X-\-Ax', y-h^^y, S-l-X^', t^lt
déterminer leur rapport anharmonique.
Faisons le calcul pour une seule coordonnée. Nous poserons
Xi^= X -r ÏX' . X2-= X -T- '^x' , X-i=X-h-(x'
ce qui nous donnera
Xi I a
xa I 3
Xi = X ~{- ÙX ,
et par suite
On aurait de même
X^(rj — ''^) — Xijr, — (X)
On peut donc écrire les coordonnées des quatre points comme suit :
yu
Xi,
-Si,
tir
Et, par conséquent, on aura
<fFl(A, B,G, D)=^:^.
La fonclion qui figure ici dans le second membre est ce qu'on appelle le rapport anharmonique des quatre quantités a, [ÎJ, y, o. D'après la manière dont nous l'avons obtenn, il est clair qu'il ne changera pas, si l'on elTectue sur a, [i, y, S une même substitution linéaire. En le désignant par cU (a, ^, y, S), on a ^(A, B, G, D) = .;a(a, ^, 7, S).
La démonstration précédente s'étend évidemment aux plans (ou aux droites) définis par les équations
P + aQ = o, P-^pQ = o, P-+-yQ = o, P-^oQ = o.
34. L'expression que nous venons d'obtenir nous permet de reconnaître comment varie le rapport anharmonique de quatre points ou (le quatre 'plans quand on change l'ordre des éléments. On a évidemment
(8) c'R(A, B, G, D)=c'R.(B, A, D, G) = c'a(C, D, A, B) = ,îa(D,G, B, A).
On peut : 1° échanger le groupe des deux premiers éléments et le groupe des deux derniers; 2" échanger les deux premiers, pourvu qu'on échange les deux derniers. 11 est donc possible d'amener toujours une lettre à la première place, et il j aura au plus six rapports anharmoniques distincts. Le procédé suivant permet de les trouver et montre quHls sont fondions les uns des autres.
Considérons, par exemple, quatre points A, B, G, D. On pourra toujours supposer qu'ils correspondent aux valeurs
o, oc, X, I
du paramètre. On aura alors
l c'îl(A, B, C,D) = cîn.(B, A, D, G) = ia(G, D, A, B) = <îR(D, G, B, A) = X,
^Fl(A, B, D, G)=:.'R(B, A,G, D)=c'îl(G, D, B, A)=z A(D,G, A, B) = \,
^(A, G, B, D)==^(G, A, D, B) = c'fl(B, D, A, Gj = .'11(0, B, G, A) = i — À,
(9)( cft(A,G, D, B)=^(G, A,B,D)=c'Jl(B, D,G, A) = <;îl(D, B, A,G) '
,fl(A,D,B,G) = c'H.(D, A, G, B) = ,îR(B,G, A, D) = c^R (G, B, D, A)= i - l-
LE RAPPORT ANHARMONIQUE. 4'
Ce Tableau s'obtient en a^)pHquant les deux règles suivantes :
Si l'on échange les deux premiers ou les deux derniers éléments, le rapport anharmonique est remplacé par son inverse.
Si l'on échange les deux éléments du milieu ou les deux éléments extrêmes, le rapport anharmonique est remplacé par son complément à l'unité.
On obtiendrait les mêmes résultats eu partant de l'identité d'Euler
qui peut s'écrire
Mais la première méthode fait mieux comprendre pourquoi les six rapports sont fonctions l'un de l'autre.
3o. Avant de continuer, nous allons présenter quelques remarques sur la théorie analytique du rapport anharmonique. Soit
Pour qu'il devienne indéterminé, il faut qu'on ait
et, par suite, que trois éléments coïncident.
Dans tous les autres cas, le rapport anharmonique est déterminé.
Examinons maintenant si deux des valeurs différentes de ce rapport peuvent devenir égales.
Il suffît évidemment de chercher dans quel cas X est égale à une des valeurs qui le suiventdans le Tableau (9). Faisons d'abord
ce qui donne
!*• Si A = I , tR.(a, y, p, 0) = o. Les éléments a et [î* ou y et 0 coïncident. Les valeurs des six rapports se réduisent à trois et sont
Ainsi, quand le rapport prend une des trois valeurs i , o, oc, il y a coïncidence de deux éléments.
