CHAPITRE m

LE RAPPORT ANHARMONIQUE.

Définition du rapport anharmonique de quatre points en ligne droite. Celte défi-' n.tion repose exclusivement sur l'emploi des coordonnées. - Le rapport anharmonique des quatre points où quatre plans fixes se coupant suivant une même droite (ou bien quatre droites concourantes dans le plan) sont coupés par une drote variable est un nombre constant qu'on appelle rapport anharmonique des quatre plans {ou des quatre droites). - Application à la démonstration de 1 existence .l'une surface doublement réglée. - Expressions du rapport anharmonique usitées en Géométrie pure. - Relations entre les 24 rapports anharmon.ques qu on peut former avec quatre éléments. - Le rapport anharmonique ne peut devenir indéterminé que si trois des éléments coïncident. - Étude des cas dans lesquels deux des six valeurs du rapport anharmonique formées avec quatre éléments sont égales. - Coïncidence, proportion harmonique, proportion equ.anharmonique. - Identité remarquable à laquelle conduit cette étude - Application à l'équation du quatrième degré. - Identité de Cauchy et de Cayley. - Résolution de l'équation du quatrième degré par la méthode de I^errar. telle que l'a présentée M. Hermite. - Comment l'identité de Cauchy et de Cayley peut conduire à la résolution de l'équation du troisième degré. ^

29. Les développements que nous avons donnés dans les Chapitres précédents s'applicpienl sans difficulté à la Géométrie plane ; il y a même grand intérêt à les employer aussi dans la Géométrie à une dimension. Nous allons êlre ainsi conduits à la notion du rapport anliarmonique.

Soient

les coordonnées homogènes, cartésiennes ou télraédriques, de deux points V et B. On pourra représenter les coordonnées de tout ponil M situé sur la droite AB par les formules

\x-\-Y.x', XjK+[.ty, \z-^^z', \t+ixt'

ou, plus simplement, parles suivantes :

x^lx', JK + Xy, z-i-\z\ t-i-lt'

si l'on suppose que a puisse prendre des valeurs infinies. 1).

34 LIVRE I. — CHAPITKK III.

En effet, si un plan passe par A et B, on reconnaîlra qu'il passe aussi par M. Du reste, comme on peut disposer de A de telle manière que M soit dans un plan quelconque ne contenant pas AB, le point M pourra occuper toutes les positions sur la droite AB. Par exemple, si les coordonnées sont cartésiennes, le point à l'infini de AB correspond à la valeur de A définie par l'équation

t -^-Xt' ^ o.

Cela posé, considérons quatre points en ligne droite A, B, M, M' dont les coordonnées seront

X, y, z, t (pour A),

x\ y, z\ t' (poiirB),

x-^-lx', y-^-y^y\ 2-+-lz', f-^-lt' {pour M),

x-\-l'x', JK-hX>', 2 + X'z', f-^l't' (pour M').

Quand on changera les coordonnées des deux premiers points en les multipliant par un même nombre, les valeurs de A et de V pourront être changées. Supposons, par exemple, qu'on ait multiplié les coordonnées de A par a, celles de B par a'; il faudra,

pour avoir les mêmes points M, M', remplacer ). par -^, V par -^ •

Si donc on n'avait que les trois points A, B, M en ligne droite, on ne pourrait attacher aucune signification géométrique à A, puisque 1 dépend de la nolation et peut être réduite à une valeur quelconque, i ou — i par exemple.

Mais si l'on a quatre points A, B, M, M', on constate que le rapport ^ ne dépend plus de la notation et, par suile, définit une

certaine grandeur géométrique relative aux quatre points.

Cette grandeur géométrique ne dépend en aucune manière de la position des quatre points par rapport aux axes. En effet, si l'on fait un changement d'axes, une perspective et même une transformation hoinographique, ou si l'on emploie des coordonnées tétraédriques, les nouvelles coordonnées sont des fonctions linéaires des anciennes. Soit, par exemple, x^ une des nouvelles

coordonnées

Xy = ax -\- by ->r cz ^ dt.

Si a?), x\ correspondent respectivement à A et à B, ar, -h AX,