CHAPITRE IV
Le quadrilatère sera rapporté au triangle OEF et les formules précédentes mettront cette fois en évidence la pro])riété des diagonales AC, BD d'être divisées harmoniquement par les droites Oli, OF. Cette méthode conduirait rapidement à l'équation des coniques inscrites ou circonscrites au quadrilatère ABCD.
Gomme second exemple, nous prendrons le théorème qui sert de base à la théorie de von Staudt et que l'on peut énoncer ainsi :
Si deux triangles ont leur sommet sur trois droites concourantes^ leurs côtés se coupent en trois points situés sur une droite (et réciproquement).
Soient {fig. 4) ABC, A'B'C les deux triangles tels que les
droites AA', BB', CC concourent en G. Nous allons envisager successivement les deux quadrilatères OABC, OA'B'C.
Si les équations des côtés OA, AB, BG, GO du premier sont respectivement
on peut supposer, nous l'avons vu, qu'elles peuvent être écrites de
MÉTHODE DES NOTATIONS ABRÉGÉES DE BOBILLIER. Sy
manière à donner naissance à l'identité
La diagonale OB aura pour équation
Donc le second quadrilatère, dans lequel les côtés OA', A'B', B'C, C'O sont représentés de même par les équations
devra, puisque OB coïncide avec OB', donner naissance à une identité
(.i) a -H ji' -t- y' H- 0 = G.
Des deux identités (4), (5) on déduit la suivante :
Dans le premier quadrilatère, la diagonale AC a pour équation
a -+- ^ — . o et, dans le second, la diagonale A'C aura de même pour équation
Donc, dans les deux triangles, les côtés correspondants ont pour
équations
a -1- 6' := o, ji'=o. Y = *^'
En vertu de l'identité (6), ces côtés se coupent sur la droite représentée par l'une ou l'autre des équations équivalentes :
P — [î'=o, Y-T'=f>- Test la proposition qu'il s'agissait d'établir.
4i. llàlons-nous de dire que, pour sa théorie, von Staudt avait besoin d'une démonstration purement géométrique. Voici comment on peut l'obtenir.
Supposons que les triangles \BC, A' B'C ne soient pas dans un
même plan. SI les côtés BC, B'C; CA, C'A'; AB, VB' se coupent, leurs trois points d'intersection seront nécessairement sur la ligne d'intersection des plans des deux triangles. Puisque BG et B'C se coupent, il en est de même des droites BB', CC. En étendant la remarque aux autres cotés, on voit que les trois droites AA', BB', ce se coupent deux à deux ; et, comme elles ne sauraient être dans un même plan, elles concourent en un point unique.
La démonstration s'étend au cas où les deux triangles AB(^, A'B'C sont dans un même plan. Il suffit de prendre comme intermédiaire un triangle \"B"C', non situé dans leur plan, et dont les côtés vont passer par le j)oint d'intersection des côtés correspondants des deux triangles.
De cette proposition, von Staudt déduisait aisément une définition de la proportion harmonique, indépendante de loute relation métrique. Il suffit de remarquer, en s'appuyant sur la proposition précédente, que, si le quadrilatère ABCD {fig. >) se déforme de manière que les points B, D, G demeurent fixes, il en sera de même du point O. On saura donc, avec la règle, construire le conjugué harmonique du point G par rapport au segment BD.
45. Une méthode analogue s'appliquerait à deux tétraèdres ABCD, A'B'C'D' dont les sommets correspondants A, A'; B, B'; C, C; D, D' seraient sur des droites concourantes.
Soit en effet O le point de concours de ces quatre droites. Les trois plans OBC, OAC, O \B seront représentés par des équations
telles que
On peut multiplier les premiers membres de ces équations par des nombres tels que la droite OD, qui passe en O, ait pour équations
Alors le plan
OGD aura pour équaliou a — 3 = o,
OAD ). !3 — Y = o,
OBD ) -/ — xz=o.
On verra, pour des raisons analogues, que l'on peut donner à
MÉTHODE DES NOTATIONS ABRKGÉES DE BOBILLIER. 5q
du plan ABC une forme telle que le plan
BGD ait son équation de la forme a -4- 0 = o,
ACD » ,3 - 0 = o,
ABD » Y-; o = o-
De même, dans le second tétraèdre, le plan A'B'C ayant pour
équation
le plan
B'C'D' anra pour équation a ^ 0'== o,
Donc, le plan défini par l'équation
contiendi^a les intersections des faces et des arêtes correspondantes des deux tétraèdres.
46. Les deux pro|)Osilions précédentes peuvent se rattacher à une transformation célèbre, l'homologie de Poncelet, dont l'introduction dans la Science a précédé celle de l'homographie.