'i" Faisons maintenant }.= — i. Alors les valeurs des six rapports sont
Elles se réduisent encore à trois distinctes. On a
.!R(a, p, y, o) = -i, OU, en développant,
('2) 2a^-j-2YÔ — (a-l- P)(y-+.S) = o.
Il y a symétrie en a et ^, aussi l)ien qu'en v et o. Pour préciser, nous dirons que les couples a, ,3 et y, 5 sont en relation harmonique.
3" Supposons enfin qu'on ait
ce qui donne les deux valeurs
Q étant une racine cubique imaginaire de l'unité. Alors les valeurs des six rapports sont
Ici, elles se réduisent à deux distinctes. On dit alors que la proportion est équianharmonique.
Tandis que la proportion harmonique peut exister entre des éléments réels, la proportion équianharmonique ne relie que des éléments dont un au moins est imaginaire.
Nous avons épuisé tous les cas dans lesquels deux rapports anharmoniques sont égaux.
Revenons à la proportion équianharmonique. L'équation qui la définit peut s'écrire
>.2-i-( I — X)2-f- I =o, où
Elle est symétrique par rapport aux quatre éléments et plus
LE RAPPORT ANHARMOMQUE. 4^
simple à certains égards qire la proportion harmonique. Si l'on a, par exemple, à exprimer que les racines d'une équation du quatrième degré sont en proportion équianharmonique, la relation précédente sera symétrique par i^apport aux racines, et du quatrième ordre seulement. Si l'on veut que les racines soient en proportion harmonique, il faudra former le produit des trois facteurs
[2a|ii -+- 270 — (a -(- 3)(y -+- 6)], [2aY + 2fiS-(a-t-Y)(P-+-S)],
[2aô-H2i3Y-(a + o)(P + Y)].
qui est du sixième degré, et écrire qu'il est égal à zéro.
36. Les notions précédentes conduisent à une helle identité, découverte par Cauchy et Cayley.
Supposons qu'il s'agisse de déterminer le rapport anharmonique des racines d'une équation du quatrième degré.
Si deux racines étaient coïncidentes, on aurait
S'il y avait proportion harmonique, on aurait
^H Cela I
cp(X) = (X-hi)(X-2)('X- M = o.
Cela posé, considérons la fraction rationnelle
cp(X)
Elle change de signe sans changer de valeur quand on change "k en ^ ou I — A. Donc le quotient
demeurera invariable quand on permutera les racines de l'équation ; ce sera donc une fonction symétrique de ces racines; et l'équation aux rapports anharmoniques sera de la forme
a étant une fonction symétrique qu'on pourra calculer.
Ainsi, l'équation précédente, où a est quelconque, donne les six valeurs du rapport anharinonique qui correspondent à un même groupe de quatre éléments.
Faisons maintenant
)« = — 0 ; on aura
Donc l'équation du sixième degré
aura deux racines triples — 9 et — 0-. De là résulte l'identité remarquable
qu'on peut aisément vérifier.
Avant d'en faire des applications, nous pouvons remarquer qu'elle se décompose en deux autres,
('7) ?(>0- -./■(>Ov/^^=(À + 02;3^
où l'on a pris pour B la valeur
Mais ces identités, qui sont les conséquences nécessaires de la précédente, peuvent, comme elle et par la même méthode, se démontrer directement. Nous laissons ce point à l'examen du lecteur.
On peut d'abord faire usage des identités précédentes pour résoudre l'équalion du sixième degré
Cette équation se décompose tout d'abord dans les deux sui-
LE RAPPORT ANHARMONIQUE.
vantes :
où sj a peut avoir deux déterminations.
En faisant usage des identités (i6), (17), il vient
cprXjfn- ^Av/— 3 1 = (X + 0)3,
et, par suite, on a
37. Les remarques précédentes jettent beaucoup de jour sur la résolution des équations du troisième et du quatrième degré.
