CHAPITRE II
Les coordonnées tétraédriques i -
Leur définition. Ce sont des fonctions linéaires des coordonnées cartésiennes homogènes. — Pourquoi on les appelle tétraédriques. — La connaissance du tétraèdre de référence ne les détermine pas entièrement. — Mobius, qui les a employées en 1827 dans son Traité de Calcul barycentrique, en a donné une définition fondée sur la théorie du centre de gravité et différente de celle que nous avons adoptée d'après Pliicker. — Celte interprétation ne tient plus dès qu'un des sommets du tétraèdre de référence est rejeté à l'infini. Démonstration d'un élégant théorème do statique qui permet de maintenir avec quelques modifications la délinition de Mobius lorsqu'un ou plusieurs sommets du tétraèdre de
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référence sont rejetas à l'infini. — Application à la Géométrie plane et
à la détermination des figures qui sont la perspective d'une figure donnée. — L'emploi dans le plan des coordonnées trilinéaires permet d'étudier, en même temps qu'une figure, toutes celles qui s'en déduisent par la perspective. — On termine le Chapitre en démontrant une propriété caractéristique de la transformation homographique. Elle est la seule transformation ponctuelle qui conserve les plans, c'est-à-dire les transforme en des plans. — La démonstration s'obtient par la résolution d'une équation fonctionnelle que Cauchy avait déjà étudiée dans son Analyse algébrique (t. III de ses Œuvres, ?." série).
Le rapport anharnronique 33
Définition du rapport anharmonique de quatre points en ligne droite. Celle définition repose exclusivement sur l'emploi des coordonnées. — Le rapport anharmonique des quatre points où quatre plans fixes se coupant suivant une même droite (ou bien quatre droites concourantes dans le plan) sont coupés par une droite variable est un nombre constant qu'on appelle rapport anharmonique des quatre plans {ou des quatre droites). — Application à la démonstration de l'existence d'une surface doublement réglée. — Expressions du rapport anharmonique usitées en Géoinétrie pure. — Relations entre les 24 rapports anharmoniques qu'on peut former avec quatre éléments. — Le rapport anharmonique ne peut devenir indéterminé que si trois des éléments coïncident. — Etude des cas dans lesquels deux des six valeurs du rapport anharmonique formées avec (|uatre éléments sont égales. — Coïncidence, proportion harmonique, proportion équianharmoniquc. — Identité remarquable à laquelle conduit cette étude. — Application à l'équation du quatrième degré. — Identité de Cauchy et de Cayle\^ — Résolution de l'équation du quatrième degré par la méthode de Ferrari telle que l'a présentée M. Hermite. — Comment l'identité de Cauchy et de Caylej' peut conduire à la résolution de l'équation du troisième degré.
