CHAPITRE
IJ inversion. Ses propriétés essentielles ■ 365
L'inversion a été introduite dans la science par Sir [Viltiani Jhomson (Lord Kelvin). — Comment on peut la rattacher à l'inversion quadrique de Hirsl. — Relation entre les points homologues. — Les droites isotropes ont pour homologues des droites isotropes. — Cùne isotrope correspondant à un plan isotrope. — Principe de la conservation des angles. — Relations entre deux courbes ou deux surfaces homologues. — Des développables isotropes; leurs principales propriétés. — Focales d'une surface ou d'une courbe. — Focales singulières. — L'inversion, qui ne conserve pas les focales singulières, conserve les focales ordinaires. — Transformations qui résultent de l'application successive de plusieurs inversions. Elles peuvent toujours se réduire à une inversion ou à une homothétie, précédées ou suivies d'un déplacement. — Elément linéaire de l'espace; comment il est transformé par une inversion.
TABI.R DES MATIERKS. 317
CllAI'llIiK 11.
Pages.
Les coordonnées pentasphéiujues 379
Helalion quadratique homogène entre les puissances d'un point par rapport à cinq sphères distinctes. — Définition du système de coordonnées pentasphériques le pins général; on se bornera, dans la suite, au cas où les sphères coordonnées sont orthogonales. — La tliéoric de cinq sphères deux à deux orthogonales se rattache directement à celle des substitutions linéaires orthogonales. [ — Conséquences, relations identiques entre les puissances d'un point relatives à cincj sphères orthogonales. — Chacune des cinq sphères admet pour tétraèdre conjugué celui qui est formé par les centres des quatre autres. — Groupe de 16 points, dont les coordonnées ne différent que par le signe. — Elément linéaire de l'espace. — Angle de deux directions. — Sphères et plans. — Comment on détermine le centre et le rayon d'une sphère dont l'équation est donnée. — Les six coordonnées d'une sphère; formules qui s'y rapportent. — Changement de coordonnées. — Problèmes élémentaires relatifs aux sphères. — l-'ormules de Géométrie infinitésimale en coordonnées pentasphéiiques.
CHAPITIU-: III.
Les cycUdes en coordonnées cartésiennes 4"-^
La cyclide de Dupin. — Définition des cyclides les plus générales; celles du quatrième ordre ont le cercle de l'infini comme ligne double; celles du troisième ordre passent simplement par ce cercle. — Rapports avec la théorie des surfaces générales du troisième ordre et des surfaces du quatrième ordre à conique double. Toute cyclide ayant un point double à distance finie est l'inverse ou la podaire d'une quadrique. — Sections • planes et sphériques d'une cyclide. — l^echerche des sections circulaires et des sphères doublement tangentes. — Cyclides du quatrième ordre, équation réduite; cyclides du troisième ordre, deux méthodes. — Résultats généraux; il y a cinq séries de sections circulaires: leur génération. — Plans tangents doubles. — Surfaces anallagmatiques de Moutard. — l'Uude d'une famille de quadriques inscrites dans une cyclide du quatritiiie uidre. — Des quadriques qui coupent la cyclide suivant deux biquadratiques sphériques. — Ce que deviennent ces quadriques lorsque la cyclide se réduit au troisième degré. — Propriétés diverses relatives aux inversions quadriques qui conservent la surface cubique la plus générale. *
CIIAPIIRI-: IV.
Les cyclides en coordonnées pentaspliériques ^34
Notions préliminaires sur les formes quadratiques homogènes. — Rappel de la loi d'inertie. — Définition de la forme adjointe. Quand le déterminant de la forme devient nul, sans que tout ses mineurs le soient, la forme adjointe est un carré parfait. — Réduction de deux formes quadratiques à des sommes composées des mêmes carrés. — Discussion du problème dans le cas où l'équation dont il dépend a toutes ses racines négales. — L'une ou l'autre des deux formes contient au moins autant
5l8 TABLE DKS MATIÈRES.
de carrés positifs, ou de carrés négatifs, que cette éqj»&floh a de couples de racines innaginaires conjuguées. — Application à Pétude des cyclides. Elks peuvent être représentées par une équation homogène du second degré si l'on emploie les coordonnées pentasphériques. — Tant qu'elles ne sont pas des inverses de quadriques, leur équation peut être débarrassée de tous les rectangles. Il suffit, pour cela, de résoudre une équation du cinquième degré qui a, au plus, deux racines imaginaires.