Reprenons l'identité (i5) et remplaçons-y K par le rapport anharmonique de quatre éléments a, ^j, v, 0. Elle prend la forme
(19) [ra-Y)(p-5)-f-(z-r:)(p Y)]2[(a^3)(Y S) + (a-Y;(3-o)J2 x[ra-5)(.3-Y) + (a-P)(5-Y)?-^27!:-^(oc, 3, y, 0)
OÙ !^(a, ,3, Y, û) désigne le produit des six différences des quatre éléments a, 'p, v, 0 :
^(a, 3, Y, S) = (a-[î)(a-Y)(«-2j(p-Y)(?-^)(Y-^^)• Si l'on suppose que a, ,S, y, 0 soient les racines d'une équation du quatrième degré
l'identité précédente deviendra celle qui a été trouvée par Caucliy et Cajlej.
Désignons par i et y les deux fonctions des coefficients qui ont pour expressions
i = aa' — 4 bb' ~ 3 c-,
j = aca' -f- ibcb' — ab''^ — a' b'^ — c' ;
4fi LIVRE I. — CHAPITRE III.
un calcul de fonctions symétriques nous donnera
^[(a f3)2(y 8)2+(a-Y)2(^8)2-f-(a-o)HP-Y)•^J=^
x[(a-y)(p o)^(a-S)(^-Y)][(a-5)(!î-X)-+-(a-^)(o-Y)]=y, de sorte que notre identité prendra la forme
Ainsi, le discriminant de l'équation du quatrième degré s'exprime de la manière la plus simple au moyen des invariants i et y.
38. Au reste, on peut éviter le calcul de fonctions symétriques que nous venons d'indiquer si l'on emploie, pour résoudre l'équation du quatrième degré, la méthode de Ferrari, telle qu'elle a été présentée par M. Hermite.
Posons l'identité
(24) a{ax'*^ \bx^-\-Ç,cx^-\- ^b' X ■+■ a' ) r= {ax"--^ ibx -^ c -^ •i.K)'^
— 4(62— ac-f-aX)^^— 4(6c — a6'-f-26X)a7 — [(C-+-2X)*— aa'j.
En exprimant que le polynôme du second degré formé par les trois derniers termes est un carré parfait, on sera conduit à l'équation
{bc — ab' -H 7.b\y^— (b^— ac -+- a\)[{c -+- 2A)2— aa' ] = o,
qui est du troisième degré en À. On a choisi les notations de telle manière qu'elle soit privée du terme eu À^ ; et, en effet, elle se réduit à la suivante :
OÙ i et j sont les polynômes définis plus haut. Si Ton prend pour X une des trois racines de cette équation, le premier membre de notre équation (20), multiplié par a, sera mis sous la forme d'une différence de carrés; il deviendra le produit des deux facleurs
IX* -i- 2.bx -\- il -h c ±z
t/jT, T bc — ab' -{- ibX~] ■i..v \/ b'- — ac -{- ak -h -—==== yb'^ — rtc -f- aX J
LE RAPPORT ANHARMONIQUE. 4?
et l'on aura les quatre racines de l'équation en égalant successivement à zéro ces deux facteurs. Appelons a, p les racines qui appartiennent au premier facteur, y, 5 celles qui appartiennent au second. On aura
'.b -h "i \/b^ — ac -+• aX,
a ( Y -f- ô ) ~ — ib — '2 ^b^— ac -h al, et de là on déduit
(26) \/6- — ac + aX = — (a -I- 3 — Y"— 0)
ou, en élevant au carré et remplaçant 6 et c par leurs expressions en fonction des racines,
Cette expression de X explique bien pourquoi elle dépend d'une équation du troisième degré. En permutant les racines a, [3, y, 0, on n'obtient que trois valeurs dififérenles de )w
39. Nous pouvons maintenant indiquer comment on fera le calcul de fonctions symétriques qui conduit aux formules (22). Désignons par X|, ^2, A3 les trois racines de l'équation (20) en A. On aura, par exemple,
X3 = — ['^la 0 -+- 2 ^Y ~ ^ ^ -^- ^ )( ? "^ ï '1
et de là on déduit
>.2-Àa-7(a-;ï)(Y-0), A:
En se servant des relations évidentes
on retrouvera les équations (22).
On peut même se servir des relations précédentes pour obtenir l'identité de Cauchy et de Cayley.
On sait, en effet, que le discriminant de l'équation du troisième degré
a pour expression
Z('h\, "kii A3) désignant ici encore le produit
(Xi-X2)(X,-X3)(X,-X3)
des différences des racines.
