MÉTHODE DES NOTATIONS ABRÉGÉES DE BOBILLIER

OÙ rt, bj c, d sont des conslanles et p un facteur de proportionnalité, qu'on peut même remplacer par l'unité si les équalions des faces sont homogènes. Or, si les coordonnées doivent être égales pour un point déterminé, on devra avoir

P,, 0(, R,, S| désignant les valeurs que prennent P, Q, l\, S en ce point. Les rapports des constantes a, Z>, c, d sont donc pleinement déterminés, quel que soit le point choisi, pourvu qu'il soit en dehors des faces. Ainsi, un système de coordonnées télraédriques est pleinement déterminé si Von se donne le tétraèdre de référence et le point dont les coordonnées doivent être éga les .

D'après cela, soient X, Y, Z, T les coordonnées relatives à un certain tétraèdre et soient X|, \^^ Z^ T) les coordonnées d'un point quelconque M. Considérons l'une quelconque des arêtes du tétraèdre, par exemple celle pour laquelle on a

Nous avons quatre plans passant par cette arête : les deux faces précédentes du tétraèdre, le plan passant par M dont l'équation est

et le plan passant par le point P dont les coordonnées sont égales. Ce plan est défini par l'équation

Or, le rapport anliarmonique de ces quatre plans, que nous dési-

gnerons par la notation cfR (M, P, X, Y), est évidemment égal à r^-

Cela résulte du théorème établi au n" 30; mais on peut aussi le voir en prenant les points d'intersection de ces quatre plans avec l'arête opposée du tétraèdre, définie par les équations

Ainsi, le quotient de deux quelconques des quatre coordonnées

s'exprime par un rapport anhav mo nique . On a, par exemple,

c'tl(M,P,X,Y)=^.

Gomme les rapports seuls des coordonnées inlervienoent dans les recherches, on voit que le système de coordonnées est pleinement défini par l'adjonction au tétraèdre de référence du point dont les coordonnées doivent être égales.

43. A peu près à la même époque que Mobius et avant Pliicker, un géomètre français, Bobilliei\ dans deux Articles Sur un nouveau mode de recherches des propriétés de C étendue^ insérés en janvier 1828 au Tome XVllI des Annales de Gergonne^ indi(juail des méthodes plus compréhensives que l'emploi des coordonnées tétraédriques, et faisait un emploi très habile de ce que l'on appelle aujourd'hui la méthode des notations abrégées. On trouve déjà dans son travail les équations générales des coniques inscrites ou circonscrites à un triangle. Nous choisirons d'autres exemples.

Signalons d'abord les propriétés harmoniques du quadrilatère complet.

Si ABCD {fig. 3) est un quadrilatère plan, désignons respectivement par

les équations des côtés AB, BC, CD, DA. l-es quatre polynômes a, P, V, 0 sont liés par une relation linéaire

qu'on peut évidemment ramener à la forme

METHODE DES NOTATIONS ABREGEES DE BOBILLIER.

en faisant entier les constantes «, b, c, cl clans les pol^'nomes y., p, Y, 8. Ce point étant admis, l'équation

pourra aussi s écrire

Elle représentera donc la droite BD. En raisonnant de même pour les autres combinaisons, on voit que

la droite BD aura pour équation a -h ^ — — y — o = o,

» EF .) a -h Y = — 8 — 6 = (j,

» AC » a -h 0 = — [i — Y ?= f>.

D'après cela,

la droite OE aura pour équation r, — !i = o, » OF » a — Y == *^'

Si donc on pose

a -f- (3 — ar, a •+- Y = '>-yi »-+-§ = •>. z.

les équations

ar = o, j» = o, ^ = o

représenteront les trois diagonales BD, EF, AC du quadrilatère complet, et l'on aura

Y=-X4-JK-

On aperçoit immédiatement (pie chaque diagonale est partagée harmoniquement par les deux autres; car, sur la droite BD, par exemple, pour laquelle on a

>ints B, D, O, G sont déterminés par les équations

(|ui mettent en évidence la relation harmonique annoncée. Si, à la place de x, c, on introduit les deux polynômes

Fë^xpressions de a, jii, y, ^ deviendront

(3) CL=^y-\-x', 'p=—y^z', -(^- — x'-^y, ?j=—y-