MÉTHODE DES NOT^VTIONS ABRÉGÉES DE BOBILLIER

on verra facilemeni, qu'en prenai)t

h—^b"=o, b' — ^36"=«, aa[H-c — ac"=o, a'^\-\-c' — pc"=o,

les formules (20) se réduisent aux suivantes :

(•2O x = ax^, J' = «>'!■ 3 = è'>,-4-(c"~J-6"|3i)^i,

qui définissent une homologie.

11 y a même une seconde manière d'obtenir une homologie. Si l'on fait subir à la figure (F,) une rotation de 180" autour de l'origine, ce qui se fait en changeant simplement le signe de 5), les formules (21) deviennent

(22) X — aXi. y = o.y\, •= = ^".Xi — (<î"+ ^"^t)-Zi

et caractérisent une nouvelle liomoiogie dans laquelle le centre d'homologie est resté le même, mais l'axe d'homologie a été remplacé par un axe parallèle.

Ainsi, toute transformation liomo graphique dans laquelle la droite de l' infini ne se correspond pas à elle-même peut être ramenée de deux manières différentes à un déplacement^ suivi ou précédé d^ une homologie.

Notons cette ('onséquence des calculs précédents. Dans toute homographie plane, ne conservant pas la droite de l'infini, il y a deux droites seulement auxquelles correspondent des droites telles que les points homologues tracent sur les deux droites correspondantes des divisions égales. Ces deux droites sont parallèles.

Ce sont elles qui deviennent les axes des deux homologies précédentes.

51. Quand deux figures planes (F), (F|) sont homologiques^ il suffit de faire tourner le plan de V une autour de Vaxe d' homologie., et d'un angle arbitraire^ pour qu'elles deviennent la perspective V une de Vautre.

Soient, en eflet, A, A,; B, B| ; M, M| trois couples de points correspondants dans les deux ligures. AB et A,B,, AM et A, M,, B\l et B,M, viennent couper l'axe d'homologie aux trois mêmes points. Cette propriété ne cessera pas d'avoir li^u quand on fera tourner (F,). Par suite, AA, et BB,, AA, et MM,, BB, et MM, seront concourantes deux à deux. 11 faudra donc cpi'elles concou- D. 5

gg LiVuE 1. — CHAPITRE IV.

renl en un point unique; el, par conséquent, que MM, aille passer par un point fixe. Il est donc établi que les deux figures sont devenues la perspective l'une de l'autre. Il est aisé de déterminer les différentes positions du point de vue. Construisons (fig. 5) le plan

qui passe par le centre d'homologie et est perpendiculaire à l'axe d'hoM.ologie; il coupera la figure (F) suivant une droite fixe AX et la figure (F,) suivant une droite qui tournera autour du point D où AX rencontre l'axe d'homologie. Les droites qui joignent les points correspondants sur DX et DY iront passer par le point de vue. Si donc on mène par ce point de vue des parallèles OA, OB à DY, DX, les points A et B seront fixes; car A est le point qui correspond à l'infini sur DY et B le point qui correspond à

l'infini sur DX. Le point de vue décrira donc un cercle de centre A

et de rayon égal à DB.

Après une rotation de i8o% la figure (F,) revient dans le plan

de (F) et l'on obtient la seconde position dans laquelle les deux

figures sont bomologiques; C et C sont les deux centres d'homo-

logie.

Si le centre d'homologie se trouve sur l'axe d'homologie, et c'est une hypotlièse qui ne saurait être exclue, la proposition précédente n'a plus d'application. Le lecteur reconnaîtra aisément que, dans ce cas, les deux figures (F), (F,) peuvent être regardées comme la perspective de deux autres figures qui se déduisent 1 une de l'autre par une translation.

m. Puisque deux coniques peuvent toujours être regardées comme bomologiques, on voit qu'on peut toujours les placer, et cela d'une infinité de manières, de telle sorte que l'une soit la perspective de l'autre. A ce sujet, on doit à Poncelct un théorème général dont voici l'énoncé : Deux coni'iucs étant données dans M/i plan, on peut toujours en faire la perspective de telle

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manière qu'elles se transforment en deux cercles. Voici comment on établit cette belle proposition, avec les restrictions qu'elle compoite et dont Poncelet ne tenait nul compte en invoquant son principe de continuité.

Tous les cercles, dans un plan, peuvent être considérés comme ayant en comnuin deux points à l'infini, définis en coordonnées rectangulaires par les équations

Il faut donc faire la perspective de manière que deux points communs A et B aux deux coniques considérées soient rejetés à l'infini et deviennent les points précédents. Pour cela, il suffira de prendre le point de vue O sur le cercle d'intersection des deux sphèies de rayon nul ayant pour centres A et B, et de projeter ensuite sur un plan parallèle à OAB.

Gomme on peut combiner les quatre points d'intersection de six manières dilFérenles, il y aura six cercles sur lesquels on pourra placer le point de vue. Aucun de ces cercles ne sera léel si les quatie points d'intersection des coniques le sont. Mais dans tous les autres cas, où deux au moins des points d'intersection sont imaginaires, on tï'aura qu'à associer ceux de ces |)oints qui sont imaginaires conjugués pour obtenir un cercle réel. Si donc les coniques n'ont aucun point commun réel, on pourra placer le point de vue sur deux cercles réels. Si les coniques n'ont que àen\ points communs, réels, le point de vue ne pourra être placé que sur un seul cercle.

Remarquons que l'opération précédente est de celles que l'on ne saurait effectuer, en général, avec la règle et le compas; car elle exige la résolution de l'équation du troisième degré dont dépend la détermination des points d'intersection.