qui est conjugué par rapport à chaque surface du faisceau^ ou, ce qui est la même chose, par rapport aux cônes ayant pour sommet le point considéré et circonscrits aux diverses surfaces du faisceau. Ces cônes forment eux-mêmes un faisceau tangentiel, car ils admettent les quatre plans tangents que l'on peut mener par leur sommet à*la développable dans laquelle sont inscrites toutes les quadriques.

D'après cela, imaginons, dans le premier espace de notre transformation, un faisceau lanj^entiel de quadriques dont fera partie la sphère (S). Ce faisceau sera évidemment déterminé dès que l'on connaîtra une des sur faces, autres que (S), qui en font partie. A.

chacune des surfaces du faisceau correspondra, dans le second espace, une oyclide, anallagmatique par rapport à la sphère (S). Nous allons montrer que toutes les cyclides ainsi obtenues forment le système triple orthogonal étudié dans les Chapitres précédents.

En effet, dans le premier espace, il passe trois quadriques du faisceau par un point quelconque A; et les plans tangents à ces quadriques forment un trièdie conjugué par rapport à la sphère (S), c'est-à-dire un Irièdre ortiiogonal lorsqu'on prend cette sphère pour absolu. Puisque notre transformation couserveles angles, les trois cyclides qui passent par le point m, homologue de A dans le second espace, s'y couperont à angle droit. Il ne reste plus qu'à montrer que ces cyclides seront réelles quand le point /w sera réel. C'est ce que l'on peut faire de la manière suivante.

Puisque le point m est réel, le point M qui lui correspond dans le premier espace est nécessairement à l'intérieur de (S). Les trois quadriques qui y passent sont donc réelles puisque le trièdre formé par leurs plans tangents est conjugué par rapport au cône imaginaire de sommet M circonscrit à (S) et, |)ar suite, est nécessairement réel. Il en sera de même si, R^ étant négatif, la sphère (S) est imaginaire.

Les quadriques étant réelles, il en sera de même des trois cyclides qui leur correspondent.

323. La transformation dont nous venons de faire connaître les |)rincipales propriétés a été simplement définie par des formules, les équations (i) ou (6).

Si l'on se bornait à la considérer dans le plan, il serait aisé de l'obtenir par de simples considérations géométriques.

Envisageons des figures quelconques tracées sur une sphère (S) de rayon R et faisons-en la projection stéréographique. Soient A le point de la sphère choisi pour point de vue et(E) l'équateur sur lequel on projette, perpendiculaire au rayon OA de la sphère. Nous savons que la projection stéréographique, comme toute inversion, conserve les angles. Voyons comment elle transforme les dislances.

Soient M, M' deux points situés sur la sphère (S). Nous savons que l'arc de grand cercle qui les joint sera donné par la

TRANSFORMATION DE l'eSPACE ET ÉTUDE DES CYCLIDES. 5oi

formule

(17) MM' = -^.log^îl[0(M', M,I, J)],

le rapport anharmonique qui figure dans celte formule étant celui «les deux rayons OM, OM' et des deux rayons 01, OJ qui vont aux points où le grand cercle MM' coupe le cercle de l'infini. D'autre part, d'après une propriété que nous avons invoquée à diverses reprises (n" 96), ce rapport anharmonique est égal au carré du rapport anharmonique des quatre points M, M', I, J pris sur le cercle MM'. On peut donc écrire

(18) MM'= 5log<!îl(M', M, I, J),

le rapport anharmonique étant pris maintenant par rapport au cercle.

Voyons ce que cette formule devient en projection.

D'après les propriétés générales delà projection, tous les cercles de la sphère se projettent suivant des cercles; mais les grands cercles ont cette propriété caractéristique de se projeter suivant les cercles orthogonaux à celui qui a pouréquation

et q«ie nous désignerons, dans la suite, sous le nom de cercle (G). Il est l'intersection, par le plan de l'équateur, de la sphère de rayon nul ayant son centre en A.

Pour le reconnaître sans calcul, il suffit de remarquer que, dans l'inversion, de pôle 'V, qui équivaut à la projection stéréographique, le plan de tout grand cercle se transforme en une sphère qui contient le point A et le point A' diamétralement opf)osé de (E). Or, toute sphère passant par ces deux points coupe le plan de l'équateur suivant un cercle orthogonal au cei'cle (G); car la puis sance du <;entre de (2) par rapporta cette sphère est égale à — R-.

