CHAPITRE V

reclilignes de même système que D, A, les unes dans les aulres, et par conséquent elle fera correspondre à la droiie am la génératrice du même sjstème qui passe par a' . Cette génératrice coupera la droite d an point m' cherché.

On voit que des constructions purement linéaires définiront complètement cette espèce particulière d'homo<;raphie.

Elle dépend de neuf constantes : huit, qui déterminent les deux droites, et une, qui fait connaître un couple de points correspondants. Il semblait donc qu'en ajoutant les six constantes propres à définir le dé[)lacement de l'une des figures par rapport à l'autre, on devait introduire les quinze constantes dont dépend l'homographie la plus générale et, par suite, obtenir toute homographie en combinant Ihomologie biaxiale avec un déplacement de l'une des figures par rapport à l'autre. Sylvesler l'a cru un moment. En tout cas, il a laissé la question en suspens. Nous allons l'examiner ici d'une manière complète.

oo. Considérons deux figures homographiques (F) et (F,). On peut évidemment déplacer la seconde de telle manière que le plan (P,) qui, dans (F,), correspond au plan à l'infini de (F), soit parallèle au plan (P) qui, dans (F), est l'homologue du plan à l'infini de (F,). Cette relation n'étant pas troublée par la translation, on peut ajouter la condition que le point O' qui, dans la seconde figure, correspond au point de la première qui se trouve à l'infini dans la direction |)erpendiculaire au |)lan (P), coïncide avec le point O qui, dans la première figure, correspond à ce même point considéré comme appartenant à la seconde.

Alors, si l'on a choisi des axes rectangulaires en prenant pour origine le point O et pour axe des z la perpendiculaire au plan (P), les formules générales

/ X — a XI-+- b yi' - c Zi-^ d ti, \ y =^ a' Xi-^ b' yi-\- c' Zi-+- d' il ,

j z — a" Xi-+- b"yi~>r c" Zi-\- d" ti, [ t = à"xi-r- b"'yi-\- c"zx-r d"'tx

se simplifieront beaucoup; les conditions relatives au parallélisme des plans (P), (Pi) nous donneront

LHOMOLOGIE BIAXIALE. /I

les deux autres, relatives aux points O, O', nous donneront

0 = c' = c" — (^/ = cV = d" = o ,

et les fonniiles prendront la forme simple

' X =: a xx -^b yi, \ j- = a'xi-r-b'ji,

Nous avons vu plus haut (n" 49) que, par des opérations qui équivalent ici à des rotations autour de O^, on peut ramener les deux premières équations à la forme

(3) .r = Aa^i, j = Bj-,, le produit VB ajanl pour valeur

(4) AB = «6' — ha'.

On voit donc (pi "en déplaçant la figure (F,) par rapport à (F) et en choisissant des axes lectangulaiies convenables, on peut ramener les formules qui définissent l'homographie à la forme très simple

Des seize constantes qui figurent dans les formules générales (i), on a éliminé les douze qui correspondent à la position particulière des deux figures.

56. Appliquons ces résultats, (jui sont dus à Hichelol^ à deux figures en homcdogie biaxiale. Comme, dans cette transformation, les plans parallèles aux deux axes de l'homologie ont pour homologues des plans [)arallèles; comme d'autre part la perpendiculaire commune aux deux axes de l'homologie se correspond à elle-même, on voit qu'en prcri;inL cette perpendiculaire pour axe des z, les formules qui définissent cette transformation seront nécessairement de la forme

( h X \- k y ~ ■j ( h Xi-<- k y^), z — y ^ = p (^i — Y 'U i

I h'.r-^k'yi^^'/ih'xx—k'yi), z — ^ i = p' {zi — -(' ti),

et, pour obtenir les formules (5), on ne pourra plus imprimer à la