Considérons la transformation homographique particulière définie par les équations
(7) X = X', Y=Y', Z = Z', T = aX'-4-6Y'+cZ'-t-^T',
où X, Y, Z, T; X', Y', Z', T' désignent les coordonnées tétraédriques des deux points que l'homographie met en correspondance. Si l'on cherche les points qui, dans cette transformation, coïncident, chacun avec sou homologue, il faudra faire
X'=pX, Y'= pY, Z'=pZ, T'=pT,
ce qui donnera les équations
X(i — p) = o, Yu — p)=:o, Z(i — p)=o,
T{i — dp) = p(a\-^bY -hcZ).
On ne peut envisager (jue deux solutions : ou bien l on aura p = 1 ;
6o LIVRE I. — CHAPITRE IV.
il suffira alors que X. Y, Z, T vérifient la condition
et tous les points situés dans le plan défini par cette équation coïncideront avec leurs homologues. Ou bien, p étant différent de I , on aura
ce qui donnera le sommet du tétraèdre opposé à la face
La transformation est alors celle que Poncelet appelait une homologie.
Le plan représenté par l'équation (8) est appelé plan d' homologie. Aucun de ses points n'est déplacé dans la transformation.
Le point défini par les équations (9) s'appelle centre cV homologie. Lui aussi demeure invariable par la transformalion.
Toute droite passant par le centre d'homologie se correspond à elle-même.
L'homologie est définie quand on donne le centre, le plan d'homologie et un couple de points correspondants.
Soient, en effet, O le centre d'homologie et(P) le plan d'homologie. Soit de plus A. A' un couple de points correspondants. Pour trouver l'homologue d'un point M quelconque, on remarquera que la droite AM a deu\ points dont on connaît les homologues, le point A et aussi celui où elle coupe le plan (P) et qui se correspond à lui-même. Son homologue pourra donc être construite sans difficulté, et le point W homologue de M sera à la rencontre de cette droite et de OM.
Les triangles et les tétraèdres que nous avons considérés plus haut sont évidemment homologiques.
L'homologie devient une transformation involutive si d=^ — 1; elle se réduit à une homothétie si le plan d'homologie est rejeté à l'infini.
i7. Dans le plan, deux coniques quelconques peuvent, généralement, être regardées comme homologiques de douze manières différentes. Cela est aisé à démontrer.
MÉTHODE DES NOTATIONS AHKÉGÉES DE UOIULI.IER. 6j
En effet, si deux courbes sont hoinologiques, il ne peut se présenter que deux cas. Ou bien elles passent par le centre d'homologie et y ont la même tangente; ou bien les tangentes menées à l'une du centre d'homologie sont aussi tangentes à l'autre. Ces deux hypothèses, inconciliables dans les coniques, peuvent même se trouver réunies pour les courbes de degré supérieur. Ecartons la première, qui se rapporte à une relation particulière; nous voyons qu'alors le centre d^ homologie ne peut être qu'un des six sommets du quadrilatère circonscrit aux deux coniques. Choisissons l'un de ces sommets et prenons un triangle de référence dont deux côtés soient les tangentes communes à ces coniques passant par le sommet choisi. Les équations des deux coniques seront
(lo ) xy — P- = o, 3:y — Q- = o.
Donc l'homologie qui les transformera l'une dans l'autre devra, comprendre les deux équations
La troisième de ces équations sera donc
Q' étant ce que devient Q lorsqu'on y remplace x^ y, z par x\ y' , s'. On voit que l'axe d'homologie aura pour équation
Ce sera donc une des deux cordes communes aux deux coniques qui passent par le point de concours des polaires du centre d^homologie relatives aux deux coniques.
48. Dans l'espace, on peut considérer deux quadriques. Les raisonnements précédents montrent ici que les deux quadriques doivent être inscrites dans un même cône du second degré ayant pour sommet le centre d'homologie. Elles doivent donc se couper suivant deux courbes planes, et leurs plans tangents communs doivent envelopper deux cônes distincts. Les deux équations (lo) peuvent être remplacées par les deux suivantes :
(il) tp(a7, JK, -) = PS cp(^, /, 5) = Q2,
et le reste du raisonnement s'applique sans difficulté.
6>, r.lVHK I. — CHAPITRE IV.
La plus belle a|)plicaiion qu'on ail faite de l'homologie se rapporte à la théorie des foyers. Si l'on ra|)portc une conique à son foyer, son équation en coordonnées homogènes reclangulaires
est
.r- --.- y* — ( ax -- by -^ es)* = o
et riioinologie définie par les formules
.r = x', y =J' , <fx - by -+- cz = R-:'
la transforme en un cercle de rayon R.
On pourra lire dans le Traité des propriétés projectives des figures^ l'Ouvrage célèbre de Poncelet paru en 182a, le parti que l'illustre géomètre tire de cette méthode de transformation, qu'il obtient dans le plan en faisant la perspective de la Iransfornialion homothétique. ("est dans un Mémoire présenté en i83o à l'Académie Royale de Bruxelles et imj)rimé seulement en iSS'iy, dans VAperrii historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie ^ que Chasies a fait connaître pour la |)remière fois les propriétés générales des figures homographiques. Voirie Mémoire qui forme la seconde partie de V Aperçu historique et qui est intitulé : Mémoire sur deux principes généraux de la science^ la dualité et VJiomographie. Nous allons bientôt étudier le principe de dualité; mais auparavant nous examineroiis certains cas particuliers de la transformation homographique.
