CHAPITRE II

Les déplacements Cayleyens ^18

Quelques mots sur les diverses Géométries que l'on pourrait imaginer et sur une propriété caractéristique de la Géométrie Cayleyenne. — Transformation d'une forme quadratique homogène en elle-même par des substitutions linéaires. — Cas particulier des formes à quatre variables.

— Quelques propriétés des génératrices rectilignes d'une quadrique, intervention du Hessien, distinctions en deux systèmes. — Toutes les transformations continues d'une quadrique en elle-même s'obtiennent en soumettant à deux homographies distinctes les paramètres des deux systèmes de génératrices. — Application aux déplacements Cayleyens. — Étude préliminaire du cas où les génératrices de l'un des systèmes no sont pas déplacées par la transformation. — Théorie géométrique des déplacements correspondants que l'on appelle liiemanniens parce qu'ils ne sont réels que si Vabsolu est imaginaire. La théorie analytique de ces déplacements se rattache à l'identité cé\éhrt de. Lagrange^ d'après laquelle le produit de deux sommes de quatre carrés est une somme de quatre carrés. Emploi des quaternions. — Retour à la théorie générale. On obtient, en dehors des déplacements précédents, trois espèces distinctes nouvelles : les retournements, les rotations et les déplacements hélicoïdaux; ces derniers sont les plus généraux. — Définitions et propriétés de ces déplacements: analogies avec la Géométrie ordinaire. — Tout

5l6 TABLE DES .MATIÈUES.

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déplacement résulte, dune infinité de manières, de la composition de deux retournements. — Surface lieu des points à égale distance d'une même droite. — Déplacement continu. Courbes analogues à l'hélice, au cercle.