Ainsi, si m, m' sont les projections des points M, M', nous pourrons construire le cercle qui est la projection du grand cercle MM'; ce sera celui qui passera par m, m' et sera orthogonal à (G). Il est facile de voir quels sont les points de ce cercle suivant lesquels se projettent les points L et .1, où le grand cercle MM' coupe le cercle

5o2 LIVRE V. — CHAPITRE VII.

de l'infini. En effet, les droites qui joignent le point A aux deux points I et J sont des droites isotropes, et, comme telles, elles appartiennent à la sphère de rayon nul ayant pour centre le point A. Donc elles viennent couper l'équateur sur le cercle (C).

Ainsi, les deux points I et J de la formule (17) se projettent suivant les deux points où le cercle qui sert de projection au grand cercle MM' vient couper le cercle (C), auquel il est orthogonal.

Si nous désignons ces deux points respectivement par a et [i et si nous nous souvenons que le rapport anharmonique de quatre points sur une conique n'est altéré ni par une homographie, ni par une projection^ nous voyons que la formule (17) pourra être remplacée par la suivante :

MM'= — logcft(/n', m, a, ^).

Laissons maintenant de côté la sphère (S), et convenons de prendre pour la distance des deux points m, m' l'expression

mm' = — logt'R(m', w, a, S);

nous aurons ainsi constitué une Géométrie dans laquelle les angles se mesureront comme dans la Géométrie Euclidienne, mais dans laquelle la distance de deux points s'obtiendra de la manière suivante : on fera passer par les deux points m, m! un cercle orthogonal au cercle (C) et, ce cercle une fois construit, la distance sera donnée par la formule précédente où interviendront les deux points a, ^ communs au cercle orthogonal et au cercle (C).

Dans cette Géométrie, qui dérive directement de celle de la sphère, les lignes les plus courtes réunissant deux points ne seront plus généralement des droites; ce seront les cercles orthogonaux au cercle (G), projections des grands cercles de la sphère.

Si l'on convient que l'on pourra prendre le carré du rayon de (C) avec tel signe qu'on le voudra, on retrouve ainsi directement, et pour la Géométrie plane, les résultats que notre transformationnousa donnés pour la Géométrie de l'espace. On peut même retrouver cette transformation de la manière suivante.

TRANSFORMATION DE l'eSPACE ET ÉTUDE DES GYCLIDES. 5o3

324. Soit m le point de l'équateur qui est la projection du point M de (S). Associons à m le point M' où la droite menée par le point de vue A, parallèlement au rayon OM, vient rencontrer l'équateur. La correspondance entre m et M' est, dans Je plan, identique à celle que nous avons étudiée dans l'espace.

Pour le démontrer, nous remarquerons que, si l'on prend le plan polaire (P) de M' par rapport à la sphère de rayon nul ayant son centre en A, ce plan polaire, qui sera perpendiculaire à AM', coupera cette sphère de rayon nul suivant deux droites isotropes Aa', A^' telles que la droite a'3' soit la polaire de M' par rapport au cercle (G). D'autre part, le plan (P) étant perpendiculaire à OM, les droites Aa', A^' sont parallèles aux génératrices rectilignes de la sphère qui passent en M; les projections stéréographiques de ces deux génératrices, qui sont les droites isotropes passant par m, contiennent, par conséquent, les points y/, ,3'; et, par suite, ces points sont ceux où le cercle de rayon nul qui a pour centre m vient couper le cercle (G). La relation entre m et M' est donc bien identique à celle que nous avons reconnue et étudiée, dans l'espace à trois dimensions.

Ges considérations géométriques nous donnent d'ailleurs directement, pour le plan, tout ce c|ue nous avons obtenu, parle calcul, pour l'espace. Gar les deux droites AM' et OM étant parallèles, il est évident que les déterminations métriques relatives au point M de la sphère sont identiques à celles que l'on obtient pour les points M' du plan, si l'on adopte comme absolu le cercle (G) intersection du plan de l'équateur par la sphère de rayon nul ayant son centre en A.