49. Poncelet se plaisait à remarquer que, si l'on a dans le plan deux figures homographiques, on peut toujours dé|)lacer l'une d'elles par rapport à l'autre de manière à les rendre homologiques. Cette proposition n'est pas absolument générale; elle est en défaut dans le cas où la droite de l'infini se correspond à elle-même dans les deux figures. L'examen de celte hypothèse particulière va d'abord nous occuper.
Les formules qui définissent la transformation homographique sont alors
i a- = « a:i + 6 jKi -4- c ^i, (12) I j,^ = a'.ri-4- 6'71-i- c'^i,
\ z = Zi,
le déterminant «6' — ^a'étant différent de zéro puisque les fonctions
MÉTHODE DKS NOTATIONS ABRlÏGÉES I»E BOBILI.IER. 63
X, y, z doivent être indépendantes. Sans changer la figure (F) lieu du point (x, y, z), on peut imprimer à la figure (F,) une translation qui fera disparaître c et c et réduira les formules aux suivantes :
x = axi-h byi, y = a' Xi-h b' )i,
Imprimons maintenant à la figure (^F,) une rotation autour de |. l'origine, c'est-à-diie effectuons sur ^i,^>^ la substitution
ari|.riCosa — j^'i sina, j'i | a^i sin a -!-^i cosa.
Imprimons une rotation pareille à (F), c'est-à-dire effectuons sur Xj y la substitution
X [arcosfi — j^sin^, y | .r sin j3 -4- J' cosp.
L'emploi simultané de ces deux substitutions nous donnera
X cos^ — jsin p = a {x\ ces a — Vi sina) -t- 6 ( Xi sin a -4-^i ces a), X %\n ^ -^ y ces p = a' {x\ cosa — yi sina) -+- b' {x^ sinci -\- y\ cosa).
Disposons de a et de [5i de manière que ces deux relations se réduisent à la forme très simple
(i4) X = Kxu y = Bj,.
Il faudra, pour cela, qu'on ait
1 AcosP = «cosa -f- 6sin a, Asin[i= a'cosa h- é'sin a,
i — Bsin p = — asin a -f- 6 ces a, Bcos[i = — a'sin a -i- 6' ces a.
Ces équations vont nous donner des valeurs réelles pour A, B, a, p. On peut d'ailleurs les résoudre d'une manière élégante. Si Ton pose
(i6) on aura
( a -h b' = r cosY, I a — b' — t'ccsy',
(A -+- B) cosp = /• cos(a — y)»
(A -4- B)sin p = rsin (a — v),
ce qui permet de prendre
b — a' =: r siny, b -h a' = /''siny',
(A — B^ cos{i = r'cos(Y'— a), ( A — B) sin p = r'sin (y'— a),
On trouvera aisément la relation
(i8) AB = rt//— 6rt',
dont nous aurons à faire usage plus tard.
En résumé, par un déplacement relatif des deux figures (F), (F,) et par un choix convenable des axes, on peut ramener les formules qui définissent la transformation liomographique à la forme simple
(19) x^Kxi, y = Byi, z = zi.
Celte forme ne correspond à une homologie (|ue si A est égal à B, auquel cas les deux figures (F), (F,) sont liomothétiques, et l'axe d'homologie est à l'infini.
30. Passons maintenant au cas le plus général, celui pour lequel la droite de l'infini ne se correspond pas à elle-même quand on passe de (F) à (F, ). Soit <i, la dioiie de (F, ) qui correspond à la droite de l'infini de (F), Elle va couper cette droite de l'infini en un point Ai qui, considéré comme appartenant à (F,), a pour homologue un autre point A de la droite de l'infini. A toutes les droites de (F) passant par A correspondent toutes les droites de (F4) passant par A,. Nous avons donc un faisceau de droites parallèles dans (F), et un seul, auquel correspond un faisceau de droites parallèles dans (F,). En changeant l'orientation de l'une des figures par rapport à l'autre, on peut faire en sorte (et cela de deux manières différentes) que les deux faisceaux soient composés de droites parallèles les unes aux autres.
Choisissons des axes rectangulaires tels que l'axe des y soit parallèle à ces droites. Alors les formules qui définissent l'homographie seront de la forme
a et b" étant essentiellement différents de zéro. Si l'on déplace les axes parallèlement à eux-mêmes dans les deux figures, c'est-à-dire si l'on effectue les substitutions
x\x-i-a.z, rlr+P-s, xi\xi-i- :iiZi, ^il/i+Pi^i»
axi-+-
yt
-Si,
Zl,