Appliquons ce résultat à l'équation (20), il viendra
2^Cn>M, X2,X3) = /3-^.7/^;
si l'on remplace les différences des racines A par leurs expressions (29), on retrouve l'identité déjà obtenue
(■23) a^r-(o^, ?, Y. ô) = 2Hi^-2yji).
Nous ne quitterons pas ce sujet sans faire remarquer que la formule (26) nous conduit directement à la résolution de l'équation du quatrième degré. En l'appliquant successivement aux trois racines X, elle nous donne, en effet, les résultats suivants :
i y ( a + ^ — Y — 5 ) = ^b'^ — ac -t- a X, , ( 3o) ] V ( a + Y — hi — 5 j = \/b^~ac-hal,,
I - (a -t- 0 — ^ — Y) = V^^— «c + aXa En joignant à ces équations la relation évidente
LE RAPPORT ANHARMONIQUE. • 49
et en ajoulant, on obtient la formule élégante
(3i) aa = — b -\- \J b- — ac — «Ài -\- \> b- — ac -\- aX^t-k- \J b- — ac -r- ak'^.
L'inconvénient de cette formule, c'est qu'elle comporte huit déterminations. Mais, si l'on se reporte aux équations (3o), on constate que le produit des trois radicaux \Jb'- — ac -\- ciKi est une fonction symétrique des racines et, par suite, doit être rationnel. Le calcul très simple de cette fonction symétrique conduit au résultat suivant :
v/62 — ac -H a). 1 ^ b- — ac -H «A-i V^^" — «t' -i- «Xs = - (3 abc — a b^ — a'- b').
On voit que, lorsque le signe de deux des radicaux sera fixé, celui du troisième le sera également. La formule (3i) ne nous donne donc que quatre déterminations pour a.
iO. L'identité de Cauchy et de Cayley, dont nous avons fait usage et qui dérive de la considération du rapport anharmonique, nous donnera de même la résolution de l'équation du troisième degré. Si cette équation est
et si nous désignons par a, îi, y ses racines, nous n'aurons (ju'à écrire cette identité, en y remplaçant (J par la variable x. Nous serons ainsi conduits à une relation de la forme
où II(x), Q(^) sont des polynômes dont les coefficients se calculeront aisément et qui seront respectivement du second et du troisième degré. Pour qu'elle ait lieu, il faudra nécessairement quey*(a7) — Q(^) et/(^) --H Q(^) soient des cubes parfaits. En écrivant donc
H' et H" désignant des polynômes du premier degré, on aura
l'identité
■ij'(x)= H'3(ar)-4- W'Hx),
qui conduit immédiatement à la résolution de l'équation.
5o . LIVKE I. — CUAI'lTKi: III.
41. Nous nous contenterons de ces indications, et, revenant à l'équation du quatrième degré, nous indiquerons en terminant un moyen très simple de calculer la fonction symétrique
K — \/b^— ac-\- «Xi s/b'^—ac^ «Xj \/b^— ac -^ al»
= ^ (a -+- ri Y - ô)( 7. + Y - [3 - 0 )(a -h 8 - [5 - Y )•
Nous remarquerons qu'on a, par exemple,
a^P— Y — o = 2(a4-[3)+ ^r ce qui permet de donner à K l'expression
Cela posé, dans l'identité
remplaçons a: par — a ; il viendra
De là nous déduisons
ce qu'on j)eut écrire
ib\ i6K . . ^
— )= — - (asL^b),
puisque /(a) est nulle. En supprimant, dans le second membre, le facteur aa + 6, on aura pour l'expression de 1 6 Iv un polynôme du troisième degré en a.
K étant une fonction symétrique, l'expression précédente ne devra pas changer quand on y remplacera a par [i, y ou o. Cela ne peut arriver que si elle subsiste pour toutes les valeurs de x quand on y substitue x à a. Sans cela, on aurait une équation du troisième degré admettant les quatre racines a, [3, y, ô. Puisqu'on a,
l.E RAPPORT ANHARMONIQUE.
pour toules les valeurs de x^
ax 4- b
on pourra prendre la valeur du second membre lorsque x lendra vers 1 ce qui donnera, en appliquant une règle connue,
ce résultat concorde bien avec la valeur que nous avons indiquée.
