LE RAÏ>PORT ANHARMONIQUE
correspondra à M, la valeur de X oe sera pas changée. Cette grandeur géométrique ne dépend donc que de la situation respective et de l'ordre des quatre points. Nous l'appellerons le rapport anharmonique des quatre points^ et nous la désignerons comme il suit :
On verra facilement qu'on a
i Jl(A, B, M, M'),?R(B, A, M, M') = i;
^ ( <iR(A, B, M, M')^(A, B, M', M) = 1.
30. Nous allons maintenant faire connaître au sujet du rapport anharmonique un théorème fondamental :
Si Von considère dans V espace quatre plans se coupant suivant une même droite {ou dans le plan quatre droites concourantes)^ le rapport anharmonique des quatre points où les quatre plans (ou les quatre droites) sont coupés par une droite quelconque est un nombre constant.
Soient, en effet,
a = o, P = o, y = oL-h />:^ = o, o =: a -f- /Z j3 = o
les équations des quatre plans. Appelons a^,, ^^ le résultat de la substitution des coordonnées d'un point M dans les polynômes a, (3. Soient^r, y, z, t] x', j', z', t', x + \x' ^y + \y\ z + \z\ / + )vi'; X -\-V x' .^ y-\-^i'y\ ^-h V^', t -\-V t' les coordonnées de quatre points A, B, C, D en ligne droite. Si l'on suppose que A soit dans le premier plan et B dans le second, on aitra
En substituant les coordonnées de C et de D dans les polynômes ). et 8 respectivement, on aura évidemment
■■p Yc = «A -H À«B H- k{ [^A -^ A^B ) = Àaii -l- /■ [i.v = o,
et de même
5|) = 2tA -f- y au -t- A'(îiA -f- >-'!*«) = )-'3tit H- A'^A = o.
36 LIVRE i; — CHAPITRE III.
Il viendra donc
Et, par conséquent, ^ sera constant. o. o. v. n.
Nous appellerons j-, le rapport anharmonique des quatre plans (ou des quatre droites) et nous le désignerons par la notation
On voit que ce rapport est égal à celui des quatre points où une sécante quelconque rencontre les quatre plans ou les quatre droites.
31. Le théorème précédent conduit, nous le verrons, à de nombreuses conséquences. Dès à présent, nous signalerons la suivante : La surface engendrée par une droite qui s'appuie sur trois droites fixes admet un double système de génératrices rectilignes. Quatre génératrices de l'un des systèmes coupent toutes les génératrices de l'autre système en quatre points dont le rapport anharmonique est constant.
Soient, en effet, d, ^,, do trois droites données de l'espace et 8 la droite variable qui est assujettie à les rencontrer. Soient o,, Oo deux positions particulières de 3 et désignons par A, B, G; A', B', (7 les points où 5,, Oo coupent o?, d,, d.^. On peut évidemment déterminer une correspondance entre deux points M, M' sur ces deux droites par la condition qu'on ait
Et alors, d'après le théorème que nous venons de démontrer, les quatre plans qui passent respectivement par A, B, C, M et une position quelconque de o iront couper la droite ôo en quatre points A', B', C, M',, tels qu'on ait
A{A, B, C, M) = ^iR,(A', B', C, M\) = A( A', B', C, M').
Donc m; coïncidera avec M'. C'est dire que la droile MM' ira rencontrer toutes les positions de o et, par consé(iuent, appartiendra à la surface engendrée par o.
Prenons maintenant (juatre génératrices d'un même système de la surface, d', d\, d'^, d'.^. Comme elles vont toutes couper une gêné-
LE RAPPORT AXHARMONIQUE. Sj
ratiice o de l'aiUre système, elles sont dans quatre plans passant par o; elles sont donc coupées par toutes les génératrices de l'autre système en quatre points qui se trouvent dans ces quatre plans et dont, par conséquent, le rapport anharmonique est constant.
On peut appliquer les méthodes précédentes au cas où deux droites d, dt sont dans un même plan. Alors, si l'on prend arbitrairement trois points A, B, C sur Fune et trois points A', B', CV sur l'autre, une correspondance pourra être établie entre deux points M, M' pris respectivement sur les deux droites par la condition que les rapports anharmoniques
soient égaux. Nous verrons alors que les droites MM' sont, en général, tangentes à une conique admettant les cinq tangentes d, di, AA', BB', ce.
Mais, dans le cas particulier où les droites AA, BB', CC iraient concourir en un point unique, la droite MM' devra aller passer par ce point. C'est une condition que l'on peut toujours réaliser en a menant, par une translation, le point A, par exemple, à coïncider avec le point A'.
32. Avant d'aller plus loin, il ne sera pas inutile de montrer que la définition précédente du rapport anharmonique est identique, pour les points réels, à celle qui a servi aux géomètres purs.
Reprenons, en effet, l'auxiliaire X, et soient x, y, z, t; x' , j', s', /'; x-\-\x', J^ + Xy, 5 + as', /-f- Ai' les coordonnées homogènes de trois points en ligne droite A, B, M. Supposons que les coordonnées soient cartésiennes. Alors les coordonnées ordinaires de M seront
^^'=-r;-x7' y^^^-TTij-' ^"=7-TxF-
ILxaminons d'abord le cas où t et i' sont dififérenls de zéro ; on aura, par exemple,
et, par suite, d'après une formule l)ien connue, on aura
^ BM
A.M, BM désignant des abscisses.
Si maintenant l'un des points, B par exemple, est à 1 infini, on aura
et si p désigne le segment dont les projections sur les axes sont x\ y, s', on trouvera
(4) ÂM = ^^p.
Enfin, si A et B sont tous deux à l'infini, il faudra revenir aux coordonnées homogènes et l'on aura, pour le point M,
^Mî JKm' ^m définiront les composantes de deux forces appliquées à l'origine; l'une o dont les composantes seront x, y, z', l'autre Xo, dont les composantes seront 7.Xi, Ay, , a;;,. La considération du triangle formé par les forces et leur résultante nous donnera immédiatement, en grandeur et en signe,
Pi • ' An
sin (moo)
De ces diverses expressions de À résultent les expressions connues du rapport auharmonique.
Si trois points au moins sont à distance finie, on a
^ / . r. ». •,„>. ^ '^iVl AM'
Si les points sont à distance infinie,
(7) <^(A, B, M, M')= î^^îl^ : !!!Li^.
sin(6om) sin(bom')
Quant au rapport anharmonique de quatre plans ou de quatre
LE RAPPORT AMIARMONIQl'E. 89
droites, leur expression srésiille de celles que nous venons de donner et du théorème fondamental.
Nous glisserons rapidement sur toutes ces définitions du rapport anliarmonique, parce qu'elles ne pourront s'appli(|uer aux points et aux plans imaginaires que lorsqu'on aura étendu à ces éléments les notions d'angle et de distance, ce qui est assez délicat. Revenons donc à notre première définition et continuons à développer notre théorie analytique. Nous verrons plus tard qu'au lieu de rattacher la notion du rapport anharmonique à celles d'angle ou de distance, c'est le contraire qu'on peut faire en rattachant à l'unique considération du rapport anharmonique les notions, si différentes l'une de l'autre, d'angle et de distance.
33. Nous commencerons par résoudre le problème suivant : Etant donnés sur une droite quatre points A, B, C, D, correspondants aux valeurs a, ^, v, o de A dans les expressions