32.'). Nous terminerons l'étude de notre transformation par les dçux remarques suivantes :

Si elle a l'inconvénient de substituer aux lignes droites de l'espace Tavleyen, qui sont les lignes les plus courtes entre deux points, des cercles orthogonaux à la sphère (S), qui sont encore les lignes géodésiques dans le second espace, mais qui sont moins simples que des droites, elle a, par contre, l'avantage de dédoubler en quelque sorte l'espace Gayleyen, puisqu'elle lait correspondre, à un point M de cet espace, deux points m, m' du second. Gela nous permet d'envisager des géométries qui seront aussi voisines qu'on le

5o4 LIVRE V. — CHAPITRE VII.

voudra de la Géométrie Euclidienne quand le rayon de la sphère (S) sera assez grand, mais qui s'en distingueront cependant par les propriétés les plus essentielles.

Quand le ravon de la splicre(S) est réel, elle partage l'espace en deux régions dans lesquelles les points m, m' se mouvront séparément et qui se déduiront l'une de l'autre par l'inversion dont (S) est la sphère principale. Si l'on considère, par exemple, la région à l'intérieur de (S), on aura une géométrie dans laquelle il ne passera qu'une géodésique par deux points et dans laquelle chacune de ces géodésiques qui remplacent les droites aura deux points à l'infini (et non plus un seul comme dans la Géométrie Euclidienne). Par un point, on pourra mener une seule géodésique perpendiculaire à la surface qui remplace le plan, c'est-à-dire à une sphère orthogonale à (S).

Mais, si le carré du rayon de la sphère (S) est négatif, les deux régions décrites par les points m, m' ne seront plus séparées. Toute géodésique passant par un de ces points ira passer par l'autre. On aura une géométrie dans laquelle deux droites se couperont toujouis en deux points. Deux perpendiculaires à un plan se rencontreront toujours, etc.

Imaginons un être vivant dans l'espace à deux dimensions compris entre deux sphères concentriques, infiniment voisines. Pour lui, les lignes droites, c'est-à-dire les lignes les plus courtes, seraient les arcs de grand cercle tracés sur l'une des sphères. Deux lignes droites se couperaient toujours, aussi bien que deux perpendiculaires à une même droite. Une droite cesserait d'être déterminée par deux points, s'ils étaient diamétralement opposés. C'est cette géométrie que l'on obtient dans l'espace, si (l'on emploie notre transformation avec une sphèr.e imaginaire. Les géométries de ce genre sont celles qui ont été envisagées par Puemann.

326. Nous ferons enfin une dernière remarque. Supposons que la sphère (S) soit réelle. Nous pourrons la soumettre à une inversion qui la transformera en un plan. Nous obtiendrons ainsi une géométrie dans laquelle les lignes géodésiques seront des cercles orthogonaux à un plan \\yie.

Par raison de symétrie, on peut se borner à employer une

TRANSFORMATION DE l'eSPACE ET ÉTUDE DES CYCLIDES. 5o5

inversiorv dont le pôle sera le point de coordonnées

En choisissant le module de manière que la sphère (S) ait pour homologue un plan passant par l'origine, on aura à employer les formules

x,y^ z-, x' , r', z' désignant les coordonnées de deux points homologues M et M'. Si l'on désigne de même par ^,, j',, -, ; a:[, y\^ z\ les coordonnées d'un autre couple de points homologues M(, M',, la formule (i4)j où l'on remplacera les coordonnées des points M et M, en fonction de celles de M', M^, prendra la forme simple

relie sera l'expression delà distance dans la nouvelle Géométrie. Si l'on suppose que les deux points M', M'j deviennent infiniment voisins, l'élément linéaire de l'espace se présentera sous la forme réduite

^,dx'-^-^dy"^-hdz"'ds- = n =-7- •

Cette Géométrie est celle qui a été employée par Henri Poincarc dans ses mémorahles travaux sur les fonctions fuchsiennes.

Nous pourrions montrer encore comment la résolution de ce problème :

Trouver toutes les transformations de V espace Cayleyen qui conservent les angles et assurent^ par conséquent, la similitude des éléments infiniment petits

se ramène, par l'emploi de la transformation précédente, à celui qui concerne l'espace Euclidien et qui a été résolu depuis longtemps. Nous nous bornerons, en terminant, à cette brève indication.