CHAPITRE V

L'HOMOLOGIE BIAXIALE.

L'homologie biaxiale de Sylvester. - Comment on la définit. - Elle dépend de neuf constantes et Sylvester paraissait croire <,ue, par un déplacement relat.t de deux figures en relation homographique la plus générale, on peut les amener à èlre les transformées l'une de l'autre dans une bomologie biaxiale. - Elude de cette question. -Par le déplacement relatif de deux figures homographiques on peut ramener les formules qui définissent l'homograpbie à une forme particulièrement simple qui ne dépend plus que de trois constantes. - Dans le cas Dû l'homograpbie est une bomologie biaxiale, ces trois constantes doivent satisfaire à une relalion; de sorte que l'homographie ne peut s'obtenir, en gênerai. par la combinaison d'une bomologie biaxiale et d'un déplacement. - Cela peut se faire au contraire, et d'une infinité de manières, si la relation entre les constantes est vérifiée. ... ■ n Étude du cas particulier de deux quadriques. Elles ne peuvent se déduire I une

de l'autre par une homob.gie biaxiale que si elles satisfont à une condition. Le Chapitre se termine par l'étude des homographies qui conservent le plan de l'infini -Celles qui conservent en outre le cercle de l'infini se réduisent a une homothétie, dont le centre peut être choisi arbitrairement, précédée ou suivie d'un -léplacement. - Celles qui, sans conserver le cercle de l'infini, conservent le plan de l'infini, peuvent être amenées par un déplacement relatif des deux figures à une forme particulièrement simple.

53. Si, dans le cas général, et comme le croyait Poncelet, l'homographie des figures planes se ramène à l'homologie, il n'en est plus de même lorsqu'on passe du plan à l'espace. El H est aisé de s'en rendre compte. Une transformation homologique est définie, nous le savons, si l'on se donne le cenlre, le plan «l'homologie et un couple de points correspondants. Cela représente sept constantes qui, ajoutées aux six autres constantes introduites par le déplacement relatif des deux figures, donnent en tout treize constanies. Or, l'homographie la plus générale dépend de quinze constantes arbitraires.

Pour retrouver dans l'espace une proposition analog.ie à celle que nous avons établie pour le plan, Sylvester avait eu l'idée,

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en i885, de considérer" dans l'espace une homographie plus étendue que l'homologie ('). On la définit comme il suit.

5i. Soient D et A deux droites quelconques ne se coupant pas. Elles pourront être considérées comme les arêtes opposées d'une infinité de tétraèdres et représentées par les équations

X = o, Y = o pour D, Z = o, T = o pour A,

si l'on prend des coordonnées tétraédriques se rapportant à l'un quelconque de ces tétraèdres. Cela posé, les formules

X = aX,, Y = aY,, Z = 6Z,, T = èT,

représentent l'homographie que nous avons en vue. On peut la caractériser en disant que tous les points des deux droites D, A se correspondent à eux-mêmes, ou encore que les plans qui passent par l'une des deux droites ne sont pas altérés par la transformation, ainsi que toutes les droites qui rencontrent à la fois D et A.

Cette transformation est définie dès qu'on donne les deux droites D, A et le rapport -j- Nous l'appellerons homologie biaxiale; elle comprend évidemment l'homologie plane comme cas particulier. Elle se réduit même à cette homologie si l'on considère seulement les points situés dans un des plans passant par D. ou par A.

Une homologie biaxiale est entièrement déterminée lorsqu'on donne ses deux axes D, A et ur» couple de points correspondants, nécessairement situés sur une droite qui rencontre à la fois De< A.

En effet, soient a, a' ces deux points. Pour avoir l'homologue m' d'un point quelconque m, on construira la droite d qui passe en m et rencontre à la fois D et A. La droite a/n, les axes D, A déterminent un hjperboloïde (H) qui doit se conserver dans la transformation ; car il peut être engendré par des droites qui rencontrent à la fois D et A. L'homologie transformera donc les génératrices

(') Voir les deux Notes: Sur V homographie de deux corps solides et Sur Vliomographie de deux corps solides infiniment étendus, insérées aux pages 35 et l'Jç) des Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. 101, 2" semestre i885.